精品解析：山东省2026届高三12月大联考数学试题

山东省2026届高三12月大联考 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出全集中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可. 【详解】由题知全集是小于12的素数， 因为，所以. 故选：B. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 3. 在AI数据处理中，某误差函数是定义在上的奇函数，用于模拟模型预测值与真实值的偏差．当时，该函数的表达式为（单位：百分比），则模型在处的误差值（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数性质 ，将求  转化为求 ，再代入求值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以. 故选：A 4. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 5. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线与直线的倾斜角，结合图象可知旋转角的大小. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图， 所以， 故选：D 6. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，可求得函数的定义域，进而利用复合函数的定义域的求法可求的定义域. 【详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为. 由，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 7. 若，，，则最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用点到直线的距离公式可求的最小值. 【详解】令，由，可得， 原点到直线的距离为， 所以， 联立，可得， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：D. 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】把函数化成，换元，令，利用复合函数的单调性法则把问题转化为在上也单调递增，求导，可得到答案. 【详解】 设 ，易知在上单调递增，则， ， 由复合函数的单调性法则：同增异减，可得： 要使在上单调递增，只需在上也单调递增， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即，由于条件也是“”， 所以“”是“ 在  上单调递增”的充要条件. 故答案为：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 图象关于对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项分析判断. 【详解】函数， 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得图象关于对称，B正确； 对于C，函数的最大值为2，C错误； 对于D，当时，，则当，即时， 函数取到最大值2，D错误. 故选：AB 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可求出等差数列的公差，判断A；求出数列的通项公式，求解方程可判断B；利用错位相减法求数列的前n项和，判断C；利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式即可判断D. 【详解】对于A，设的公比为q，由于，，则， 解得，所以A正确； 对于B，由A的分析可知， 令，即，解得，不是整数， 故不存在，使得，所以B错误； 对于C，，则， 故， 两式相减得： ， 故，则，所以C正确； 对于D，， 设数列的前项和为. 则 ，所以D正确， 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为4，N为棱上一点，且，动点M在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若M是线段上的动点，则M到平面的距离为定值 C. 若，则的最小值为 D. 若M满足，，则M的轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，连接交于，可得为异面直线与所成角，解三角形得解；对B，由平面，可得点到平面的距离为定值；对C，由题可得，过点作平面与垂直，平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），由图得解；对D，设的中点分别为，由题在以为球心，为直径的球面上，也在以为球心，为直径的球面上，作出截面图如图，点的轨迹是以为直径的圆，运算得解. 【详解】对于A，连接交于，由正方体的性质可得， 所以为异面直线与所成角，如图， 由，且，故，， ，故A错误； 对于B，由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面， 点在线段上，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，设边上的高为，如图， 因为，所以，即， 又，所以，过点作平面与垂直， 记平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），如图， 所以点在正方体内（含边界），故的最小值为，故C正确； 对于D，设的中点分别为，因为，所以在以为球心，为直径的球面上， 同理也在以为球心，为直径的球面上， 由正方形的性质可知，为直径的球面与为直径的球面是同一个球面， 因为，所以两球面的半径均为，截面图如图， 所以点的轨迹是以为直径的圆，由勾股定理可得， 所以点轨迹的长度为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先将已知条件的两个等式分别平方，再相加，利用三角函数的平方关系和两角和的正弦公式化简求解. 【详解】， 整理得： 化简得：. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，都有，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知，再由函数表达式特征可得当时，成等比数列，再由等比数列通项公式以及奇函数性质计算可得结果. 【详解】根据题意可知，所以； 由可得， 因此可知当时，是以为首项，为公比的等比数列， 因此可得，即； 所以； 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故答案为： 14. 已知平面平面，球O与直线l相切于点A，平面与平面分别截球O所得截面圆的半径为1，．若二面角的大小为，则球O的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和余弦定理即可列方程求解. 【详解】根据题意以及球的对称性可得图形的剖面图如下： 设分别为与球所截得的圆的半径，不妨设， ，球半径为, 故，解得， 故, 故答案为：， 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 16. 已知直线与圆交于，两点． （1）当时． （i）若，求； （ii）求a的取值范围． （2）记坐标原点为O，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）（i）；（ii）， （2） 【解析】 【分析】（1）（i）在，条件下求得圆心到直线的距离，由此判断为直径，再求的长， （ii）在条件下求圆心到直线的距离，由条件可得，解不等式求结论， （2）分，两种情况确定的关系，求四边形的面积，再求其最大值. 【小问1详解】 圆的圆心的坐标为，半径， 当时，直线的方程为， （i）当时，点到直线的距离， 故直线过圆心，线段为直径，故， （ii）圆心到直线的距离， 由已知，所以， 【小问2详解】 当时，圆的圆心为，此时的方程为， 由可得，，直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时， 又，直线与直线的距离为， 所以四边形的面积为， 当时，直线的方程为，即， 因为，所以，故直线的方程为， 此时点到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交，， 又， 直线与直线的距离为， 所以四边形的面积为， 所以， 令，则，， 因为函数在上单调递增， 所以， 综上，当时，四边形面积取最大值，最大值为. 17. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理求解. （2），利用线面角的向量法求出，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系， 由都是正三角形，，得， ，令，则， 由平面，平面平面，平面，得， 因此，，所以PE的长为. 【小问2详解】 由（1）知，设，则， ，而平面的法向量， 由直线DE与平面所成角的正弦值为，得 ，整理得，又，解得， 于是，而，设平面的法向量， 则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 定义：若一个等差数列的首项和公差都是素数，则称该数列为数列．已知数列是数列，前4项的和为20，数列是首项为1且公比为2的等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项和公差，即可得出答案； （2）求出，然后利用错位相减法求出； （3）参变分离，转换成恒成立问题，构造新数列，根据数列的单调性求出最小值，即可得出答案. 【小问1详解】 由题可知，又为等差数列， 所以， 又与都是素数，所以， 所以； 【小问2详解】 ，所以， 所以， ①， 所以②， ①②得， 所以； 【小问3详解】 对恒成立， 令， ， 当时，，严格减， 当时，，严格增， 所以， 所以， 所以， 所以的最大值为. 19. 已知函数，． （1）若函数与在处的切线平行，，求的极值； （2）当时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）答案见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求解可得a的值，再根据极值与函数导数的关系，即可求解极值； （2）利用函数的导数判断函数的单调性，确定极值点，继而分类讨论a的取值范围，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数； （3）利用，可令，得，进而可推出，结合不等式恒成立，即可求得答案 【小问1详解】 由题意知，故，则， 由，得，则， 由函数与在处的切线平行，得， 此时，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值； 小问2详解】 由（1）知， 因为，故时，，时，， 则在上均单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，知在上有一个零点； 当时，在上无零点， 故在上仅有一个零点； 当时，在上有一个零点， ，故在上有一个零点， 此时在上有3个零点； 当时，在上有一个零点， 此时在上有2个零点； 综上，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有2个零点； 当时，在上有3个零点； 【小问3详解】 由（1）知，对于任意，得，当且仅当时取等号， 令，则， 时，. 当时， 则， 故， 故， 又， 结合，且为正整数， 可得正整数m的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026届高三12月大联考 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 3. 在AI数据处理中，某误差函数是定义在上的奇函数，用于模拟模型预测值与真实值的偏差．当时，该函数的表达式为（单位：百分比），则模型在处的误差值（ ） A. B. C. 3 D. 5 4. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 5. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 6. 若函数，则的定义域为（ ） A B. C. D. 7. 若，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 图象关于对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递增 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 11. 已知正方体的棱长为4，N为棱上一点，且，动点M在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若M是线段上动点，则M到平面的距离为定值 C. 若，则的最小值为 D. 若M满足，，则M的轨迹的长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，都有，则______． 14. 已知平面平面，球O与直线l相切于点A，平面与平面分别截球O所得截面圆的半径为1，．若二面角的大小为，则球O的半径为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 16. 已知直线与圆交于，两点． （1）当时． （i）若，求； （ii）求a的取值范围． （2）记坐标原点为O，若，求四边形面积的最大值． 17. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 18. 定义：若一个等差数列的首项和公差都是素数，则称该数列为数列．已知数列是数列，前4项的和为20，数列是首项为1且公比为2的等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）若，求实数的最大值． 19. 已知函数，． （1）若函数与在处切线平行，，求的极值； （2）当时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $