6.1 正弦、余弦、正切、余切（第5课时）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

6.1正弦、余弦、正切、余切（第5课时)同角三角比的关系(2) 一，填空题 l.己知sina+cosa= 5,则sina·cosa的值为 1 2.已知cosa+sina=2,则tana= sina-cosa 3. 已知tana=3,则cos+sina」 cosa-sina 4.化简：sin4a-cos4u+cos2a-sin2a= 4 5.若sina+cosa=-,则tana+cota= 3 6.已知sina=cota,那么cos= 7.若tana=2,则3cos2o+8 sin a cosa-3sin2a= 8.若tana+cota=-2,则sina+cosa= 9.已知实数x满足关系式log2x=1-sin0,则|x-1+|x-91的值是 3 10.若a∈π，2元 化简： 1-cosa 1+cosa 1+cosa \1-cosa 二. 选择题 l1.化简tana(1-cot2a)+cota(1-tan2a)的结果是(). (A)tana (B)cota (C)0 (D)2tana +2cota 12.已知角A是三角形△ABC的一个内角，且cosA-sinA=,则aABC是(). (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)无法确定 三.解答题 1 13.已知sin0+cos0=。,0∈[0，π]. (1)求sin0-cos0的值； (2)求cot0的值 14已知ama=,求： (1) sinacosa:(2)sin (3)sin'a-sina.cosa-cos'a. 2sina-3cosa 1+cos2a 15证明下列恒等式：11+ana=oa:《2)1tc“= sina sina 1-cosa 16.(1)求证： sin2a cos'a=1-sina cosa 1+cota 1+tana (2)已知a、B都是锐角，且sina=msin B,tana=ntan B,求证： cosa= m2-1 n2-1 2 6.1正弦、余弦、正切、余切（第5课时）同角三角比的关系(2)（答案版） 一.填空题 1.已知sina+cosa= 5’则sina·cosa的值为 1 1 【答案】由(a+cosa)2=1+2 sina.cosa= 12 →sina·cos0= 25 25 2.已知cosa+sina=2,则tana= sina-cosa 【答案】 1+tanc=2整理得：1+tana=2tana-2,解得tana=3. tana-1 3. 已知tana=3,则cosc+sina」 cosa-sina 【答案】原式=l+ana =-2. 1-tano 4.化简：sin4a-cos4a+cos2a-sin2a= 【答案】sin4a-cos4a=(sin2a-cos2a)(sin2a+cos2a)=sin2a-cos2a,于是有 (sin2a cos2a)+cos2a -sin2a =0. 5.若sina+cosa= 3,则tana+cota= 【答案】：(sina+cosa)2=1+2 sina cosa= 16 9sina cosa= 7 8 1 18 于是tana+cota= sina cosa 7 6.已知sina=cota,那么cosa= 【答案】由cota=cos ,得sina sina cos0,即sin2a=cosa· sina 结合sin2a=1-cos2a,得1-cos2a=cosu,即cos2a+cosa-1=0. 解得cos&e-1生5，又cosa∈-，，故cosa=V5-1 2 7.若tana=2,则3cos2a+8 sina cosa-3sin2= 【答案】3+8tana-3tan2a-3+16-127 tan2a+1 4+15 8.若tana+cota=-2,则sina+cosa= 【答案】由ana+cota=sin2a+cos2a sina cosa sina cosa =-2,得sina cosa=-1 2 (sina cosa)2=1+2sina cosa =1-1=0,sin a cosa =0. 9.已知实数x满足关系式log2x=1-sin0,则|x-1川+|x-9的值是 【答案】由sin0∈[-l,1],得1-sin0∈[0,2]，故x=2-sim8∈[l,4]. 则|x-1+|x-9=(x-1)+(9-x)=8. 3 10.若a∈ 化简： -cosa 1+cosa 1+cosa 11-cosa 【答案】利用 1-cosa 1-cosa 1+cosa 1+cosa V1+cosa sina 11-cosa sina 3 aeπ，2π 时sina<0,故sina=-sina,代入得： 1-cosa +cosa+1 2 -sin a -sina 二.选择题 11.化简tana(1-cot2a)+cota(1-tan2a)的结果是(). (A)tana (B)cota (C)0 (D)2tana+2cota 【答案】展开式子：tana-tana cot2a+cota-cota tan2a. 由tana cota=l,得tana cot2=cota,cota tan=tana,代入得： tana-cota+cota-tana=0,故选(C) 12.已知角A是三角形：48C的一个内角，且csA-sn4-写，则&4BC是(. (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)无法确定 0)3F班‘0<兰=Fs0VuIs日‘(0)3/‘三=Vs-Hso3国【米号】 25 所以△ABC中A是锐角，但由于无法确定角B与角C的情况，故选D. 三.解答题 13.已知sin0+cos0=},0∈0，π]. 3 (1)求sin0-cos0的值； (2)求cot0的值 【答案】(1》对sm0+cos0=平方，得m0+cos0-号，即 1+2sin0cos0=】,解得sin0cos0=-4 9 因为0∈[0，π]，sin0≥0，故cos0<0,所以sin0-cos0>0. (sin0-cos0)2=1-2sin0cos0=1-2×(- =?,故sin0-cos0=7 9 3 1 sin0+cos= 3 (2)联立 ,解得sin0= 1+V17 sine-cos0= 6 cos0=1-vi7 6 3 coto=cos0 V17-9 sin0 8 14已知ama=3,求： (1) sina+cosa (2）sina-cos2a 2sina-3cosa ;(3）sin2a-sina·cosa-cos2a. 1+cosa 【答案】(1)原式= tana+1 3 2tana-3 4 (2)原式=tan2a-1.1 tan'a+2 3 (3)原式=sin'a-sinacos-cos2a_tan2a-tana- =-1. sin2a cos2a tan'a+1 15.证明下列恒等式：(1)1+tan2a= cos:(2)1tcosa 1 sina sina 1-cosa; 【答案】(1)1+tan2a=1+sin2a-cos2a+sin2a_ 1 cos-a cos-a cos-a (2) 1+cosa (1+cosa)(1-cosa)1-cos2a sin2a sina sina sina(1-cosa) sina(1-cosa)sina(1-cosa)1-cosa 16.(1)求证： sin'a cos'a=1-sina cosa 1+cota 1+tana (2)已知a、B都是锐角，且sina=msin B,tano=ntan B,求证： m2-1 cosa= n2-1 【答案】 (1)左边=sin2a cos'a sin'a cos3 a sin3a+cos3a 1+cosa 1+sina sina +cosa sina+cosa sina+cosa sina cosa sin3a+cos3a=(sina+cosa)(sin2a-sina cosa+cos2a),代入得： 左边=(Sina+cosa)1-sinacosa) =1-sina cosa=右边，得证. sina +cosa (2》由ma=namB，得g=n8，结合sa=msnB，得 -=n. cosa cosβ msnB=nsg,5inB≠0，故m=”g,即cosB="cosa cosa cos B cosa cosβ m 又sin2B+cos'B=l,sinB=sine,代入得：(sin)+cosy=l,即 m m m sin2 a +n2 cos2 a m2. 因为sin2a=1-cos2,所以1-cos2a+n2cos2au=m2,整理得 cosi a(n2-1)=m2-1,cosam-1 n2-1 a是锐角，cosa>0,所以cosa= m2-1 得证 n2-1 6