专题06已知正弦、余弦或正切值求角（4种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题06已知正弦、余弦或正切值求角（4种题型） 思维导图 核心考点聚焦 题型一、已知正弦、余弦或正切值求角 题型二、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角 题型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围 题型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展 如果是锐角，且满足，那么. 如果不限定是锐角，那么由诱导公式可知，也满足. 再由诱导公式（）可知，或（）都满足. 那么，是否还有其他的角满足呢？下面我们就来研究这个问题. 为此目的，设是一个任意给定的角，我们希望确定所有满足的角. 设角的终边与以原点为圆心的单位远的交点为，过点作轴的垂线，如图（1）所示. 由正弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点必在此直线上. 当（）时，此直线交单位圆于两点和. 由于这两点分别位于角和角的终边上，因此满足的角的全体为或，，可简记为，. 当（）时，过点且垂直于轴的直线与单位圆相切于，此时满足角的全体为，，这个集合也可以用上面所示的形式来表示. 事实上，其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同，而对于上述集合第二部分所给的表达式，由于在（）时， （）， 此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致. 这样，我们就得到： 若，则或，，即，. 同理，如图（2），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由余弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过点且垂直于轴的直线上，从而满足的角的全体为，. 这样，我们就得到： 若，则，. 如图（3），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由正切的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过原点和点的直线上，从而满足的角的全体为，. 这样，我们就得到： 若，则，. 题型一、已知正弦、余弦或正切值求角 【例1】如果已知，求：满足条件的角的集合； 【变式1】根据下列条件，分别求角： （1）已知；（2）已知；（3）已知. 【变式2】. 已知角终边上一点，且，能否求出、的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由. 【变式3】. 已知集合，. （1）当时，求x的值；（2）当时，求x和y的值. 题型二、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角 【例2】（1）已知，求：满足条件的角的集合； （2）已知，求：在区间内满足条件的角的集合； （3）已知，求：在区间内满足条件的角的集合； 【变式】. 求下列方程的解集： （1），； （2），. 题型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围 【例3】（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 题型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展 【例4】已知，求：满足条件的角的集合； 【变式1】. 已知关于x的方程. （1）当时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围. 【变式2】. 根据下列条件，求角x：（1）已知，；（2）已知，x是第三象限角. 一、填空题 1、已知cos x＝，0＜x＜，则角x等于 2、已知cos x＝，＜x＜，则角x等于 3、若tan α＝，且α∈，则α＝________ 4、若tan x＝，且x∈(－π，π)，则x＝________ 5、方程2cos＝1在区间(0，π)内的解是__________ 6、函数的定义域为______． 7、已知cos x＝，0＜x＜，则角x等于 8、已知cos x＝，＜x＜，则角x等于 9、若tan α＝，且α∈，则α＝________ 10、若tan x＝，且x∈(－π，π)，则x＝________ 11、方程2cos＝1在区间(0，π)内的解是__________ 12、如果，且，那么角的取值范围是 二、选择题 13、方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 14、“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15、已知，则＝（ ） A． B． C． D． 16、满足等式的的集合是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17、求：方程的解集 18、求：方程的解集。 19、分别求满足下列条件的x的值： （1）sin x＝，x∈[－π，π]； （2）cos x＝－，x∈； （3）tan x＝－1，x∈； （4）cos＝，x∈[0，π] 20、求满足下列条件的的集合： （1）；（2）； 21、已知； （1）当时，求x的取值集合； （2）当时，求x的取值集合； （3）当时，求x的取值集合； 22、求