5.5一次函数与二元一次方程 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程（组）的关系，通过情境创设将方程与函数互化，结合图像探索点坐标与方程解的对应关系，搭建从代数到几何的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合抽象能力、几何直观与模型意识，通过探究活动、例题精讲（如灯费用比较）及实际应用，让学生用数学眼光观察关系、用数学思维分析问题。资料结构完整，含训练与拓展，助力学生理解数形结合，也为教师提供丰富教学素材，提升教学效率。

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 5.5一次函数与二元一次方程 二元一次方程 x-y-5=0 一次函数 y=x-5 学习目标 1、理解一次函数与二元一次方程的关系. 2、理解两个一次函数的图象有一个交点，那么交点 的坐标就是相应的二元一次方程组的解的含义， 提高分析问题和解决问题的能力. 3、尝试用函数的观点探索实际问题中的数量关系， 培养用数学的良好意识 学习重点：利用一次函数图象解二元一次方程组 和一些简单的实际问题。 学习难点：理解一次函数与二元一次方程的关系， 把函数与方程（组）结合起来，灵活解决问题。 一、情境创设： 把下列二元一次方程2x－y-3＝0 写成y＝kx＋b的形式，即y＝       ； 把一次函数y=2x-3可以写成 二元一次方程kx-y+b=0的形式，即           。 2x-3 2x－y-3＝0 显然一次函数与二元一次方程之间 有一定的关系。 二、探索新知： 观察图中一次函数y=2x-3的图象，你能发现图象上点的坐标与二元一次方程2x-y-3=0的解之间 有什么关系吗? 如果点P(4,5)在函数图象上， 那么 是方程的一个解。 如果 是方程的解， 那么点(2,1)在函数的图象上。 事实上，一次函数y=2x-3的图象上的点的坐标都是二元一次方程 2x-y-3=0的解；反之，以二元一次 方程2x-y-3=0的解为坐标的点都在 一次函数y=2x-3的图象上。 这条直线上点的 坐标都是我的解哦! 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点， 那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。 讨论： 二元一次方程组 的解 与一次函数y=2x-3，y= 的图象交点坐标 之间有怎样的关系? 两直线平行 无解 1.画出一次函数y=-x+2，y=-x+5的图像，它们之间有何关系？ 探究活动： x+y=2, x+y=5 2.方程组 解的情况如何？ y=-x+2 y=-x+5 (1)二元一次方程组无解<=>一次函数的图像____（无交点）； (2)二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像___（有一个交点）； 平行 相交 你能从中“悟”出些什么吗？ (3)二元一次方程组有无数解<=>一次函数的图像____（有无数个交点）. 重合 归纳总结 以解为坐标的点组成的图象 直线上点的坐标是方程的解 1、一次函数与二元一次方程的关系 小结： 一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解；以二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上. 二元一次方程 kx-y+b=0(k≠0) 一次函数 y=kx+b(k≠0) 一一对应 相互转化 无数个 图象 一条直线 解 一般地,如果两个一次函数的图象有一个交点, 那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。 2、二元一次方程与一次函数的区别 二元一次方程 一次函数 字母表示的 意义不同 表示方法不同 可以用表达式、 表格和图象表示 字母表示未知数 字母表示变量. 只能用等式表示. 3、一次函数与二元一次方程组的关系: 试一试： 2、用图象法解二元一次方程组 时所画的图象如图所示，则该一元一次方程组的解是（ ）。 A. B. C. D. 1、下列图象中,以方程y-2x-2=0的解为坐标的点 组成的是（ ）。 C A 例题精讲： 例1、已知一次函数y=3x-1的图象与正比例函数 y=kx(k为常数，k≠0)的图象交点的横坐标是1. （1）求k的值； （2）写出关于x，y的方程组 的解。 (2)由(1)知，一次函数y=3x-1的图象与正比例函数 y=kx的图象交点坐标为(1，2)，所以，关于x，y 的方程组的 解为 。 解：(1)把x=1代入 y=3x-1，得y=2， 把x=1，y=2，代入y=kx，得k=2. 通常我们可用解二元一次方程组的方法求两直线的交点坐标，也可以通过画两个一次函数图象(直线)，利用两直线的交点 坐标得出二元一次方程组的解。 例2、如图所示,,分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y (费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(h)的函数关系 图象,假设两种灯的使用寿命都是2000h,照明效果一样. (1)根据图象分别求出h,h的函数表达式； (2)当照明时间为多长时,两种灯的费用相等? (3)小军房间计划照明800h,观察图象, 直接说明用哪种灯照明最省钱。 解:(1)设l1的函数表达式为y1=k1x+b1,(k1≠0), l2的函数表达式为y2=k2x+b2,(k2≠0). 由图象可知l1过点(0,2),(500,17)， 代入,得 解得 , 所以y1=0.03x+2(0≤x≤2000). 由图象可知12过点(0,20)(500,26)，同理可得 y2=0.012x+20(0≤x≤2000) (2)联立,得方程组y=32. 故当照明时间为1000h时,两种灯的费用相等. (3)用白炽灯照明最省钱. 三、独立训练： 1、已知一次函数y=2x-3的图象与一次函数y=mx-n(m≠0)的图象交于点M(2，b),则关于x，y的二元一次方程组 的解是( ). A. B. C. D. 2、已知关于x，y的二元一次方程组 无解， 则--次函数y=kx-7的图象不经过( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 C D 3、已知三个一次函数y=2x-3.y=kx-2.y=-2x+1的图象 相交于同一点，则k的值为 . 4、如图，l1是函数y= x+1的图象，l2是函数y=nx+5的图象， (1)求n的值； (2)当l2对应函数的值大于l1对应函数的值时，写出自变量x 的取值范围。 1 解：(1)∵直线l1与l2交于点A,点A横坐标为3. 把x=3代入y= x+1，得y= ×3 +1=2， 点A（3，2） 把x=3，y=2，代入y=nx+5， 2=3n+5 得n=-1. (2)由图象可知，当x＜3时， l2对应函数的值大于l1对应函数的值。 13 5、A、B两地相距200km，甲列车从A地出发，以240km/h的平均速度驶向B地，乙列车在甲列车出发15min后，从B地出发以320km/h的平均速度驶向A地，如图所示是两列车与A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数图象.请根据图象回答问题： (1)甲列车出发多久后与乙列车相遇?此时距A地多远? (2)甲列车出发多长时间内，其到A地的距离比乙列车到A地的 距离更近? 解：(1)由题意,甲列车的函数表达式为s=240t 乙列车行驶过程中的函数表达式为 s=200-320(t-0.25),即s=320t十280. 答:甲列车出发0.5h后与乙列车相遇， 此时距A地120km. (2)由题意,得240t<-320t+280，解得t<0.5. 答:甲列车出发0.5h内,其到A地的距离 比乙列车到A地的距离更近 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b的图象l1经过点A(-2,4),且与正比例函数 的图象l2交于点B(a,2),与x轴交于点C。 (1)填空： ①直线11的表达式为 。 ②当y1>y2>0时,x的取值范围是 。 (2)在y轴上是否存在一点P,使得PA+PC最短? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 四、拓展延伸 y1=2x+8 -3<x<0 (2)存在.理由:直线l1的表达式为y1=2x+8,当y1=0时,x=-4,∴点C的坐标为(-4,0)。如图,作点C 关于y轴的对称点C',连接AC'交y轴于点P,连接CP， 则此时PA+PC最短,C'(4.0). 设直线AP的表达式为y=mx+n(m≠0) 直线AP的表达式为 ，当x=0时,y1= ,点P的坐标为(0, ) 五、总结反思： 两个一次 函数图象 点的坐标 方程的解 二元一次方程 二元一次方程组 交点坐标 一 一对应 对应 一次函数 的图象 方程组的解 变函数——画图像——找交点——写结论． 二元一次方程组的图像解法一般步骤： 六、随堂检测 2、若二元一次方程组 的解为 则函数 与 的图象的交点 坐标为 . 1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则方程组 的解为 。 （2，2） 3、已知函数y=mx(m≠0)的图象与函数y=kx+4(k≠0)的图象的 交点坐标为P(1，3),则方程组 的解为 ； 4、如图，函数y=2x+1的图象与函数y=mx+4的图象交于点P(1，b)， 与x轴分别交于A，B 两点. (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x,y的方程组 的解； (2)求△ABP的面积； (3)若垂直于x轴的直线l与一次的函数y=2x+1的图象,y-mx+4的图象 分别交于点C,D,且线段CD的长为2,直接写出直线1对应的函数表达式。 $