排列与组合 讲义——2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 讲义：排列与组合 知识点1 排列与组合 1．排列与组合的概念 (1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． (2)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 2．排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 3．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式：n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (2)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘)．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定． (3)组合数的计算公式：，由于，所以． (4)组合数的性质：①；②；③． 知识点2 排列、组合的常见问题与解题策略 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. (6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型1 排列数、组合数的计算】 【例1-1】（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解题思路】根据排列数的运算直接求解即可. 【解答过程】根据排列数的运算，. 故选：C. 【例1-2】（    ） A．65 B．160 C．165 D．210 【解题思路】根据排列数及组合数公式计算可得. 【解答过程】. 故选：C. 【例1-3】已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【答案】或 【解题思路】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合的取值范围即可求解. 【解答过程】根据组合数的性质，由 可知：或， 即或，所以和均满足题意， 所以该方程的解为：或. 故答案为：或. 【变式1-1】（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-2】化简式子：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】本题将复杂的组合问题转化为“从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和”模型，等价于“从装有球中取出个球的不同取法数”,即可解决. 【解答过程】表示： 从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和. 又从装有球中取出个球的不同取法数. 所以， 所以 故选：C. 【变式1-3】若，则 ． 【答案】2 【解题思路】根据组合数的性质计算可得结果. 【解答过程】由题意得，且，解得， ∵，∴或， 解得（舍去）或． 故答案为：2. 【题型2 全排列问题】 【例2-1】用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】根据全排列规则，计算结果即可. 【解答过程】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 【例2-2】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】D 【解题思路】空间站的主体结构包括3个舱，恰好3名宇航员，每个舱安排一个人，正好是全排列问题，求解即可. 【解答过程】甲、乙、丙共3名航天员分别到天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱3个舱开展实验，每个舱安排一个人， 不同的安排方法共有（种）. 故选：D. 【例2-3】某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（    ） A．7205秒 B．7200秒 C．秒 D．7190秒 【解题思路】依题意每次闪烁共秒，再利用全排列求出不同的闪烁数，又相邻两个闪烁的时间间隔为秒，即可求出所需时间. 【解答过程】依题意每次闪烁共秒， 所有不同的闪烁为个，相邻两个闪烁的时间间隔为秒， 因此需要的时间至少是秒. 故选：C. 【变式2-1】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【解题思路】将四个数字全排列即可. 【解答过程】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个. 故选：D. 【变式2-2】一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 【答案】D 【解题思路】求六个互不相同的数的全排列即可. 【解答过程】六个互不相同的数的全排列共有个， 为使行中的任意两行都不重复，则需，故的最大值为720. 故选：D. 【题型3 有限制的排列问题】 【例3-1】某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（   ）种不同的排法． A．216 B．264 C．312 D．528 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按小明和小刚坐在左、右分类，再利用排列、组合计数问题列式求解. 【解答过程】按照1－7的序号对座位进行编号，左侧编号1－4，右侧编号5－7， 若小明和小刚坐在左侧，则安排情况为，共3种排法， 小明和小刚可互换位置，小强排在右侧有3种排法，剩下的4人有种排法， 因此小明和小刚坐在左侧时共有种排法； 若小明和小刚坐在右侧，则安排情况为，共2种排法，小明和小刚可互换位置， 小强只有一种排法，剩下的4人有种排法，因此小明和小刚坐在右侧时共有种排法， 所以不同的排法共有种情况. 故选：D. 【例3-2】因工作需要，某单位安排甲、乙、丙、丁4位领导在端午节3天假期值班，要求每天有两人值班，且每人需要值班1天或2天，则不同的值班方案有（   ） A．92种 B．90种 C．86种 D．76种 【答案】B 【解题思路】根据题意，先确定值班天数分配，然后分两种情况讨论，结合组合数以及两类计数原理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】总值班人次为，每人需要值班1天或2天， 因此唯一可能的分配是其中两人各值班天，另外两人各值班天， 先从四人中选出值班两天的两人，有种， 假设选出的两人分别为甲乙，需要值班天，另外两人丙丁各值班天，具体分两种情况， 若甲乙共同值班天，选择共同值班的天，有种情况， 剩余天，由丙丁共同值班仅种方式，总方式； 若甲乙共同值班天，从天中选天，有种情况， 然后甲从剩余的天选择天值班，乙选择剩下天，有种情况， 然后丙丁分别在甲乙剩余值班天中各选择天，有种方式，总方式； 一共有种方式， 则总方案数有种. 故选：B. 【例3-3】“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（   ） A．66 B．75 C．78 D．90 【答案】B 【解题思路】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可. 【解答过程】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）； 若千位数字是7，则共有（个）； 若千位数字是8，则共有（个）． 故符合条件的四位数共有（个）． 故选：B. 【例3-4】甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【答案】B 【解题思路】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 【变式3-1】甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（    ） A．144 B．192 C．360 D．480 【解题思路】分2步进行分析：①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间；②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，由分步计数原理计算即可． 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： ①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间，有种情况； ②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有种排法； 则有种不同的站法． 故选：B. 【变式3-2】为弘扬中国优秀传统文化，某市决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则:参赛学生从《红楼梦》、《论语》、《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（   ）种 A．132 B．148 C．156 D．180 【解题思路】分选出的4人中含甲和不含甲两种情况，含甲时再分甲单独参加，和其中1名同学共同参加，求出不同的安排方法相加即可. 【解答过程】若选出的4人中含甲，再从剩余4人中选择3人，有种选择， 若比赛时安排甲单独参加《红楼梦》、《史记》的其中一本书的知识竞赛，有种选择， 则剩余的3人参加剩余2本书的知识竞赛，则有种选择，此时共有种选择， 若比赛时安排甲和3名同学中的一名参加《红楼梦》、《史记》中1本书的知识竞赛有种， 余下的2人参与其它两本的知识竞赛，则有种，此时共有种， 故共有种选择， 若选出的4人中不含甲，则选出的4人分为3组，参加比赛，共有种选择， 综上，共有种安排方法. 故选：A. 【变式3-3】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 【解题思路】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【解答过程】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先排左右两端，有种排法， 再排中间4个位置，有种排法， 所以不同的排法种数为种. 故选：C. 【变式3-4】某大学开学时选择选修课程，甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程，每门选修课程至少有一人选择，甲、乙都不选音乐鉴赏，但能选择其他三门选修课程，丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程，则不同的选择方法有（    ）种． A．324 B．234 C．216 D．126 【解题思路】根据题意，按甲乙是否选择同一门课程分2种情况讨论，由加法原理计算可得结果. 【解答过程】根据题意，分2种情况讨论： ①甲乙选择同一门课程，有种选法， ②甲乙不选择同一门课程，有种选法， 则不同选法总数为种. 故选：D. 【题型4 相邻、不相邻问题】 【例4-1】有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（   ） A．18 B．36 C．72 D．144 【答案】B 【解题思路】先排两个女生，将排法分类再相加，剩下的3个男生为全排列，再根据分步乘法计数原理可得不同的排法总数. 【解答过程】设5个位置依次为1,2,3,4,5，特殊元素优先考虑，女生甲不在两端，则只能在中间3个位置，两女生不相邻，则 ①甲在位置2，另一个女生只能4或5，2种选择； ②甲在位置3，另一个女生只能1或5，2种选择； ③甲在位置4，另一个女生只能1或2，2种选择， 根据分类加法计数原理，两个女生的排法共有种， 剩余3个男生为全排列种排法， 根据分步乘法计数原理，不同排法总数为. 故选：B. 【例4-2】毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【解题思路】先确定特殊元素的位置，再利用排列、组合安排其他人的位置，根据分步乘法计数原理计算即可. 【解答过程】不妨将这9名挚友的身高从矮到高排序为1，2，3，4，5，6，7，8，9， 小郅同学最高，只能排在最后一行，小豪同学与之相邻，将其看作一个整体，共有种排法， 又由于小豪同学身高排第4，即从矮到高排第6，所以其前方只能站序号为1，2，3，4，5的同学， 从中选两名同学有种选法，选完之后让同学们由高到矮站位就行； 剩下的位置中任选两人站在小郅同学前面，剩余3人在最后一列按高矮顺序站位即可， 所以有种选法， 故共有种选法． 故选：C. 【例4-3】甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 【解题思路】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解. 【解答过程】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况. 故选：B. 【例4-4】把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（    ） A．96种 B．60种 C．48种 D．36种 【解题思路】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得. 【解答过程】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊. 第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， 第二步，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， 第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有种安排方法. 则由分步乘法计数原理，不同的方案共有种. 故选：D. 【例4-5】已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（    ）种. A．186 B．264 C．284 D．336 【解题思路】先考虑A和B不相邻的排法，再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，相减后得到答案. 【解答过程】先考虑A和B不相邻的排法， 将C、D、E、F四个人进行全排列，有种情况， C、D、E、F四个人之间共有5个空，选择2个排A和B，有种情况， 故有种选择， 再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况， 先从两端选择一个位置安排C，有种情况， 再将D、E、F三个人进行全排列，有种情况 最后D、E、F三个人之间共有4个空，选择2个排A和B，有种情况， 故有种情况， 则要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的安排有种情况. 故选：D. 【变式4-1】某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 【解题思路】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解. 【解答过程】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为， 所以不同的安排方案共有（种）. 故选：B. 【变式4-2】某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】将，捆绑，先排同学，再将其余同学（看做一个整体）全排列. 【解答过程】根据题意，因为，两名同学相邻，所以有种， 又因为同学不站在两端，所以有种，其他同学（看做一个整体）进行排列有种， 所以不同的排列方式种数为. 故选：B. 【变式4-3】某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【解题思路】利用不相邻问题插空，特殊元素法间接去求解即可. 【解答过程】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 【变式4-4】2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（    ） A．732种 B．2260种 C．4320种 D．8640种 【解题思路】依题意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中，按照先选人，再排列，相邻问题用捆绑法，最后按照分步乘法计数原理计算可得． 【解答过程】根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中． 先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人， 所选3男选2人相邻，与余下的1男安排在1女的两侧， 排列方法有种， 再确定“2男2女”这一排，2男先排好有， 2女相邻并放在2男之间有种，或2女放在2男成排的两空有种方式， 排列方法有种， 因此，不同的排列方法总数为． 故选：D. 【变式4-5】互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【解题思路】由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得. 【解答过程】红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻， 即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有； 红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可， 故； 红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，故； 综上，共有种摆放方法. 故选：D. 【题型5 组合计数问题】 【例5-1】某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【解题思路】首先分别计算从男生中选7人的选法种数和从女生中选11人的选法种数，然后根据分步乘法计数原理，将这两个结果相乘即可得到总的选法种数. 【解答过程】根据题意，从男生中选7人的选法种数为： . 从女生中选11人的选法种数为： . 所以总的选法种数为：. 故选：B. 【例5-2】花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力．某日，从张师傅、李师傅、王师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一次，则不同的轮休方案有（    ） A．360种 B．480种 C．600种 D．720种 【答案】A 【解题思路】首先分类，分张师傅在岗和张师傅轮休2类，再根据分步计数原理，结合组合数和排列数公式，即可求解. 【解答过程】若张师傅轮休，则王师傅一定也轮休，李师傅则在岗，则另外在岗3人有种方法， 若张师傅在岗，则王师傅也在岗，则另外在岗2人有种方法， 轮休的4人在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，有种方法， 所以不同的轮休方案有. 故选：A. 【变式5-1】10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．168 B．630 C．252 D．420 【答案】D 【解题思路】要从后排7人中抽2人调整到前排，因要保持其他人的相对顺序不变，故可采用两次插空法，即将其中1人先在前排3人的4个空中插入，再将另一人在前排已经排好的4人的5个空中插入即可. 【解答过程】从后排7人中选2人共有种选法，这2人插入前排3人中且保证前排人的顺序不变， 则可先从3人中的4个空挡插入1人，有种插法；余下的1人则要插入前排4人的5个空挡中，有种插法， 则不同调整方法的种数是种． 故选：D. 【变式5-2】2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（   ） A．12 B．9 C．6 D．15 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用组合计数问题，结合排除法列式计算得解. 【解答过程】从6所大学中任取4所，有种，其中甲乙两所学校同时被取到，有种， 所以该考生报名的可能情况种数是. 故选：B. 【变式5-3】为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【解题思路】根据题意，首先选取种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案． 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： 首先选取种相同课外读物的选法有种， 再选取另外两种课外读物需不同，则共有种， 所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种． 故选：B． 【题型6 定序问题】 【例6-1】4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（    ） A．480 B．360 C．288 D．144 【解题思路】先将6个元素作全排列，再除以可得答案. 【解答过程】4名护士和2名医生站成一排，共有种， 又因为2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为种. 故选：B. 【例6-2】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （    ） A．2520 B．5040 C．7560 D．10080 【解题思路】结合全排列的概念即可. 【解答过程】由题意，对8盏不同的花灯进行取下， 先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法， 因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取， 所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故一共有种， 故选：A. 【例6-3】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【解题思路】用倍缩法直接计算求解该定序问题即可. 【解答过程】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D. 【变式6-1】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用定序法列式计算得解. 【解答过程】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种， 所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为. 故选：A. 【变式6-2】某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【解题思路】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【解答过程】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 【变式6-3】现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（    ） A．36 B．24 C．20 D．12 【解题思路】由题意结合相邻问题、定序问题的解法直接计算即可得解. 【解答过程】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定， 所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法， 再与其余三人进行排列，共有种站法. 故选：D. 【变式6-4】某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【答案】A 【解题思路】将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列，定序问题用倍缩法可得结果. 【解答过程】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 故选：A. 【题型7 分组分配问题】 【例7-1】某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【解题思路】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【解答过程】若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙､丙两人，此时有种分配方法； 若甲只负责一个任务，则先在中选取一个任务分给甲， 然后再将剩下3个任务分为两组，分配给乙､丙两人， 有种不同的分配方法. 由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种. 故选：C. 【例7-2】现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（    ） A．52 B．72 C．76 D．100 【解题思路】分类讨论与甲为一组的人数情况，结合分组分配问题的解法即可得解. 【解答过程】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2， 则不同的选择方案有种； 若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2， 则不同的选择方案有种； 若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1， 则不同的选择方案有种； 所以共有种选择方案. 故选：D. 【例7-3】“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】分两步完成，先分跳箱、再分药球，确定每一步的分法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【解答过程】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 故选：B. 【变式7-1】河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【解题思路】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【解答过程】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 【变式7-2】5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（       ） A．30种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【解析】因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组， 共有1，2，2和1，1，3两种情况．若是1，2，2，则共有（种）； 若是1，1，3，则共有（种）， 所以共有（种）不同的方法. 故选：D． 【变式7-3】2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（       ） A．8 B．14 C．6 D．20 【答案】B 【解析】将4名同学分成两组，有种分法，将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，所以共有种报名方案. 故选：B. 【变式7-4】开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（       ） A．6种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】B 【解析】由题，安排四名校长去三个校门，每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则南校门的人数为1或2， 当南校门有1人时，即甲校长，剩余3人安排在另2个校门，则种安排方式； 当南校门有2人时，先在除甲校长外的3人中选出1人安排在南校门，再安排剩余2人去另2个校门，则种安排方式， 所以共有种；故选：B 【题型8 综合应用】 【例8-1】将5个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有（   ） A．1500种 B．1800种 C．2340种 D．2400种 【答案】A 【解题思路】先将5个小球分成三份有3，1，1，和1，2，2两种情况，按照分步计数原理分别有和分组方法（注意部分平均分组导致重复的情况），分组后再从编号不同的5个盒子选3个盒子按照不同的顺序分别放入有种排列方法，两式相乘即可得解. 【解答过程】依题意，可以先将5个大小相同，颜色不同的小球分成三份， 有，3，1，1，和1，2，2两种情况， 于是恰好有2个空盒的放法有（种）， 故选：A． 【例8-2】距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．32 【解题思路】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【解答过程】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故选:B． 【例8-3】某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 【答案】A 【解题思路】分甲单独一人执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另一个人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另两人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，共六种情况求解即可. 【解答过程】由题意，分以下六种情况： 第一种情况，甲单独一人执勤对练赛场馆，则剩下的四个人可以分成一个人和三个人两组,或分成每组两个人,所以共有（种）方案； 第二种情况，甲单独一人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的三个人分配到对练赛场馆，则有1种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 若乙和另外两人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案； 第三种情况，甲和另外一人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第四种情况，甲和另外一人执勤集体项目比赛场馆，若甲和乙执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 若甲和乙以外的一人执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 共有（种）方案； 第五种情况，甲和另外两人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第六种情况，甲和另外两人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的两个人分配到对练赛场馆，则有种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案. 所以一共有（种）不同的分配方案. 故选：A. 【变式8-1】树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 【答案】C 【解题思路】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解. 【解答过程】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法； 当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法. 所以共有54种不同的涂色方法. 故选：C. 【变式8-2】已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 【答案】C 【解题思路】分两种情况：甲、乙占据前两名和丙在前两名求解，然后再根据分类加法原理可求得结果. 【解答过程】若甲、乙占据前两名，则所有的情况有种， 若丙在前两名，则从甲、乙中选1人和丙排在前2名，故所有的情况有种， 故共有种． 故选：C. 过关测试 1．（    ） A．65 B．160 C．165 D．210 【答案】C 【解题思路】根据排列数及组合数公式计算可得. 【解答过程】. 故选：C. 2．已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D 【解题思路】根据题意先将4位学生分成三组，再分配到A、B、C三地学习，根据分步乘法计数原理即可求解． 【解答过程】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法， 然后将3组学生分配到A、B、C三地学习，有种方法， 由分步计数原理知共有种不同的分配方法， 故选：D． 3．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】C 【解题思路】依题意可分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，进而结合排列数公式即可求解． 【解答过程】由每行中任意两个相邻数字之和为偶数， 即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数， 因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况： ①第一行为奇数，第二行为偶数， ②第一行为偶数，第二行为奇数， 所以共有（种）不同的填法． 故选：C． 4．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【解答过程】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 5．某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】D 【解题思路】先排1名司机，2名医生，分为三类，再将护士插空，求出每种情况下的排法，相加得到答案. 【解答过程】先排1名司机，2名医生有：①医生、司机、医生；②司机、医生、医生；③医生、医生、司机，共三类. 对于①，3名护士随意插空有种排法，2名医生交换位置有种排法， 所以共有种排法； 对于②，3名护士先选1人插入2名医生之间有种排法， 再在余下的3个空中插入余下的2名护士有种排法， 2名医生交换位置有种排法，所以共有种排法； 对于③，显然和②有相同的排法数. 综上，共有48+2×36=120种. 故选：D. 6．六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（    ）种. A．348 B．288 C．360 D．60 【答案】A 【解题思路】讨论6人乘坐3只船或乘坐2只船，根据这两种情况，结合分组分配模型，即可列式求解. 【解答过程】①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法， 再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船：共有种方法，综上共有：种方法. 故选：A. 7．（多选）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 【答案】AC 【解题思路】利用排列计数原理可判断A选项；利用分步乘法计数原理可判断B选项；利用捆绑法可判断C选项；利用倍缩法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，从个人中选人，人做正组长，人做副组长选法共有种，故A正确； 对于B选项，从个人中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人选法共有种，故B错误； 对于C选项，将个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与个男生一起排序， 由捆绑法可知，不同的排法种数为种，故C正确； 对于D选项，名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中， 由倍缩法可知，不同的排法种数为种，故D错误. 故选：AC. 8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 【答案】144 【解题思路】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解. 【解答过程】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 9．将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ． 【答案】 【解题思路】对每组的球的数量进行分类讨论，按照先分组再分配原则计算出每种情况下不同的分配方法种数，综合可得结果. 【解答过程】先给不同的个球分成三组，不同的分组方式如下： 第一种情况，一组个、一组个、一组个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第二种情况，一组个、一组个、一组个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种； 第三种情况，一组个、一组个、一组个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则， 分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种. 综上所述，不同的分配方法种数为种. 故答案为：. 10．甲、乙等6名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的A、B、C三项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，甲不参加A项工作，且甲乙不参加同一项工作，则不同的安排方法数有 种（用数字作答）. 【答案】260 【解题思路】先分组，得到甲、乙不参加同一项工作的分组情况，然后将不含甲志愿者的2组人中选1组安排到A工作，再安排其他2组志愿者即可. 【解答过程】第一步，将6名志愿者分为4，1，1或3，2，1或2，2，2有种情况， 其中甲、乙参加同一项工作共有种情况， 所以甲、乙不参加同一项工作的分组情况有种情况； 第二步，从不含甲的2组中选1组安排到A工作，有种情况； 第三步，将剩下的2组安排到B、C工作，有种情况. 由分步乘法计数原理可得不同的安排方法数有种. 故答案为：260. 课后练习 1．某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（    ） A．24 B．288 C．576 D．1152 【解题思路】根据条件，先将男生分成四组，有1种分法，再将女生分到四组有种分法，再利用分步计数原理，即可求解. 【解答过程】根据题意可知，先将男生平均分成四组有：种方法， 再将女生安排到四组有：种方法，所以组队方法的总数为. 故选：A. 2．甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【解题思路】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种. 【解答过程】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 3．一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（    ） A．44种 B．48种 C．72种 D．80种 【解题思路】利用间接法，首先将五个节目全排列，减去独唱类节目相邻，再减去歌舞类节目相邻，最后加上独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻的情况即可. 【解答过程】依题意五个节目全排列有种排法； 若独唱类节目相邻，则有种排法； 若歌舞类节目相邻，则有种排法； 若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法； 综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种. 故选：B. 4．树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 【解题思路】利用分组分配问题分类讨论一一计算即可. 【解答过程】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组； 2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组，余下一组； 所以分配方法为. 故选：C. 5．某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自同一个年级的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求出从4名执勤同学中随机抽取2名同学的方法数和两名同学来自同一个年级的方法数即可根据古典概型的概率公式求解. 【解答过程】电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访共有种方法， 由题这两名同学可能同来自高一也可能同来自高二， 所以这两名同学来自同一个年级共有种方法， 所以这两名同学来自同一个年级的概率是. 故选：C. 6．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 【解题思路】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果. 【解答过程】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故选：B. 7．（多选）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 【解题思路】利用捆绑法解决选项A，利用插空法解决选项BC，利用特殊元素优先法解决选项D. 【解答过程】选项A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列， 则有（种），故A正确； 选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法， 先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中， 则有（种），故B错误； 选项C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中， 则有（种），故C正确； 选项D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中， 先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列， 则有（种），故D正确. 故选：ACD. 8．3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为 360 . 【解题思路】由捆绑法、插空法即可求解. 【解答过程】当恰好2名女生相邻时，有种排法， 当3名女生都不相邻时，有种排法， 则共有种排法. 故答案为：360. 9．学校安排甲､乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 150 种.（用数字作答） 【解题思路】先将5名学生分成3组有2、2、1和3、1、1两种分法，然后这3组学生在3个项目全排列，即可得到答案. 【解答过程】依题意，将5名学生分成3组有2、2、1和3、1、1两种分法， 然后安排这3组去3个项目做志愿者， 所以不同的安排方法有种. 故答案为：150. 10．春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有 30 种（用数字作答）． 【解题思路】分两类，甲、丙两人去同一个村庄与甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，按照分组分配的方法计算可得. 【解答过程】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有种分配方法； 第二类，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有种分配方法． 故共有种分配方法． 故答案为：. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 讲义：排列与组合 知识点1 排列与组合 1．排列与组合的概念 (1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． (2)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 2．排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 3．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式：n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (2)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘)．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定． (3)组合数的计算公式：，由于，所以． (4)组合数的性质：①；②；③． 知识点2 排列、组合的常见问题与解题策略 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. (6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型1 排列数、组合数的计算】 【例1-1】（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【例1-2】（    ） A．65 B．160 C．165 D．210 【例1-3】已知关于正整数的方程，则该方程的解为 . 【变式1-1】（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【变式1-2】化简式子：的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若，则 ． 【题型2 全排列问题】 【例2-1】用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【例2-2】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【例2-3】某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（    ） A．7205秒 B．7200秒 C．秒 D．7190秒 【变式2-1】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式2-2】一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 【题型3 有限制的排列问题】 【例3-1】某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（   ）种不同的排法． A．216 B．264 C．312 D．528 【例3-2】因工作需要，某单位安排甲、乙、丙、丁4位领导在端午节3天假期值班，要求每天有两人值班，且每人需要值班1天或2天，则不同的值班方案有（   ） A．92种 B．90种 C．86种 D．76种 【例3-3】“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（   ） A．66 B．75 C．78 D．90 【例3-4】甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【变式3-1】甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（    ） A．144 B．192 C．360 D．480 【变式3-2】为弘扬中国优秀传统文化，某市决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则:参赛学生从《红楼梦》、《论语》、《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（   ）种 A．132 B．148 C．156 D．180 【变式3-3】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 【变式3-4】某大学开学时选择选修课程，甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程，每门选修课程至少有一人选择，甲、乙都不选音乐鉴赏，但能选择其他三门选修课程，丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程，则不同的选择方法有（    ）种． A．324 B．234 C．216 D．126 【题型4 相邻、不相邻问题】 【例4-1】有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（   ） A．18 B．36 C．72 D．144 【例4-2】毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 【例4-3】甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 【例4-4】把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（    ） A．96种 B．60种 C．48种 D．36种 【例4-5】已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（    ）种. A．186 B．264 C．284 D．336 【变式4-1】某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（    ） A．42种 B．40种 C．36种 D．30种 【变式4-2】某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式4-3】某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【变式4-4】2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（    ） A．732种 B．2260种 C．4320种 D．8640种 【变式4-5】互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【题型5 组合计数问题】 【例5-1】某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【例5-2】花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力．某日，从张师傅、李师傅、王师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一次，则不同的轮休方案有（    ） A．360种 B．480种 C．600种 D．720种 【变式5-1】10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．168 B．630 C．252 D．420 【变式5-2】2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（   ） A．12 B．9 C．6 D．15 【变式5-3】为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【题型6 定序问题】 【例6-1】4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（    ） A．480 B．360 C．288 D．144 【例6-2】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （    ） A．2520 B．5040 C．7560 D．10080 【例6-3】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【变式6-1】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【变式6-2】某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【变式6-3】现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（    ） A．36 B．24 C．20 D．12 【变式6-4】某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【题型7 分组分配问题】 【例7-1】某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【例7-2】现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（    ） A．52 B．72 C．76 D．100 【例7-3】“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式7-1】河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【变式7-2】5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（       ） A．30种 B．90种 C．120种 D．150种 【变式7-3】2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（       ） A．8 B．14 C．6 D．20 【变式7-4】开学伊始，甲､乙､丙､丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有（       ） A．6种 B．12种 C．15种 D．18种 【题型8 综合应用】 【例8-1】将5个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有（   ） A．1500种 B．1800种 C．2340种 D．2400种 【例8-2】距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．32 【例8-3】某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 【变式8-1】树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 【变式8-2】已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（   ） A．524种 B．564种 C．624种 D．664种 过关测试 1．（    ） A．65 B．160 C．165 D．210 2．已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 3．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 4．某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 6．六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（    ）种. A．348 B．288 C．360 D．60 7．（多选）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 9．将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ． 10．甲、乙等6名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的A、B、C三项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，甲不参加A项工作，且甲乙不参加同一项工作，则不同的安排方法数有 种（用数字作答）. 课后练习 1．某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（    ） A．24 B．288 C．576 D．1152 2．甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 3．一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（    ） A．44种 B．48种 C．72种 D．80种 4．树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 5．某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自同一个年级的概率是（    ） A． B． C． D． 6．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 7．（多选）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法 8．3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为 . 9．学校安排甲､乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 种.（用数字作答） 10．春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有 种（用数字作答）． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $