精品解析：广东省东莞市东华初级中学2025-2026学年九年级数学上学期期中考试训练题

2025——2026学年第一学期九年级数学科 期中考试训练题（S12） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，若点在内，则的长可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 以上都有可能 3. 已知关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（ ） A. B. C. 3 D. 6. 拋物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 轴上 D. 轴上 7. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）． A. B. C. D. 8. 下列说法中正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 相等的弦所对的圆心角相等 D. 相等的弧所对的弦相等 9. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根；③；④．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 12. 若是方程的一个根，则式子的值为________． 13. 在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为_____________． 14. 如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是_______． 15. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________． 三、解答题一（共3小题，每题7分，共21分） 16. 小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得为． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第__________步，小彤第一次出错在第__________步； （2）请你给出正确的解法． 17. 如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 四、解答题二（共3小题，每题9分，共27分） 19. 为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品． 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份． 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 20. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后（出口不占用不锈钢栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位）设自行车车棚面积为，车棚宽度为， （1）车棚的长________（用含x的式子表示）； （2）求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 21. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 五、解答题三（共2小题，共13+14=27分） 22. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第一学期九年级数学科 期中考试训练题（S12） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程的定义是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此判断各选项． 【详解】解： A：，是一元二次方程，故本选项符合题意； B：，是不等式，不是方程，故本选项不符合题意； C：，含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意； D：，含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 已知的半径为5，若点在内，则的长可能为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，注意：点P和圆O有三种位置关系：当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在上，②当时，点P在内，③当时，点P在外．根据以上内容判断即可． 【详解】解：的半径为，点在内， ∴， ∴的长可为， 故选：． 3. 已知关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程 中，, , ， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 4. 如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C均在上，， ∴， 故选：C． 5. 若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正六边形定义，熟记正六边形边长与外接圆半径长度相同是解决问题的关键． 正六边形的外接圆半径与其边长相等，因此直接可得答案． 【详解】解：∵正六边形的外接圆半径等于其边长， ∴ 当外接圆半径为时，该正六边形的边长为， 故选：C． 6. 拋物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 轴上 D. 轴上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要是考查二次函数的对称轴，顶点坐标的求法． 求得顶点坐标，即可解答． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点坐标为 ， ∵该点纵坐标为0， ∴顶点在x轴上， 故选：C． 7. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数向左平移一个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为：． 故选D． 8. 下列说法中正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 相等的弦所对的圆心角相等 D. 相等的弧所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，准确分析判断是解题而对关键． 根据圆的性质，相等的弧所对的弦相等，而其他选项均需附加条件或不成立． 【详解】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，选项D正确； 选项中，相等的弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，不一定相等； 选项中，平分弦的直径垂直于弦，需弦不是直径； 选项中，相等的弦所对的圆心角相等，需在同圆或等圆中； 其他选项错误． 9. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 10. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②方程一定有两个不相等的实数根；③；④．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断错误；根据抛物线与轴有两个不同的交点，可以判断，从而可以判断，所以可得方程有两个不相等的实数根，所以可得正确；根据抛物线与轴的交点和抛物线对称轴的位置可以判断当时，函数值，所以可得错误；根据抛物线的对称轴的位置可得，可得，所以可得正确． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； 抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程中， 可得：， ，， ， 有两个不相等的实数根， 故正确； 抛物线的对称轴在轴的右侧，抛物线与轴的一个交点坐标是， 抛物线与轴的交点到对称轴的距离小于， 抛物线与轴的另一个交点的坐标一定在的右侧， 当时，， 故错误； 由图象可知：，， ， 移项得：， 故正确； 故正确的有：②④，共2个， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 12. 若是方程的一个根，则式子的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程根的定义和代数式求值，由是方程的根，可得，再整体代入计算； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴， 故答案为：． 13. 在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意，得：弧长为； 故答案为：． 14. 如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 15. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图像与不等式的关系，熟练掌握“抛物线在直线上方时对应的x取值范围即为不等式的解集”是解题的关键． 将不等式变形为抛物线表达式大于直线表达式的形式，结合图像中抛物线在直线上方的x取值范围求解． 【详解】解：∵不等式可变形为，抛物线与直线的交点为、， 从图像可知，当时，抛物线在直线的上方， ∴当时，， 故答案为： 三、解答题一（共3小题，每题7分，共21分） 16. 小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得为． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第__________步，小彤第一次出错在第__________步； （2）请你给出正确的解法． 【答案】（1）1，2 （2） 解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：小涵的解法中，因为可能为 0 ， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第 2 步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第 2 步； 故答案为：1；2； 【小问2详解】 略 17. 如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用及利用勾股定理建立方程求解线段长度是解题的关键． （1）利用垂径定理得，再结合同弧所对的圆周角相等，证明． （2）先由垂径定理得的长度，设圆的半径为，用表示的长度，再在中利用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 四、解答题二（共3小题，每题9分，共27分） 19. 为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品． 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份． 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 【答案】任务1：；任务2：2元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据增长率问题和利润问题的数量关系，建立一元二次方程求解． 任务1，设月平均增长率为，根据7月份销售量和9月份销售量的关系，列出一元二次方程求解； 任务2，设“抹茶绿豆饼”应该降价元，则每份的利润为元，月销售量为份，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1： 设月平均增长率为，根据7月份销售量和9月份销售量的关系，列出一元二次方程求解． 设该店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率为， 由题意得， 解得； 任务2： 设“抹茶绿豆饼”应该降价元，则每份的利润为元，月销售量为份， ， 解得或， 为了尽快减少库存，， 答：为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价2元． 20. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后（出口不占用不锈钢栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位）设自行车车棚面积为，车棚宽度为， （1）车棚的长________（用含x的式子表示）； （2）求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）S与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． （3）自行车车棚面积最大可达到 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、二次函数的应用等知识点，理解题意、列出函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）直接利用矩形的面积公式列式即可，同时需满足自行车车棚的长不超过60米，宽不超过8米； （3）根据（2）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵车棚宽度为， ∴， 【小问2详解】 解：． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． 【小问3详解】 解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 21. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角为直角得，结合，推导，证明是切线． （2）先在中，由和的长求出、的长度，再计算和扇形的面积，用面积减去扇形面积得阴影部分面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形、扇形面积公式，熟练掌握切线的判定方法及利用图形面积的和差计算阴影部分面积是解题的关键． 五、解答题三（共2小题，共13+14=27分） 22. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2） （3）m的值为1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $