精品解析：上海市杨浦区2026届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题

杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科 2025.12. 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 不等式的解集为______. 2. 函数的最小正周期为______. 3. 已知向量，，且，则实数______. 4. 若复数满足：，则_______. 5. (x－2)6的展开式中x2的系数为_________. 6. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____． 7. 圆的圆心到直线的距离为______. 8. 已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 9. 等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. 10. 已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 11. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（ ） A. 有最大值，但无最小值 B. 无最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在长方体中，为上一动点，已知，. （1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 18. 已知函数，. （1）记，求证：函数为偶函数； （2）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 19. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 20. 已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点. （1）若椭圆的离心率为，求的值； （2）已知，且是线段的垂直平分线，求的值； （3）已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率. 21. 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2025学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科 2025.12. 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 3. 已知向量，，且，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 4. 若复数满足：，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可求出答案. 【详解】由得，， 则. 故答案为：. 5. (x－2)6的展开式中x2的系数为_________. 【答案】240 【解析】 【分析】先求得(x－2)6的展开式的通项公式，再令x次数为2求解. 【详解】(x－2)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝·(－2)r·x6－r， 令6－r＝2，求得r＝4， 所以(x－2)6的展开式中x2的系数为·(－2)4＝240. 故答案为：240 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数，属于基础题. 6. 已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl. 7. 圆的圆心到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 8. 已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， 所以. 故答案为：. 9. 等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 10. 已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得. 又因为为偶函数，所以，. 因为，所以. 故答案为：. 11. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【详解】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或， 由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误； 对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值， 又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确； 对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于的一元二次方程.又， 故，即有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 【答案】1926 【解析】 【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案. 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列的个数为1926. 故答案为：1926. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 14. 若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若，，则或为异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误； 故选：C. 15. 已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（ ） A. 有最大值，但无最小值 B. 无最大值，但有最小值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点在双曲线的渐近线上，结合双曲线的几何性质，以及向量的夹角的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为， 则点满足渐近线，所以点在双曲线的渐近线上， 所以过点存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量的夹角不存在最小值， 过点作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为两点，此时， 因为，所以向量的夹角存在最大值，最大值为， 综上可得，向量的夹角存在最大值，不存在最小值. 故选：A. 16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设，分讨论即可说明②不成立. 【详解】假设，在上单调递增函数， 对于任意实数，， ，，，，故①正确； 设，当时，，， 此时取，则，不满足； 当时，，取，则， 因为，所以，所以， 此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足. 综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在长方体中，为上一动点，已知，. （1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先找出即为直线与平面所成角，再求的大小即可； （2）根据，再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接，由题意得平面， 则即为直线与平面所成角， 又， 在直角中，，， ，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 由题意得，平面， 则. 所以三棱锥的体积为. 18. 已知函数，. （1）记，求证：函数为偶函数； （2）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 【答案】（1）根据题意， ， 则， 所以函数为偶函数； （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式得，再根据偶函数的定义证明即可； （2）利用辅助角公式整理，根据已知求出，利用余弦定理结合已知可得的值，最后由三角形面积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由辅助角公式得， 则， 所以，可得， 由余弦定理可得，由于 ，， 则，解得（舍去负根）， 由已知得，则， 所以. 19. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? （3）若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】（1） （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 20. 已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点. （1）若椭圆的离心率为，求的值； （2）已知，且是线段的垂直平分线，求的值； （3）已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的概念列式求即可. （2）根据题意，设，则，，根据列式可求的值，在根据点在椭圆上，可求的值. （3）根据题意，可求出的坐标，进而求直线的斜率. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，又，所以. 【小问2详解】 因为，且是线段的垂直平分线， 所以是线段的中点. 所以可设，则，. 所以，. 由. 又点在第一象限，所以，所以，即. 又点在椭圆上，所以. 又，所以. 【小问3详解】 因为，所以椭圆：. 如图，作出符合题意的图形， 因为点是线段的中点，可设，，则. 设，因为. 因为都在椭圆上，所以. 因为点在第一象限，所以. 所以，，. 因为，所以直线的方程为：. 由. 由. 所以. 可得，即直线的斜率为. 21. 已知区间，函数的定义域为，若函数满足：对任意，均有，则称函数为压缩函数. （1）判断函数，，是否为压缩函数?并说明理由； （2）若函数，为压缩函数，求实数的取值范围； （3）已知函数，为压缩函数，求证：，为单调函数的充要条件是：对任意，均有. 【答案】（1）是压缩函数. （2） （3）证明如下： （必要性）已知函数，为压缩函数，若，为单调函数， 则对任意，均有. 证明：若在上单调， ①若在上单调递增， 则对任意，不妨设，有， 从而 于是，且， 则； ②若在上单调递减，则对任意，不妨设， 同理可得，且， 则； 综上所述，对任意， 均有，必要性得证. （充分性）已知函数，为压缩函数， 若对任意，均有，则，为单调函数. 证明：由函数，为压缩函数， 则对任意，恒有， 故当时，有，即. 即的图象在上连续不断. 下面用反证法证明. 假设在上不是单调函数，又的图象连续不断， 则存在实数，使得在处取极值， 若为极小值点，则存在区间，其中， 使得在上单调递减，且在上单调递增， 则存在，满足， 则，且，即，且， 故； 这与任意，矛盾； 若为极大值点，同理可得存在，且， 故， 也与产生矛盾. 故假设错误，即在上是单调函数，充分性得证. 综上所述，是单调函数的充要条件是： 对任意，都有. 【解析】 【分析】（1）根据压缩函数的定义，判断对于任意，是否都有成立. （2）根据压缩函数的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围. （3）结合压缩函数的定义，分充分性和必要性进行证明.在充分性证明时，先证明函数连续，再用反证法假设函数不单调，借助极值点附近函数值与极值的大小比较，推出矛盾即证. 【小问1详解】 已知函数，则. 因为，所以， 那么， 所以函数，是压缩函数. 【小问2详解】 因为函数，为压缩函数， 所以对于任意，均有. 显然当时成立，不妨设， 则不等式可化为：， 则且， 令，则在上为减函数； 令则 在上为增函数. 对于 ，则 由为减函数，得对恒成立， 即，所以，可得； 对于，其导数为 由为增函数，得对成立， 即恒成立，所以，可得 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $