精品解析：辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题

20252026学年度上学期沈阳市虹桥中学教育集团 九年级期中学情调研 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由比例的内项积等于外项积得到，代入，即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2. 在中，，若则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据，设BC=4k，AB=5k，根据勾股定理可得AC=3k，从而可求出tanA=. 【详解】如图， ∵， ∴设BC=4k，AB=5k， 由勾股定理可得AC=3k， ∴tanA=. 故选：D. 【点睛】本题考查了求直角三角形中锐角的正切值，利用勾股定理求出AC的长是解此题的关键.． 3. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握“自变量左加右减，函数值上加下减”的规律是解题关键．根据向右平移2个单位，自变量减2，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为， 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，边在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且位似比为，那么点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、矩形的性质，熟练掌握位似的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由图可得，根据位似的性质可得点的坐标． 【详解】解：由图可得，， 矩形与矩形关于点位似，且相似比为， 点的坐标是或，即或． 故选：B． 5. 某校举行数学竞赛，班主任王老师决定从本班4名（其中3男1女）同学中随机选择2名同学参加竞赛，王老师先从4名同学中随机选择一名同学，记下姓名，再从剩余的3名同学中随机选择另一名同学，记下姓名，则选中的两名同学中没有女同学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，列表格即可求解． 【详解】根据题意，设3名男生分别为：男1，男2，男3， 则列表格如下： 男1 男2 男3 女 男1 （男，男） （男，男） （男，女） 男2 （男，男） （男，男） （男，女） 男3 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （男，女） （男，女） （男，女） 从表格中可知，抽取两名同学的所有可能情况为12种，其中没有女同学的共6种， P（没有女同学）=， 故选：A． 【点睛】本题考查列表法求概率，准确理解题意列出表格是解题关键． 6. 如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定，掌握这些知识是解题的关键；由三角形中位线定理得四边形是平行四边形，再由，结合中位线定理得，从而得四边形是菱形． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B． 7. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E．再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．作射线BP交AC于点F，过点F作BC的平行线交AB于点G．若，，则GF的长为（ ）． A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图、相似三角形的判定定理和性质定理等知识点，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先根据角平分线的性质和平行线的性质得出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故选B． 8. 已知：如图，双曲线与直线图象交于A，B两点，则时x的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 或或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，正确运用数形结合的思想是解题的关键． 由函数图象可得，当或时，双曲线在直线的下方，据此即可得到不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可得，当或时，双曲线在直线的下方， ∴时x的取值范围或， 故选：C． 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，，，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；④若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， 图象与y轴交点在y轴负半轴， ， ，①错误； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两个根是，；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y的值随x增大而增大； ∴当时，y的值随x增大而增大；故③正确， 抛物线对称轴为直线，，， 点比点到对称轴的距离相等， ，故④正确； 综上可知，正确的有②③④． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 【详解】解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 12. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 13. 如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，根据，求出的长，勾股定理求出的长，再根据等角的余弦相等，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 【答案】2 【解析】 【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1 ∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3 ∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2 15. 如图，在正方形中，点为的中点，点在的延长线上，与相交于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，连接，过作交延长线于点，证明，，然后利用性质即可求解，熟练掌握知识点的应用及利用参数建立方程是解题的关键． 【详解】连接，过作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， 设，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法及特殊角的三角函数值，熟知特殊角的三角函数值及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 则， 所以，． 17. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．沈阳某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摊位，其余部分是等宽的人行过道，设人行过道的宽为，摊位的总面积为．求人行过道的宽x是多少米？ 【答案】人行过道的宽是5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为，宽为的长方形，根据摊位的总面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为，宽为的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵， ∴， ∴． 答：人行过道的宽是5米． 18. 如图，在中，，动点P从点A出发，以的速度沿方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作于点D，，过点D作，与相交于点E．设点P的运动时间为t． （1）线段的长 ；（用含t的代数式表示） （2）当点E落在边上时，求t的值； （3）设与重叠部分的面积为．求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、列函数解析式等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）证明四边形是平行四边形，由平行线分线段成比例定理的推论得到，进一步即可得到答案； （3）由（2）可知与重叠部分的图形有两种情况，分别画出相应图形，逐个进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 如图，当点E落在上时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当点E落在边上时，t的值为1． 【小问3详解】 由（2）可知，当点落在边上时，， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是的面积， ∵，， ∴， ∴， 当点P与点B重合时，，即， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， 综上所述：与的函数关系式为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数为； （2） （3）或； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． 【小问3详解】 解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 20. 在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． （1）求点到地面的距离． （2）求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2）古塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查解三角形的实际应用． （1）利用坡度比，设，，在中，由勾股定理列方程求解得到和，即可解答； （2）作于点，则四边形是矩形，在中，由三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得， 即，解得（负值已舍）， ，， 点到地面的距离为． 【小问2详解】 解：如图所示：作于点， 则四边形是矩形， ， ， 在中，，， 则，即， 解得， ， 答：古塔的高度为． 21. 【定义】 在平面直角坐标系中，对“虹桥值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“虹桥值”．函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“虹桥值”为； 函数图象上所有点的“虹桥值”可以表示为，当时，，因此的最大值为7，所以函数的“最优虹桥值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： （1）点的“虹桥值”为______； （2）直接写出函数的“最优虹桥值”； （3）若二次函数的顶点在直线上，且最优虹桥值为6，直接写出c的值． 【答案】（1）10 （2）6 （3）2 【解析】 【分析】本题以函数为背景考查了新定义题型，涉及二次函数的性质、反比例函数的增减性、二次函数的最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意直接得解； （2）由题易得，再根据范围和增减性即可得解； （3）先求出b值，再利用定义得到，然后利用配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∴点的“虹桥值”为10， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：， ∵当时，随x增大而减小， ∴当时，为的最大值， 即“最优虹桥值”为6； 【小问3详解】 解：由题可知对称轴为直线， 解得， ∴， ∴， ∵最优虹桥值为6， ∴， 解得． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，此时、交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由如下， 由题意可知，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）①，证明如下： ∵， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴； ②． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，根据平行线的判定和性质，得到，即可得到答案； （2）①证明，得到．由旋转的性质可得，得到，即可得到结论； ②由旋转的性质可得，进而得出，由勾股定理得，，设，利用勾股定理列方程求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②由旋转的性质可得，， ∴，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 23. 如图1，直线与x轴，y轴分别交于点C，A，二次函数经过点A，C． （1）求二次函数解析式； （2）如图2，点P为抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q，若，求点P的横坐标； （3）如图1，连接，在x轴上找一点M，使得，直接写出点M的坐标； （4）二次函数与组成新函数G：，点，，，当函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点时，请直接写出此时m的取值范围． 【答案】（1） （2）2或或 （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）求出A、C点坐标，将A、C代入中，即可求函数的解析式； （2）设，则，根据题意可得，求出t的值即可； （3）过点M作交于N，由，，可得，则，设，则，，求出，即可求出，即可得点M的坐标； （4）当时，，解得，，解得，当时，G与矩形四条边有两个交点，当时，G与矩形四条边有两个交点，再结合图象可得或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 将A、C代入中， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵过点P作轴交直线于点Q， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或或， ∴点P的横坐标为2或或； 【小问3详解】 解：过点M作交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 当在左边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或； 【小问4详解】 解：当时，， 解得， ， 解得， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， ∴或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，三角函数值的求法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20252026学年度上学期沈阳市虹桥中学教育集团 九年级期中学情调研 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 2. 在中，，若则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，边在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且位似比为，那么点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 某校举行数学竞赛，班主任王老师决定从本班4名（其中3男1女）同学中随机选择2名同学参加竞赛，王老师先从4名同学中随机选择一名同学，记下姓名，再从剩余的3名同学中随机选择另一名同学，记下姓名，则选中的两名同学中没有女同学的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 7. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E．再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．作射线BP交AC于点F，过点F作BC的平行线交AB于点G．若，，则GF的长为（ ）． A. 3 B. C. 2 D. 8. 已知：如图，双曲线与直线图象交于A，B两点，则时x的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 或或 9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；④若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有______个白球． 12. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 13. 如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为________． 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 15. 如图，在正方形中，点为的中点，点在的延长线上，与相交于点，若，，则的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．沈阳某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摊位，其余部分是等宽的人行过道，设人行过道的宽为，摊位的总面积为．求人行过道的宽x是多少米？ 18. 如图，在中，，动点P从点A出发，以的速度沿方向向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作于点D，，过点D作，与相交于点E．设点P的运动时间为t． （1）线段的长 ；（用含t的代数式表示） （2）当点E落在边上时，求t的值； （3）设与重叠部分的面积为．求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 20. 在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． （1）求点到地面的距离． （2）求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 21. 【定义】 在平面直角坐标系中，对“虹桥值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“虹桥值”．函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【举例】 已知点在函数图象上．点的“虹桥值”为； 函数图象上所有点的“虹桥值”可以表示为，当时，，因此的最大值为7，所以函数的“最优虹桥值”为7． 【问题】 根据定义，解答下列问题： （1）点的“虹桥值”为______； （2）直接写出函数的“最优虹桥值”； （3）若二次函数的顶点在直线上，且最优虹桥值为6，直接写出c的值． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，此时、交于点，过点作于点，若，，求的长． 23. 如图1，直线与x轴，y轴分别交于点C，A，二次函数经过点A，C． （1）求二次函数解析式； （2）如图2，点P为抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q，若，求点P的横坐标； （3）如图1，连接，在x轴上找一点M，使得，直接写出点M的坐标； （4）二次函数与组成新函数G：，点，，，当函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点时，请直接写出此时m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $