精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

定远育才学校2025-2026学年第一学期九年级期中检测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在函数图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知二次函数的图象上有三个点，坐标分别为，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点在边上，，，点在边上，，线段与线段交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ﹣3 D. 3 10. 如图，如图，直线与抛物线图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为__________； （2）若的面积为3，则的值为_____． 12. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 13 如果，那么_____． 14. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点． （1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； （2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 16. 已知，y与x的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 2 … y … －3 －4 －3 5 … （1）求二次函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出不等式的解集． 17. 如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度沿向点移动；点以的速度沿向点移动，经过多少秒，和相似？ 18. 中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． （1）求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； （2）若，求的面积．（结果保留根号） 19. 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 20. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 21. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求的面积； 23. 如图，抛物线顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年第一学期九年级期中检测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【详解】解：∵, ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 3. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键；根据反比例函数k的几何意义可知：，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知：四边形是矩形， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴； 故选B． 4. 已知二次函数的图象上有三个点，坐标分别为，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图像开口向下，三点在对称轴右边，y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向下， ，，三点在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数时，开口向上，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，开口向下，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键． 5. 如图，在中，点在边上，，，点在边上，，线段与线段交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，如图所示： ∵， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∴，，； 综上所述：错误的是C选项； 故选C． 6. 已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 7. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项A的图象符合题意， 故选：A． 8. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴， A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D、添加不能证明，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ﹣3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBE＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠CBE， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝4， ∵AB＝5， ∴OB＝＝3， 在△ABO和△BCE中，， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3， ∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1， ∴点C的坐标为（﹣3，1）， ∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C， ∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3， 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键． 10. 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；还可由图象上点的坐标判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线对称轴是直线， 且． 抛物线与轴交于正半轴， ． ∴ ①错误； 故②是正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，则， ， 点的坐标为． 直线当时，， 可得． ③正确； 直线与抛物线的图象有两个交点 ， 得，， 由图象知， ， ， ∴④正确． 综上，正确的命题有3个． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为__________； （2）若的面积为3，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，反比例函数的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键 （1）根据题意将点A代入即可得出结果； （2）由（1）得出点坐标，进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：（1）点在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题二次函数图象的平移变换；根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：先向右平移1个单位长度将替换为， 再向下平移3个单位长度在原解析式后面减3， ∴平移后解析式为， 故答案为：． 13. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与轴的交点坐标得出其对称轴．先根据和求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和 ∴对称轴为 ∵抛物线还经过点和， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的距离离轴越远，函数值越小， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点． （1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； （2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据关系式可求出抛物线与轴的交点坐标，即点的坐标，再根据平移可得点坐标； （2）由于抛物线的图像恒过点，因此分两种情况：①对称轴是轴或在轴左侧时，②对称轴在轴右侧时，进行解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点的坐标为， ∵将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， ∴点坐标为． 故答案为：；． 【小问2详解】 抛物线的对称轴为直线，抛物线恒过点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， ①当对称轴轴或在轴左侧时，即时， ∴抛物线与直线的交点的横坐标是方程的解，即的两个根， 解得：，， 当抛物线与线段有一个公共点时，有： ，即：， 解得：； ②当对称轴在轴右侧时，即时， ∴抛物线与直线的交点的横坐标是方程的解，即的两个根， 解得：，， 当抛物线与线段有一个公共点时，有： ， ∴，即：， 解得：． 综上所述，当或时，函数的图像与线段恰有一个公共点． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—平移，二次函数与一次函数的交点情况，掌握点平移的坐标规律和二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，解一元二次方程等知识．解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出点的坐标；（2）分两种情况：对称轴是轴或在轴左侧时；对称轴在轴右侧时，找出关于的一元一次不等式． 16. 已知，y与x的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 2 … y … －3 －4 －3 5 … （1）求二次函数的表达式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）(－3，0)，(1，0)；（3）x＞0或x＜－2 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法计算即可； （2）求出时x的值，即可得解； （3）根据表格得出时x的值，在根据二次函数的性质即可得出解集； 【详解】（1）依题意有：将(－2，－3)，(－1，－4)，(0，－3)代入 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）令时，则有：， 解得：，， ∴该函数图象与x轴两个交点的坐标分别是(－3，0)，(1，0)； （3）由表格可知， ，即的解为或0， ∵，抛物线开口向上， ∴不等式解集是：x＞0或x＜－2． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线于坐标轴的交点，二次函数与不等式，准确计算是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度沿向点移动；点以的速度沿向点移动，经过多少秒，和相似？ 【答案】经过2.4或秒． 【解析】 【分析】存在2种情况，一种情况是△CQP∽△CAB，还有一种是△CQP∽△CBA，用线段比相等可求得. 【详解】解：设经过t秒，则BP=2t，CQ=t，∴PC=8-2t． ∵∠QCP=∠ACB， ∴当=时，即 =，解得：t=2.4 当=时，即 =，解得：t= 综上，经过2.4或秒 【点睛】本题考查利用相似性质求解线段长，解题关键是分辨出存在2解得情况，然后分别按照相似的性质求解即可. 18. 中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． （1）求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； （2）若，求的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点； （2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， 又∵， ∴， ∴D是的黄金分割点； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积． 19. 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，顶点坐标为，设石弹运行的函数关系式为， 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 20. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 21. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 证明：∵， ， ， 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求的面积； 【答案】（1）； （2）或； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； 【小问3详解】 解：在中，令，则，即， ∴， ∴． 23. 如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到，，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设，作轴交于点，则，可得到，进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：设直线表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的面积综合，一次函数的解析式，二次函数的解析式，勾股逆定理，两点间的距离公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $