精品解析：江苏省苏州工业园区东沙湖实验中学2025--2026学年九年级数学11月份期中考试数学卷

2025~2026学年初三年级第一学期期中练习卷 数学 2025.11 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分．考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 计算：___________． 10. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为________． 12. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 13. 已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 14. 已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 15. 如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C=21°，则∠BOE的度数等于____°． 16. 二次函数的图像与轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点的直线将分成两个面积相等的三角形，则a的值为____________． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 苏州园林，是中国传统园林艺术的瑰宝，以其精美的景观和独特的设计而闻名于世，其中沧浪亭、狮子林、拙政园和留园代表着不同朝代的艺术风格被并称苏州四大园林，小明和小丽分别挑选四个园林中的一个游玩，假设选择每个园林的可能性相同． （1）小明选择拙政园游玩的概率为________； （2）用树状图或列表法，求他们两人选择不同园林游玩的概率． 20. 年3月日是第届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了________名学生， （2）补全上面不完整的条形统计图； （3）根据比赛规则，分及以上（含分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 21. 已知关于x的方程：． （1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； （2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）当时，y的取值范围？ （3）求的面积． 23. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝16cm，AE＝4cm． （1）求⊙O的半径； （2）求OF的长． 24. 某超市销售一种商品，成本为每千克50元．当每千克售价60元时，每天的销售量为60千克，经市场调查，当每千克售价增加1元，每天的销售量减少2千克． （1）为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房的高度，如图，楼房后有一假山，其斜坡坡比为1∶，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为，假山坡脚C与楼房水平距离米，与亭子距离米． （1）求点E距水平地面的高度； （2）求楼房的高．（结果精确到整数，参考数据，） 26. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 27. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年初三年级第一学期期中练习卷 数学 2025.11 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分．考试时间120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，是解题的关键． 根据一元二次方程的定义进行判断作答即可． 【详解】解：中最高次数为1，不是一元二次方程，故A不符合要求； 中未知数有2个，不是一元二次方程，故B不符合要求； 不是整式方程，不是一元二次方程，故C不符合要求； 是一元二次方程，故D符合要求； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为，直接代入求解． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点坐标为． 故选 D． 3. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握正弦的定义． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， （米）， 故选：A． 4. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：∵的度数为， ， ， 为中点， ． 故选：D． 5. 已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案． 【详解】∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴在对称轴的右侧随的增大而减小， A点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦值，勾股定理．解题的关键在于构造含有的直角三角形．如图，延长到，连接，由图可知，勾股定理求的值，代入中计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，连接 由图可知： ∵， ∴ 故选D． 7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．由一元二次方程定义得出二次项系数；由方程有两个不相等的实数根，得出“”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：D． 8. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确， ∵图象与y轴的交点为正半轴， ∴c＞0，则abc＜0，故①错误， 由图象可知当x=1时，函数取最大值， 将x=1，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：， 将交点坐标代入得：， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 则②③④正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 10. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得到关于m的方程解题即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 故答案为：． 11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数图象平移的规则，“左加右减”针对自变量，“上加下减”针对函数值即可得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为． 故答案为： 12. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可． 【详解】解∵抛物线经过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 所以解析式为：， 当，则， 故答案为：． 13. 已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；由一元二次方程的解可得，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：，()是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：0． 14. 已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是___． 【答案】a≤2 【解析】 【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上， ∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大， 故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大， 所以a的取值范围为a≤2． 故答案为a≤2． 15. 如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C=21°，则∠BOE的度数等于____°． 【答案】63 【解析】 【详解】连接OD，利用半价相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解. 解：连接OD， ∵CD=OA=OD，∠C=21°， ∴∠ODE=2∠C=42°， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=42°， ∴∠EOB=∠C+∠E=42°+21°=63°， 故答案为63. 16. 二次函数的图像与轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点的直线将分成两个面积相等的三角形，则a的值为____________． 【答案】##0.9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数综合，先得出，，再根据过点的直线将分成两个面积相等的三角形，得出过点M的直线为中线，然后进行分类讨论：分别求出各条中线的函数解析式，将点M的坐标代入，求出a的值，即可．①当该直线为边上的中线时，②当该直线为边上的中线时，③当该直线为边上的中线时． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， 把代入得：， ∴， ∵过点的直线将分成两个面积相等的三角形， ∴过点M的直线为中线， ①当该直线为边上的中线时， 令中点为点D， ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入的：， 解得：，不符合题意，舍去； ②当该直线为边上的中线时， 令中点为点E， ∵，， ∴， ∵， ∴轴，不符合题意，舍去； ③当该直线为边上的中线时， 令中点为点F， ∵，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入的：， 解得：； 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，然后进行乘法运算，最后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解： ． 19. 苏州园林，是中国传统园林艺术的瑰宝，以其精美的景观和独特的设计而闻名于世，其中沧浪亭、狮子林、拙政园和留园代表着不同朝代的艺术风格被并称苏州四大园林，小明和小丽分别挑选四个园林中的一个游玩，假设选择每个园林的可能性相同． （1）小明选择拙政园游玩的概率为________； （2）用树状图或列表法，求他们两人选择不同园林游玩的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算以及列举法求概率，熟练掌握简单概率公式和正确作出列表是解题关键． （1）根据简单概率计算公式求解即可； （2）结合题意作出列表，然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，苏州四大园林：沧浪亭、狮子林、拙政园和留园， 小明选择拙政园游玩的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 分别用表示沧浪亭、狮子林、拙政园、留园， 根据题意，作出列表如下， 小明 小丽 由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小丽选择不同园林游玩的有12种结果， ∴他们两人选择不同园林游玩的概率． 20. 年3月日是第届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了________名学生， （2）补全上面不完整的条形统计图； （3）根据比赛规则，分及以上（含分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3）名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由分的人数及其所占百分比可求得本次调查共抽取的人数； （2）用抽取的总人数乘以分人数所占百分比求出分的人数即可补全图形； （3）总人数乘以样本中分及以上人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次调查共抽取的人数为（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：分人数为（名）， 【小问3详解】 解：（名． 答：估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是名． 21. 已知关于x的方程：． （1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； （2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根． 【答案】（1）该方程的另一个根为 （2） 证明：∵ ， ∴无论k取何值，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式及根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程中得到关于k的一元一次方程，解方程求出k的值，再把k的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵方程有一个根是2， ∴ 解得：． ∴原方程为：． 设另一根为，则， 解得． ∴该方程的另一个根为； 【小问2详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点D的坐标； （2）当时，y的取值范围？ （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点和与坐标轴的交点，利用二次函数图象解不等式，二次函数上点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式即可； （2）求出当时的函数值，结合函数的图象求出y的取值范围； （3）令求出、点坐标，令求出点坐标，作轴交直线于交轴于，可求出解析式及点坐标，利用求解即可． 【小问1详解】 解：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵顶点的坐标为， ∴当时，， 由图象得当时，； 【小问3详解】 解：令，即， 解得，，， ，， 令，则， ， 设解析式为，代入坐标得： 解得， ∴解析式为， 作轴交直线于， 当时，代入， ∴， ， ． 23. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝16cm，AE＝4cm． （1）求⊙O的半径； （2）求OF的长． 【答案】（1）10；（2）OF＝2 【解析】 【分析】（1）连接OB，设半径为R， 则OE＝R－4，再由垂径定理求得BE，根据勾股定理求出R即可；(2)根据勾股定理求得BC，证明△CFO∽△CEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【详解】 解：（1）连结OB,设半径为R， 则OE＝R－4 ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于E ∴ BE＝DE＝8 在Rt△BOE 中 ， OE2＋BE2＝OB2 ∴ (R－4)2＋82＝R2 解得R＝10． (2) 根据勾股定理得 BC＝8 可证△COF∽△CBE 得＝ 即＝ ∴ OF＝2 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，灵活应用垂径定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 24. 某超市销售一种商品，成本为每千克50元．当每千克售价60元时，每天的销售量为60千克，经市场调查，当每千克售价增加1元，每天的销售量减少2千克． （1）为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为65元或75元 （2）当销售单价定为70元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元 【解析】 【分析】（1）设该天的销售单价应定为m元，根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可； （2）设销售单价为x元，当天的销售利润为y元，根据总利润单个的利润销售量，列出y与x的函数关系式，求出y的最大值即可． 【小问1详解】 解：设该天的销售单价应定为m元，根据题意得： ， 解得：，， 答：为保证某天获得750元的销售利润，则该天的销售单价应定为65元或75元． 【小问2详解】 解：设销售单价为x元，当天的销售利润为y元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，y有最大值，且最大值为800， 答：当销售单价定为70元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握总利润单个的利润销售量． 25. 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房的高度，如图，楼房后有一假山，其斜坡坡比为1∶，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为，假山坡脚C与楼房水平距离米，与亭子距离米． （1）求点E距水平地面的高度； （2）求楼房的高．（结果精确到整数，参考数据，） 【答案】（1）20米 （2）85米 【解析】 【分析】（1）过点作于点．在中，求出，然后根据勾股定理解答； （2）过点作于点．在中，，结合（1）中结论得到的值，再根据，求出的值． 【小问1详解】 解：过点作于点． 在中，米，， ， ， （米）． 答：点距水平面的高度为20米． 【小问2详解】 过点作于点． 则，． 在中，， ， 由（1）得（米）， 又米， 米， （米）， 答：楼房的高约是85米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 26. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 27. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），2 （2） （3）存在，点或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $