精品解析：甘肃省兰州市某校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

西北师大附中 2025—2026学年第一学期第二次月考考试试题 高二数学 命题人：张静 审题人：张志兵 Ⅰ卷（100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不存在 2. 等差数列中，若，，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 14 4. 设为实数，若直线：与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不能确定 5. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若过直线上一点M向圆Γ：作一条切线于切点T，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为__________. 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，F分别为椭圆C：（a＞b＞0）左顶点、上顶点和左焦点（如图），过点F作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，直线BN与x轴交于点D.若OA＝2OD，则椭圆C的离心率为_______. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为______． 三、Ⅰ卷解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 13. 设是数列的前项和，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求证：． 14. 已知一个动圆与：相外切，同时又与圆：相内切，设动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于不同两点，，若弦的中点的横坐标为，求直线的方程． Ⅱ卷（50分） 四、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 15. 设等差数列的前n项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当最大时， B. 使的最大k值为4045 C. D. 在数列中，当时，取最大值 16. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则最大值为 17. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则有 B. 若的周长为20，则的面积为 C. 的最大值为5 D. 设，的斜率分别为、，则的最小值为 五、Ⅱ卷解答题：本题共2小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知双曲线左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若O是坐标原点，且，求直线l斜率. 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2025—2026学年第一学期第二次月考考试试题 高二数学 命题人：张静 审题人：张志兵 Ⅰ卷（100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】由两点的斜率公式与直线倾斜角与斜率的关系式即可列出方程，解出答案. 【详解】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 2. 等差数列中，若，，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公差即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 3. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，即可求解. 【详解】由条件可知，，设点到另一个焦点的距离为， 所以，得或（舍）. 故选：D 4. 设为实数，若直线：与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相切，可得，由此即可判断出答案. 【详解】因为：与圆相切, 所以, 所以点在圆上. 故选：B 5. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案． 【详解】由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴＋＝＝＝＝＝＝ 故选：C． 6. 若过直线上一点M向圆Γ：作一条切线于切点T，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使最小，则圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解. 【详解】圆Γ：的圆心坐标为，半径为2， 要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为， ∴的最小值为， 故选：D. 【点睛】本题主要考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于基础题. 7. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理，可得，后由等比数列性质结合对数运算性质可得答案. 【详解】由韦达定理，可得，由等比数列性质 可得，. 设， 则， 得. 故选：B 8. 已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得,再由求的取值范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为, 焦点坐标为,不妨设为第一象限的点, 由椭圆与双曲线的定义得,①,,②, 由余弦定理得,③ 联立①②③得, 由,,得, , ,,则,, ,,, 又,,. 故选:D. 【点睛】本题考查椭圆､双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程，利用几何法求弦长即可. 【详解】由题意知，两圆的方程相减，得， 即直线的方程为，如图， 所以. 故答案为： 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，F分别为椭圆C：（a＞b＞0）左顶点、上顶点和左焦点（如图），过点F作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，直线BN与x轴交于点D.若OA＝2OD，则椭圆C的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意求出点的坐标，再根据可得，由此可求出答案． 【详解】解：由题意可得，，，其中， 将代入到得，， 又由题意可得， ∴，即，则，得， 即离心率， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何形式，考查齐次式方程求离心率问题，属于基础题． 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由椭圆方程求出坐标，结合椭圆定义将转化为，即只需求的最大值，即求的最大值，结合图形求得其最大值，即可求得答案. 【详解】由椭圆可知，， 椭圆在圆内，而圆的圆心为，半径为， 易知，所以椭圆与圆相离， 而，故， 要求的最大值，只需求的最大值， 而Q在圆上， 只需求最大值，当共线时（如图），最大， 此时，即为的最大值， 则的最大值为， 则的最大值为， 故答案为：12 三、Ⅰ卷解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）已知直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案； （2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案.. 【小问1详解】 当直线斜率存在时，设直线， 即， 圆心到直线的距离为， 解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或. 【小问2详解】 记圆心到直线的距离为，则， 又弦长为，圆半径为2，则， 解得，所以. 13. 设是数列的前项和，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用化简可得，结合等差数列通项公式可得的通项公式； （2）由（1）得的通项公式，利用裂项相消法可求得，故而可得证 【小问1详解】 ∵①， 所以当时，，因为，所以， 当时，②， 由①-②得，即， 又∵， ∴，所以是公差为2的等差数列， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ 14. 已知一个动圆与：相外切，同时又与圆：相内切，设动圆的圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于不同两点，，若弦的中点的横坐标为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由圆的内外切得到动点P满足的关系式，结合椭圆的定义可判断动点轨迹，从而求得轨迹方程； （2）设，，弦的中点为，利用点差法可求直线的方程． 【小问1详解】 设动圆的半径为， ∵，，所以， ∴点的轨迹是以，为左右焦点的椭圆，∴，， ∴，，，∴的方程为：； 【小问2详解】 设，，弦的中点为，可得， 可得，因为，所以， 所以，所以：或． Ⅱ卷（50分） 四、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 15. 设等差数列的前n项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当最大时， B. 使的最大k值为4045 C. D. 在数列中，当时，取最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，则或，结合有最大值，则，利用等差数列前n项和的最值即可判断A，利用等差数列的性质与前n项和公式即可判断B，利用二次函数的性质可判断C，利用数列与不等式可判断D. 【详解】由得， 则或，即或， 因为有最大值，所以，故当最大时，，A正确； 因为，，B错误； 根据等差数列前n项和的函数性质，先增大后减小， 因为的图象过原点，且， 又因为， ， 所以，所以C正确； 当时，， 又因为， 当时，，当时，， 因为且， 所以，D正确. 故选：ACD. 16. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长最小值为 D. 若点，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； 对于C，直线恒过定点，，点在圆内， 当时，取得最小值，此时直线,但是直线不能表示直线,所以C不正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题. 17. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则有 B. 若的周长为20，则的面积为 C. 的最大值为5 D. 设，的斜率分别为、，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得或判断A；由题意求得的面积判断B；求得的最大值判断C；由题意可得，进而计算可判断D. 【详解】由双曲线：，可得，所以，所以， 所以双曲线：的左、右焦点分别为、， 所以，若，则， 所以或，又在右支时，， 所以或，故A错误； 若的周长为20，则，又， 由对称性，不妨设，所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以的面积为，故B正确； 设，则， 所以， 当且仅当时，取等号，故C正确； 设，由，可得， 所以，则可得， 所以，当且仅当取等号， 又时，三点共线，由题意，三点不能共线，故等号不成立，故D错误. 故选：BC. 五、Ⅱ卷解答题：本题共2小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知双曲线的左顶点为，离心率e为，过点的直线l交双曲线左支于A，B两点. （1）求双曲线C的标准方程; （2）若O是坐标原点，且，求直线l的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点和离心率列方程求解可得； （2）设出直线方程，联立双曲线方程消去y，韦达定理结合列方程求解可得. 【小问1详解】 由题得，解得， 双曲线C的标准方程为 【小问2详解】 由题可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立双曲线的方程，得， 设，，则，， 直线l交双曲线左支于A，B两点， ，解得， ， ，即， 解得或， ，时，  19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. 【小问2详解】 设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. 【小问3详解】 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $