精品解析： 浙江省金华市义乌市丹溪中学2025-2026学年上学期期中考试九年级 数学试题

丹溪中学九年级数学独立作业 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）. 1. 下列事件中，属于必然事件的是( ) A. 打开电视机，正播放新闻 B. 抛一枚硬币正面朝上 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 我们看到的太阳从东边升起 2. 如果m ：n=1：2，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）． A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 没有变化 5. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( ) A. B. C. D. 6. 如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别在，边上，，于点，与交于点，若与四边形的面积相等，则的值为( ) A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 二.填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若3是和6的比例中项，则的值为________ 12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 13. 如图，将一个三角形纸板的顶点放在上，经过圆心．，半径，则在上被这个三角形纸板遮挡住的的长为______．（结果保留） 14. 如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为______． 15. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为______． 16. 如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在对角线上，连结并延长交于点，若平分，则的值为______，的值为______． 三、解答题（本题共有8小题，第17~21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共72分.请务必写出解答过程.） 17. 按要求解答下列各题 （1）计算：； （2）已知，求的值． 18. 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，________． （2）如图②，在上找一点，使． （3）如图③，在上找一点，连接、，使与相似．（写明画图过程） 20. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）如果BC=， AC=3，求CD的长． 21. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元，请你分别用的代数式来表示销售量件和销售该品牌玩具获得利润元，并把结果填写在表格中（结果要化到最简哦）： 销售单价（元） 销售量（件） 销售玩具获得利润（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 23. 定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． （1）当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． （2）函数关于点的相关函数是，求点的坐标． （3）当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 24. 如图，四边形内接于，连结，交于点，点是上一点，连结，交于点，且满足． （1）求证：； （2）若点是， 求证：； 若，时，求的值． （3）如图，当点是的中点时，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹溪中学九年级数学独立作业 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）. 1. 下列事件中，属于必然事件的是( ) A. 打开电视机，正播放新闻 B. 抛一枚硬币正面朝上 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 我们看到的太阳从东边升起 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．利用定义分析即可得出答案． 【详解】解：、打开电视机，正播放新闻，是随机事件，故选项不符合题意； 、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，故选项不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故选项不符合题意； 、我们看到的太阳从东边升起，是必然事件，故选项符合题意． 故选：． 2. 如果m ：n=1：2，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质得出m，n的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出． 【详解】解：∵m ：n=1：2， ∴， 当，时，，故A错误； B、，故A正确； C、，故C正确； D、，故D正确； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想． 3. 点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，牢记当点到圆的距离小于半径、等于半径和大于半径时，点分别在圆内、圆上和圆外，牢记点和圆的三种位置关系是解题的关键． 【详解】解：点在圆外 点到圆的距离大于圆的半径 点到圆的距离为6 故选：A． 4. 在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）． A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的 D. 没有变化 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变． 【详解】∵中，如果每个边都缩小为原来的， ∴锐角A的对边与邻边的比值不变， ∴锐角A的正切值不变． 故选D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值是直角三角形边长比，取值由角的大小决定． 5. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：， 即： 故选：C 6. 如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式直接解答即可． 【详解】解：扇形面积为：， 故选：C． 7. 如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义；根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解． 【详解】解：，， 平分， ，， ， 过点作， 平分， ， ，即：，解得：， ， 故选D． 8. 如图，在中，，分别在，边上，，于点，与交于点，若与四边形的面积相等，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质； 证明，根据相似三角形的性质求出相似比，然后证明，根据相似三角形的性质求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵与四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，作直径，当点在(不与重合)上运动时，，由，得到，进而得到，，由此得到，即可得到是等边三角形，得到，求出，再由求出，即可求出的长的范围，解题的关键是判定是等边三角形，由锐角的正弦求出的长． 【详解】解：如图，作直径， 当点在(不与重合)上运动时，， ∵， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长的范围是， 故选：． 10. 如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转，连接，证明，可得，再解直角三角形求出，根据三角形三边关系可得，即可解答． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，连接， 四边形是正方形， ，， ，即， 将绕点逆时针旋转， ， ， ， ，， ， 结合的三边关系，可得， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 二.填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若3是和6的比例中项，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，若数a是数b和数c的比例中项，那么，据此列出方程并求解即可． 【详解】解：∵3是和6的比例中项， ∴，即， 解得， 故答案为：． 12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和个白球， ∴由简单概率公式可得，解得， ∴白球有6个， 故答案为：6． 13. 如图，将一个三角形纸板的顶点放在上，经过圆心．，半径，则在上被这个三角形纸板遮挡住的的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式的计算，连接，由圆周角定理可得，代入弧长公式计算即可求出的长，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴的长， 故答案为：． 14. 如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由得，，进一步推得，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即得答案． 【详解】， ，， ， 是的中线， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ． 15. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据当时，的最小值为，得出，根据二次函数的最值求出当时，的最大值为． 【详解】解：∵当时，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，的最小值为， ∴当时，有最小值为： ， ∵， ∴当时，的最大值为． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在对角线上，连结并延长交于点，若平分，则的值为______，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，交于点，作，根据矩形，折叠的性质，推出为等腰三角形，进而得到，即可得到的值，设，证明，推出的长，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，作， ∵矩形，与关于直线对称， ∴，， ∴，， 平分， ∴， ∵， 平分， ， ， ∴， ∴， ， ∴； ∵，， ∴， 设，则：， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值．掌握矩形和折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形和等腰三角形，是解题的关键． 三、解答题（本题共有8小题，第17~21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共72分.请务必写出解答过程.） 17. 按要求解答下列各题 （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算、代数式求值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据特殊角的三角函数值化简，然后再运算即可； （2）先用a表示出b，然后再代入计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 18. 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． （1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； （2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，________． （2）如图②，在上找一点，使． （3）如图③，在上找一点，连接、，使与相似．（写明画图过程） 【答案】（1） （2） 如图②所示，点即为所求； （3） 解：如图③所示： 点即为所求． 画图过程如下： ， 反向延长得到， 连接交于点，如图所示． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 理由：， ， 连接，根据即可得到． 20. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）如果BC=， AC=3，求CD的长． 【答案】（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△BDC∽△ABC； （2）CD=2. 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】 证明：（1）略 （2）∵△BDC∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴CD=2． 【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质. 21. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm （2）点A到直线的距离约为21.5cm 【解析】 【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答； （2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图2，过点C作，垂足为N 由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． 【小问2详解】 解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F， ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键． 22. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元，请你分别用的代数式来表示销售量件和销售该品牌玩具获得利润元，并把结果填写在表格中（结果要化到最简哦）： 销售单价（元） 销售量（件） 销售玩具获得利润（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） 填表为： 销售单价（元） 销售量（件） 销售玩具获得利润（元） （2）50元或80元 （3）12000元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据销售单价变化规律列出代数式； （2）依据题意，由，可令，则，从而计算可以得解； （3）依据题意，由，从而，又，结合，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：销售单价为x元，比40元涨了元，销售量减少件， 销售量； 利润； 【小问2详解】 解：令，即， 整理得：， 解得或， 答：该玩具销售单价应定为50元或80元； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得， 而， 对称轴为直线， ∵，对称轴， ∴在范围内，w随x增大而增大， 当时，（元）。 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12000元。 23. 定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． （1）当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． （2）函数关于点的相关函数是，求点的坐标． （3）当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 【答案】（1）①；② （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义函数以及二次函数的性质，关键是根据中点公式求出相关函数的顶点坐标，进而求出相关函数． （1）①直接根据相关函数的定义求解即可； ②根据二次函数的性质可知顶点坐标为，由相关函数的定义可知新函数的顶点为，可得新函数的表达式为：，最后将点A的坐标代入解析式求得a的值即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，然后运用中点公式确定中点坐标即可解答； （3）求出相关函数分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，点，相关函数顶点坐标为 则相关函数为：， 故答案为：； ②∵二次函数的顶点坐标为， ∴相关函数的顶点坐标为， ∴新函数的表达式为， 将点代入上式并解得； 【小问2详解】 解：函数和函数的顶点坐标分别为，， 由中点公式得：， 即； 【小问3详解】 的顶点为：， 设相关函数顶点为：， 由中点公式得：， 解得：， 则相关函数顶点为：， 则相关函数的表达式为：； 可知开口向上，对称轴为直线， 如图： ①当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ③当且即时， 函数在顶点处取得最小值，即， ， ， 解得：（舍去），（舍去）； 综上所述，或． 24. 如图，四边形内接于，连结，交于点，点是上一点，连结，交于点，且满足． （1）求证：； （2）若点是， 求证：； 若，时，求的值． （3）如图，当点是的中点时，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 证明：∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上可知的值为或； （3）． 【解析】 【分析】（）利用同弧所对的圆周角相等，即可求解； （）点是的中点，得出，，根据角度和差得到，即可求解； 延长交于点，连接，证明得到，，，则，求出，由有，从而求出，最后根据，得到，即可求解； （）过作，交于点，由则，设，求出即可； 本题考查了圆周角定理，三角函数，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 延长交于点，连接，连接交于点， 由得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，，则， ∴，则， ∴， ∵在中，， 设的对边为，则， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，由， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 由，， ∴，解得，， ∴或， 综上可知的值为或； 【小问3详解】 过作，交于点， 同理， ∴， ∵点是的中点， 则设， ∴，即，整理得， 解得：（舍去），， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $