精品解析：黑龙江省绥化市明水县第二中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学第二次月考测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘积的值进行判断． 根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可． 【详解】解：由题可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段是成比例线段； 根据题意可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 故选：． 2. 已知的三边长分别为、、，的两边长分别是和，如果与相似，那么的第三边长应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．结合选项的数值进行分析，判断是否符合三边成比例，如果符合三边成比例，那么与相似，否则与不相似，即可作答． 【详解】解：A、，，此时，故这两个三角形的三边成比例，符合与相似，故该选项符合题意； B、，，此时，∵，故这两个三角形的三边不成比例，不符合与相似，故该选项不符合题意； C、，，此时，∵，故这两个三角形的三边不成比例，不符合与相似，故该选项不符合题意； D、，，此时，∵，故这两个三角形的三边不成比例，不符合与相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 5. 如图，若，则的度数是（ ） A. 50° B. 10° C. 40° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠C，再根据相似三角形对应角相等可得∠E=∠C． 【详解】解：在△ABC中，∠C=180°-120°-20°=40°， ∵△ABC∽△DFE， ∴∠E=∠C=40°． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应角是解题的关键． 6. 在中，，，，，则CD的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是识别出中斜边上的高所构成的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式求解的长． 在中，可得；由，可推出（均为的余角），从而判定；根据相似三角形对应边成比例，得，代入、的已知条件，即可计算的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴（垂直的定义）． ∵，， ∴（同角的余角相等）． ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 该结果与选项C一致， 故选：C． 7. 如图，在△ABC中，E，D是BC边的三等分点，F是AC的中点，BF分别交AD，AE于点G，H，则BG∶GH∶HF等于(　　) 　 A. 1∶2∶3 B. 3∶5∶2 C. 5∶3∶2 D. 5∶3∶1 【答案】C 【解析】 【分析】作FM∥BC交AE于点M，则根据△BEH∽△FMH，利用BF表示出HF的长度，作DN∥AC交BF于点N，则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG，依据△BDN∽△BCF可以用BF表示出BN的长，然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长，则BG，GM，HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解． 【详解】解：设BC=6a,则BD=DE=EC=2a,作FM∥BC交AE于点M， ∵F是AC的中点， ∴ ∵FM∥BC， ∴△BEH∽△FMH， ∴ 则 作DN∥AC交BF于点N，设AC=2b，则AF=CF=b， ∴△BDN∽△BCF， ∴ ∴ ∵DN∥AC， ∴△DNG∽△AFG， ∴ ∴,即 ∴ ∴ ∴ 故选：C. 【点睛】考查平行线分线段成比例, 三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键. 8. 如图在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则． 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，， ，是的中位线， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：C． 9. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 10. 如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G，M．有下列三个结论：①垂直平分；②；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，可判定①正确；先证明，得，可证，故②正确；根据，可得，故③错误． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，故③错误． 综上所述：①②正确， 故选A． 二、填空题（每题3分，共33分） 11. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，则，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 则， 故答案为：． 12. 已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握c为a、b的比例中项则有是解题的关键．根据比例中项的定义可求得c的值． 【详解】解：∵c是a、b的比例中项，，， ∴， ∴或（负数舍去）． 故答案为：3． 13. 如图，，交于点O．已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，掌握平行线截线段成比例的计算，正确列式是关键． 根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14. 如图，在中，点D在线段上，，，，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质正确列式求解是关键． 根据题意得到，，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：4 ． 15. 如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为_____米. 【答案】2.4 【解析】 【详解】解：如图： ∵AB∥CD ∴△ABE∽△CDE， ∴CE：AE=CD：AB ∴4：12=0.8：AB ∴h=AB=2.4米． 16. 如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有___________． 【答案】①②④. 【解析】 【详解】试题解析：由图可知∠A为两个要证明相似的三角形的公共角， 因此，只要再找出一组对应角相等，或两组对应边成比例即可证明△ABC∽△ACD． 而①②④分别与∠A为△ABC与△ACD的公共角相结合，均可推出△ABC∽△ACD． ③中∠A不是已知的比例线段的夹角，故不正确． 考点：相似三角形的判定． 17. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当________时，与相似． 【答案】5或 【解析】 【分析】若要与相似,则需要对应直角边成比例,代入数值计算即可． 【详解】由题意,知与都是直角三角形, 所以当或时,与相似, 由,,,得,, ∴或, ∴5或． 故答案为: 5或． 【点睛】与相似和是有区别的,前者没有明确两个三角形的对应关系,后者已给出了对应关系,因此前者要分类讨论． 18. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________. 【答案】5． 【解析】 【详解】解：设AE=x，则AC=x+4， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD. ∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理）， ∴∠CAD=∠CDB， ∴△ACD∽△DCE， ∴，即 解得：x=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．相似三角形的判定与性质． 19. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质．先根据“两角对应相等，两三角形相似”证明，则可得，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 20. 如图，、交于点E，，交于F，设，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的对应线段成比例是解题的关键．先证明，，得出，，根据即可求解． 【详解】， ， ， ， ， ， ，得， ， ， 解得，， 故答案为：． 21. 如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC，P是弦AC上一个动点，连接BP，并延长交半圆O于点D．若AB＝5，AC＝4，则的最大值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC，得到BCDE，根据勾股定理得到BC3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过O作OF⊥AC于F，作OG⊥DE于G，连接OD，BC， 则BCDE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC3， ∵DEBC， ∴△PDE∽△PBC， ∴， ∵OF⊥AC， ∴AF＝CF， ∴OFBC， ∵∠OFE＝∠FEG＝∠G＝90°， ∴四边形OFEG是矩形， ∴EG＝OF， ∵DE+EG＝DG≤OD， ∴DE≤1， ∴， 故的最大值是． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共57分） 22. 如图，，且，，求证：． 【答案】 证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】略． 23. 如图，，点是线段上的一点，且．已知． （1）证明：． （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 如图，已知在正方形中，是上的一点，且，是的中点．求证：． 【答案】 证明：设正方形的边长为， 则． 是的中点， ， ， ，， ． 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 设正方形的边长为，算出的值，的值，得到，即可证明； 【详解】略 25. 如图，在钝角三角形中，，，点D从点A出发沿以的速度向点B移动，点E从点C出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过多少秒时，以A、D、E为顶点与相似． 【答案】经过或时，以A、D、E为顶点与相似 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列式求解是关键． 根据题意，分类讨论：当时，；当时，；由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，点D从点A出发到点的时间为，点E从点C出发到点的时间为， 设运动时间为， ∴， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，经过或时，以A、D、E为顶点与相似． 26. 如图（1），内接于，，点在劣弧上运动．过点作，交延长线于，连接． （1）求证：． （2）求证： （3）当点运动到什么位置时，？请画出图，进行探索和证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵都是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （3） 解：点D运动到中点时，． 画图如下： 证明如下： ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由可得；由都是所对的圆周角得；又等边对等角可得，再运用等量代换即可证明结论； （2）先证明得，即． （3）点D运动到中点时，．由得；由得；又可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【小问1详解】 证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； 【小问2详解】 如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； 【小问3详解】 如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次月考测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 已知的三边长分别为、、，的两边长分别是和，如果与相似，那么的第三边长应该是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 5. 如图，若，则的度数是（ ） A. 50° B. 10° C. 40° D. 60° 6. 在中，，，，，则CD的长为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，E，D是BC边的三等分点，F是AC的中点，BF分别交AD，AE于点G，H，则BG∶GH∶HF等于(　　) 　 A. 1∶2∶3 B. 3∶5∶2 C. 5∶3∶2 D. 5∶3∶1 8. 如图在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 9. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 7 C. D. 8 10. 如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G，M．有下列三个结论：①垂直平分；②；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（每题3分，共33分） 11. 已知，则________． 12. 已知线段a、b、c，其中c为a、b的比例中项，，，则___________． 13. 如图，，交于点O．已知，，则________． 14. 如图，在中，点D在线段上，，，，那么________． 15. 如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为_____米. 16. 如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有___________． 17. 如图，在矩形ABCD中，，，点E在边AD上，，点F在边DC上，则当________时，与相似． 18. 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为__________. 19. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 20. 如图，、交于点E，，交于F，设，，则________． 21. 如图，以AB为直径的半圆O内有一条弦AC，P是弦AC上一个动点，连接BP，并延长交半圆O于点D．若AB＝5，AC＝4，则的最大值是 __． 三．解答题（共57分） 22. 如图，，且，，求证：． 23. 如图，，点是线段上的一点，且．已知． （1）证明：． （2）求线段的长． 24. 如图，已知在正方形中，是上的一点，且，是的中点．求证：． 25. 如图，在钝角三角形中，，，点D从点A出发沿以的速度向点B移动，点E从点C出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过多少秒时，以A、D、E为顶点与相似． 26. 如图（1），内接于，，点在劣弧上运动．过点作，交延长线于，连接． （1）求证：． （2）求证： （3）当点运动到什么位置时，？请画出图，进行探索和证明． 27. 中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $