精品解析：上海市杨浦区2026届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题

杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科 2025.12. 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为： . 3. 已知向量，，且，则实数 ______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 4. 若复数 满足：，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的运算求出复数 ，再根据复数的模的计算公式即可求出答案. 【详解】由得，， 则. 故答案为：. 5. (x－2)6的展开式中x2的系数为_________. 【答案】240 【解析】 【分析】先求得(x－2)6的展开式的通项公式，再令x次数为2求解. 【详解】(x－2)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝·(－2)r·x6－r， 令6－r＝2，求得r＝4， 所以(x－2)6的展开式中x2的系数为·(－2)4＝240. 故答案为：240 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数，属于基础题. 6. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl. 7. 圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 8. 已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件 “甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， 所以. 故答案为：. 9. 等差数列的公差不为 ，前项和为，若，，成等比数列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 10. 已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据 为奇函数，得，再根据 解析式及偶函数性质可得所求函数值. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得. 又因为为偶函数，所以，. 因为，所以. 故答案为： . 11. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中 ， 均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离 ， ，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：① ；② ；③ ；④，其中一定能唯一确定 之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断 是否确定，再根据勾股定理判断 是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【详解】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在 中，由余弦定理可得 ，且均为定值，故该方程为关于 的一元二次方程， 可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或 ， 由勾股定理可得，由于为定值，而 有两解，故 也有两解，故①错误； 对于②：在 中，由余弦定理可得，且均为定值，故 也为定值， 又因为，其中均为定值，故 为定值，故②正确； 对于③：在 中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于 的一元二次方程.又， 故，即 有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即 有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故 为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故 也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 12. 数列 ：满足：，且，记集合.若数列 满足：对任意，均有，则称数列 是“好的”.“好的”数列 的个数为_____. 【答案】1926 【解析】 【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案. 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列 为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列 的个数为1926. 故答案为：1926. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由 ，两式相加得 ，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 14. 若 为两条不同直线， 为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若， ，则或 为异面直线，故A错误； 若， ，则或 ，故B错误； 若 ， ，则 ，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若 ， ，这缺少了2个条件，即，才可以得到 ，故D错误； 故选：C. 15. 已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线 的左、右两支上，则向量、的夹角 （ ） A. 有最大值，但无最小值 B. 无最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点 在双曲线的渐近线上，结合双曲线的几何性质，以及向量的夹角的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为， 则点满足渐近线，所以点 在双曲线的渐近线上， 所以过点 存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量的夹角 不存在最小值， 过点 作 轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为 两点，此时， 因为，所以向量的夹角 存在最大值，最大值为 ， 综上可得，向量的夹角 存在最大值，不存在最小值. 故选：A. 16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数 均有；②对任意函数，都存在实数 ，使得对任意实数 均有.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设，分讨论即可说明②不成立. 【详解】假设， 在 上单调递增函数， 对于任意实数 ，， ，，，，故①正确； 设，当时，，， 此时取，则，不满足； 当时，，取，则， 因为，所以，所以， 此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足. 综上，不存在实数 ，使得对任意均有.故②错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在长方体中， 为上一动点，已知， . （1）求直线 与平面 所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先找出即为直线 与平面 所成角，再求的大小即可； （2）根据，再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接 ，由题意得 平面 ， 则即为直线 与平面 所成角， 又， 在直角中，，， ，则， 所以直线 与平面 所成角的大小为. 【小问2详解】 由题意得，平面， 则. 所以三棱锥的体积为. 18. 已知函数 ，. （1）记，求证：函数为偶函数； （2）在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求 的面积. 【答案】（1）根据题意， ， 则 ， 所以函数 为偶函数； （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式得 ，再根据偶函数的定义证明即可； （2）利用辅助角公式整理，根据已知求出，利用余弦定理结合已知可得 的值，最后由三角形面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由辅助角公式得 ， 则， 所以，可得 ， 由余弦定理可得，由于 ，， 则 ，解得（舍去负根）， 由已知得 ，则， 所以. 19. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取 名学生参加考核，将考核的成绩（满分 分，成绩均为不低于 分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中 的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取 人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到 ） 【答案】（1） （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为 结合频率分布直方图列式求出 ； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 20. 已知椭圆 ：，过动点的直线交 轴于点 ，交椭圆 于 ， （点 在第一象限），过点 作 轴的垂线交椭圆 于另一点 ，延长交椭圆 于点 . （1）若椭圆 的离心率为，求 的值； （2）已知，且 是线段 的垂直平分线，求 的值； （3）已知，点 是线段 的中点，且，求直线 的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的概念列式求 即可. （2）根据题意，设，则，，根据列式可求的值，在根据 点在椭圆上，可求 的值. （3）根据题意，可求出的坐标，进而求直线 的斜率. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，又，所以. 【小问2详解】 因为，且 是线段 的垂直平分线， 所以是线段 的中点. 所以可设，则，. 所以，. 由. 又点 在第一象限，所以 ，所以，即. 又点 在椭圆上，所以. 又，所以. 【小问3详解】 因为，所以椭圆 ：. 如图，作出符合题意的图形， 因为点是线段 的中点，可设，，则. 设，因为. 因为都在椭圆 上，所以. 因为点 在第一象限，所以. 所以，，. 因为，所以直线 的方程为：. 由. 由. 所以. 可得，即直线 的斜率为. 21. 已知区间，函数的定义域为 ，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数 的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【答案】（1）是压缩函数. （2） （3）证明如下： （必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若 在 上单调， ①若 在 上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若 在 上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即 的图象在 上连续不断. 下面用反证法证明. 假设 在 上不是单调函数，又 的图象连续不断， 则存在实数，使得 在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得 在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即 在 上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 【解析】 【分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立. （2）根据压缩函数的定义，得到关于 的不等式，进而求出 的取值范围. （3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数 连续，再用反证法假设函数 不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证. 【小问1详解】 已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. 【小问2详解】 因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上， 的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科 2025.12. 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 不等式的解集为______. 2. 函数的最小正周期为______. 3. 已知向量，，且，则实数 ______. 4. 若复数 满足：，则_______. 5. (x－2)6的展开式中x2的系数为_________. 6. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____． 7. 圆的圆心到直线的距离为______. 8. 已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 9. 等差数列的公差不为，前 项和为，若，，成等比数列，则______. 10. 已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 11. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中 ， 均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离， ，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：① ；② ；③ ；④，其中一定能唯一确定 之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 12. 数列 ：满足：，且，记集合.若数列 满足：对任意，均有，则称数列 是“好的”.“好的”数列 的个数为_____. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 若 为两条不同直线， 为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若， ，则 B. 若， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 15. 已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线 的左、右两支上，则向量、的夹角 （ ） A. 有最大值，但无最小值 B. 无最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数 均有；②对任意函数，都存在实数 ，使得对任意实数 均有.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在长方体中， 为上一动点，已知， . （1）求直线 与平面 所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 18. 已知函数 ，. （1）记，求证：函数为偶函数； （2）在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求 的面积. 19. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取 名学生参加考核，将考核的成绩（满分 分，成绩均为不低于 分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中 的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取 人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到 ） 20. 已知椭圆 ：，过动点的直线交 轴于点 ，交椭圆 于 ， （点 在第一象限），过点 作 轴的垂线交椭圆 于另一点 ，延长交椭圆 于点 . （1）若椭圆 的离心率为，求 的值； （2）已知，且 是线段 的垂直平分线，求 的值； （3）已知，点 是线段 的中点，且，求直线 的斜率. 21. 已知区间，函数的定义域为 ，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数 的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $