上海市普通高中2023-2024学年高三上学期“绿色指标”调研数学试题

2023学年第一学期上海市普通高中“绿色指标”调研 高三年级数学试卷 (满分：150分，完卷时间：120分钟月 (答题腊写在答题纸上) 一。旗空题（本大题典有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1.若集合A=1,2},B={1,3},则AUB= 2.不等式x2-3x+2<0的解集为 3.椭图二+上-1的焦距为 4 4。设{an}是等差数列，4=-6,4，=0，则该数列的前8项的和S。的值为 5。到点(-3,0)、F,(3,0)距离之和为10的动点P的轨迹方程为 6.在△ABC中，已知BC=5,AC=4,A=2B，,则cosB的值为 7.若等差数列{an}满足a,+4+a4,=0,a1+4o=1,则4= 8.已知函数y=f()的表达式为f(x) x≤0 3 则不等式f(x)≤1的解为 x>0, 9.已知双曲线-兰=1的左、右焦点分别为不、￡，双曲线上的点P在 3 第一象限，且PF,与双曲线的一条渐近线平行，则△PFF,的面积为 10。某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x,10,8,若这组数据的中位数 和平均数相等，那么x= 11。已知f(x)=Asin @x+二(A>0,o>0),若函数y=f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点 6 和1个极小值点，则ω的取值范围是 高三数学第1页共4页 12。已知函数y=f(x)的定义域D={1,2,3,4},值域A={5,6,7},则函数y=f(x)为增函数的 概率是 二、。递释题（本题共有4题。满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有 一个正确遗项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确逸项的小方锵涂黑 13.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数.设事件E：点数是奇数，事件F:点数是偶数， 事件G：点数是3的倍数，事件H:点数是4.下列每对事件中，不是互斥事件的为 A.E与F B.F与G C.E与H D.G与H 14。污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时 从处理池清除掉12%的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的10%，大约需 要的时间为 A,14小时 B.18小时 C.20小时 D.24小时 15.对一组数据3,3,3,1,1,5,5,2,4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变 化的为 A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差 16。已知无穷数列{a,},若存在数列{b}满足对任意正整数n,都有(a.-bn)(a+1-b+)<0,则 称数列{b}是{a}的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{a},不存在等 差数列{bn}，使得{b,}是{a}的交错数列；②对任意给定的等比数列{a,},都存在等比数 列{b},使得{bn}是{a}的交错数列.下列结论正确的是 A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分》本大题典有5题，解客下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤。 17。《本题满分14分》本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知f(x)=Snx. 求数=6 的最小正周期； (2)求函数y= 的单调减区间. 2 高三数学第2页共4页 18。《本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 如图所示，正三棱锥A-BCD的侧面是边长为2的 正三角形， (1)求正三棱锥A一BCD的体积V; (2)设E、F、G分别是线段AC、AD、BC的中 点 求证：①CD∥平面EFG; B ②若平面EFG交BD于点H,则四边形 G EFHG是正方形. 19。(本题满分14分》本题兴有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题攒分 6分. 某高中举行了一次知识竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为 样本进行统计.将成绩进行整理后，依次分为五组([50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]),其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中 频率组距 项.请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：0.040 (1)求a、b的值； (2)从样本数据在[50,60)，[70,80)两个小组内的学生中， 0.016 用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出20.008 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； 5060708090100成绩（分） (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 为，x2,,,0，已知这10个分数的平均数x=88,方差 第19题图 s2=25,若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的 平均数与方差. 高三数学第3页共4页 20。(本题满分18分)本题典有3个小题。第1小题横分4分，第2小题满分6分。第3小题撕 分8分。 已知椭因。+上=】的左、右焦点分别为耳、乃，过坐标原点的直线交椭圆于4、B两点， 84 点A在第一象限. (1)若OA上V6,求点A的坐标； (2)求AE+3AF,的取值范围； (3)若AE⊥x轴，垂足为E,连结BE并延长交椭圆于点C,求△ABC面积的最大值， 21。(本题瓣分18分)本题兴有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题溺 分8分. 定义：若曲线C,和曲线C,有公共点P,且曲线C,在点P处的切线与曲线C2在点P处的切 线重合，则称C与C2在点P处一线切’. (1)已知圆(x-)2+y2=r2(1>0)与曲线y=x2在点1,1)处一线切”，求实数a的值； (2)设f(x)=x2+2x+a,g(x)=n(x+1),若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在点P处“一线切'， 求实数a的值； (3)定义在R上的函数y=f(x)的图像为连续曲线，函数y=∫(x)的导函数为y=∫'(x), f'(x)≥f(x) 对任意的x∈R,都有 成立.是否存在点P使得曲线y=f(x)sinx和 f)2 曲线y=1在点P处一线切？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 高三数学第4页共4页 高三数学答案 一、填空题 x 1.{1,2,3}2.(1,2) 3.2 4.36: 5. =1 6. 2516 8 7.-7 8.[-2,1] 9 3W5 10.8或12： 11. 12. 1 2 12 二、选择题 13.B 14.B 15.D 16.C 三、解答题 1解=径 sin.xcosx=sin2x. 故该函数的最小正周期为元. 由2k元+≤2x+≤2k元+3西(keZ),解得kr+<x≤k元+ 2 3 2 12 元(keZ): 12 (k∈Z)的交集 只有当k=0时，上述两个集合的交集才非空，且其交集为 因此，函数的单调减区间为 18.解：(1)因为三棱锥A一BCD是一个正三棱锥， 所以，点A在底面B.CD上的射影点O必是△BCD的中心 连接BO且延长与CD交于点M, 可得AM=V5,OM= 3 所以0A=VAM?-OM-2W6 3 可得△BCD的面积为√5. 所以，正三棱锥A一BCD的体积 r-5✉2y6-22 33 (2)①由己知，有CD∥EF,且EFc平面EFG, 所以，CD∥平面EFG ②设BD与平面EFG交于点H,则平面EFG∩平面BCD=GH, 所以，GH∥CD,点H是BD的中点. 所以EF∥GH, 同理，有EG∥FH, 由三角形中位线的性质，得到四边形EFGH是菱形 因为OD⊥BC,又OD为AD在底面BCD内的射影， 所以，AB⊥CD.可得HG⊥EH,故，四边形EFGH是正方形 19.解：(1)由0.162=0.08(10a),解得a=0.032, 又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1,解得b=0.004, 所以a=0.032,b=0.004. (2)按分层抽样法，两层应分别抽取2人和5人， 事件A“抽到的两位同学来自不同小组”所以P(4④=CC-10 C221 (3)因为元=88，X+x2++x。=10×88=880,所以 =0-可+(-可++(6。）=10（g+++。2-2(6+++)+10）》 =6+++-20+10) =*+- 代+)器=5」 所以x+x号++x。=77690, 剔除其中的95和81两个数，设剩余8个数为x,x2,3,,xs, 平均数与标准差分别为x。,S。, 则剩余8个数的平均数：元=++5++五-880-95-81=8， 8 8 方差：g2压-+区-可++（飞-可）(+++）-88 =87690-952-81）-8=19 20联号号-1与r-6,可得2网 a设A(,),R(-2,0,52,0,+=1==4- 84 AF=(-2-x,-y),A区=(2-x,) AE+3AF=(-2-,)+(6-3x,-3%）=(4-4,-4,） AF+3AF2=V4-4x,+(-4=4-2x+x,+ =4等2x+5-452 因为0<x,<2W5,所以当x=2时，A+3AE的最小值为4W5, 当。=0时，AE+3AF=45 所以A五+3AF的取值范围为[4W3,4V5⑤). (3)设A(,)B(-,-%bE(,0方kAB= 设直线4B的斜率为k,k=0+-套，直线AB方程为y=K>0). +2 y=kx 由 xy2,得x=8 一十 84 -=11+2k2 设直线BC:y= 2x-),由 xy2=1 得（2+k2)x2-2,2x+x,k2-16=0。 84 x(3k2+2 设C(x,y),则-和x。是方程(1)的解，故x。= 2+k2 ，由此得。= 2+K2 x(3k2+2) xoh3 x。(2k2+2） 2+k2 2+K2 2+k2 dc-AB V1+2 V1+k2 |AB=V1+k2x。+x=2V1+2x c(2k2+2) S-lAB dou-32k 2+k2 V1+k2 ,2(2k2+2）k(2k2+2） 8 16k(k2+1） 2+k2 2+21+22(2+2)1+2k2 16+ 法一：S= 一，设1=k+,则由k>0得1≥2，当且仅当k=1 时取等号， 16t 因为S= 2 2+1 在[2，+0)为严格减函数，所以当t=2,即K=1时，s取得最大值，最大值为 9 32 因此，△ABC面积的最大值为 9 法三：f)= +0,20-2+30j (k2+1) k3+k (24+52+2) y=f()在及∈(0，]上是严格增函数，在[L+)上是严格减函数 k=1时，5取得辰大值，最大值为32，因此，△4BC面积的最大值为2 21.解(1)y'=2x,所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0, 因为圆(x-)+y2=r2(r>0)与曲线y=x2在点1,1)处“一线切”， 所以直线2x-y-1=0与圆(x-)2+y2=r2(>0)在点1,1)处相切 Q-a)2+1=r2, 所以12a-山=， 所以a=3 (5 (2)设P(),f)=2x+2,g0田=】 x+1 [f(x)=g(x) x,2+2x。+a=x+1 由题意， ,所以 f'(x)=g'(x) 2+2=1 +1 解得a=}n2 22 (3)假设存在P(x,1)满足题意， 则有f(x)sinx。=1,对函数y=f(x)sinx求导得：y'=f'(x)sinx+f(x)coSx, 于是f'(x)inx。+f(x。)cosx。=0,即f'(x)snx。=-f(x)cosx。, 平方得[f'(x)]'sin2x。=[f(x)]'cos2x。=[f(x)]'(1-sim2x), 平Ucfn-=U国U∬-Uc, 整理得[f(x)+[f(x乃=[f(x),而恒有f(x)≥f(x成立，则有[f'(x乃≥[f(x,, 从而[f(x)门≥2[f(化)尸，显然f(x)≠0，于是[f(x乃≥2，即f(x)上V2与f(x)<V2恒 成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点P满足条件