专题三 微专题3 最值、翻折与探索问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何中的最值、翻折与探索三大高考高频难点，按考点分块整合模拟题，通过考点透析梳理核心题型，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战应用，帮助学生构建系统的立体几何问题解决框架。 讲义以数学眼光构建空间观念，如翻折问题中对比平面图形与立体图形的转化过程，培养学生空间想象能力，以数学思维强化推理能力，如探索问题通过动态分析参数变化规律。设置分层跟踪练习，确保高效突破难点，助力学生提升立体几何应考能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

专题三立体几何 微专题3最值、翻折与探索问题 一、考点透析 考点1最值 1.(2025·广东省东莞市·模拟)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD,点E在下 底面圆周上，且CE=3BE,点F在母线AB上，点G是线段AC上靠近点A的四等分点，则EF+FG 的最小值为() A号 B.4 C.6 【答案】A 【解析】解：如图，将△ABE绕AB旋转到△PAB的位置， 并且点P在CB的延长线上，连接PG,交AB于点F,此时EF+FG最小. CE=V3BE,则∠BCE=,BE=BP=3 61 由己知可知轴截面ABCD是边长为3的正方形， 所以Ac=32.cG=9pPC=3+-∠Ac8=45, 4 在△PCG中由余弦定理得 PG2=PC2 CG2-2PC.CGcosLPCG -4+号2×程x￥×号=唱 2 42-8 ·PG=92 4 故选A. 2.(2025山西省模拟)圆锥顶点为P,底面中心为0，体积为的正四面体0-ABC的底面ABC与 该圆锥的底面平行，且点A,B,C都在圆锥的侧面上，则该圆锥体积的最小值是， 【答案】9 【解析】设圆锥Po的底面半径为r,高为h,底面ABC的中心为O1,则点P,O,O三点共线. 设正四面体0-ABC棱长为a,则高为a, 2 所以V。-ABc=,Aac= 1 =1.5a2.5a=2a3=6, 3 3 12 4 1r 解得a=3, 故01A=马=1,001=5=2， 3 3 由-2=马，得h=2: h r-1 该圆维的体积v=知h-冯=受片 r-1 3-1 令f)=,r>1,则rW=2-1》r-22r-2】 (r-1)2 (r-1)2 当r>时，f')>0;当1<r<时，f'0<0, 所以当r=时，f0有最小值，这时圆锥的体积有最小值气 A 故答案为：9。 3.(2025·湖北省武汉市模拟)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,E为 AC的中点. (1)证明：平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上且DF=λDB,λE[O,1],记CF与平面ABD所成角 为a,求sina的最大值， 【答案】(1)见解析 (2)43 7 【解析】解：(1)因为在△ABD和△CBD中，AD=DC,∠ADB=∠CDB,DB=DB, 所以△ABD兰△CBD,所以AB=CB. 又因为E为AC的中点，所以BE⊥AC, 因为AD=DC,E为AC的中点，所以DE⊥AC. 又BE n DE=E,BE,DEC平面BED,所以AC⊥平面BED, 又因为ACC平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD (2)由(1)得AB=CB,又∠ACB=60°，所以△ABC为等边三角形. 因为AB=BD=2,所以AB=CB=AC=2,BE=V3, 因为AD⊥DC,AD=DC,所以△ADC是等腰直角三角形， 所以AD=CD=2,DE=1. 以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,0),A(1,0,0,C(-1,0,0),B(0,V3,0),D(0,0,1), 所以AB=(-1,3,0,AD=(-1,0,1),CD=(1,0,1),DB=(0,V3,-1), DF=λDB=(0,V3入，-，入e[0,1], 所以CF=CD+DF=(1,3λ，1-)， 设平面ABD的法向量为i=(X,Y,z, 吧+。0 即x=V3y=z,令y=1,则n=(3,1,V3). 23 23 所以sina=lcos<元，CF>|=7x1+3那+a--7×4a-护+居 则入=时，sina的最大值为4 7 考点2翻折 1.(2025·重庆市模拟)如图，矩形ABCD中，AB=2V3,BC=2V6,将△ABD沿BD翻折，得到三 棱锥A'-BCD(点A是点A在翻折后的对应点)，则三棱锥A'-BCD体积的最大值为() A42 B.62 C.8 D.16 【答案】C 【解折】解：由条件可得5.acD=8C,cD=×26×2V3=62, BD =BC2 CD2=24+12=6, 设点A'到BD的距离为h, 由等面积法可得S△ABD=S△ABD' 所以AB·AD=2BDh, 即×23×26=×6，则h=2V2, 由图知， 当平面A'BDL平面BCD时，三棱锥A'-BCD体积的最大， 此时三棱锥的高为h=22, 1 则体积为字BcDh=3×62×2V2=8. 故选：C, 2.(2025·山东省济南市·模拟)如图，在梯形BCEF中，EFBC,FB⊥BC,EF=1,BC=3, CE=4,AD是梯形BCEF的中位线，将梯形BCEF沿AD翻折得到五面体ABCDEF,点G为BC上靠 近点B的三等分点，DG⊥CF, E A B B G (1)证明：AB⊥DE; (2)求平面ACF与平面CDE夹角的余弦值 【答案】(1)见解析 (2)15 5 【解析】解：(1)证明：如图，连接AG,AC, F G AD=21+3)=2,CD=CG=2,AD/CG, 四边形AGCD为菱形，AC⊥DG, 又CF⊥DG,AC∩CF=C,AC,CFC平面ACF, .DG⊥平面ACF, 又AFC平面ACF,DG⊥AF, ,AD⊥AF,AD∩DG=D,AD,DGC平面ABCD, .AF⊥平面ABCD, ,ABC平面ABCD,.AB⊥AF, 又AB⊥AD,AD∩AF=A,AD,AFC平面ADEF, ABI平面ADEF, DEC平面ADEF,∴.AB⊥DE; (2)由(1)可得，AB⊥AF,AB⊥AD,AD⊥AF, 如图，以A为原点，分别以AB,AD,AF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， G 不难求得AB=AF=V3,则A(0,0,0),D(0,2,0),C(V3,3,0),G(V3,1,0),E(0,1,V3), .D元=（3,1,0)，DE=(0,-1,3), 设平面CDE的法向量元=a,bc,则有·DC=0,即 3a+b=0 m·DE=0 -b+V3c=0 .可取m=(1,-V3,-1), ·DG⊥平面ACF,·平面ACF的法向量n=DG=(3,-1,0), :.cos(m,n)= m元23=西】 m:同=5x2 5 即平面ACF与平面CDE夹角的余弦值为I5 3.(2025·辽宁省沈阳市·模拟在矩形ABCD中，E,F为CD上两个不同的三等分点，如图1.将△AFD 和·BEC分别沿AF,BE向上翻折，使得点C,D重合，记重合后的点为P,如图2.已知AB=6,四 棱锥P-ABEF的体积为8y3 31 E 图1 图2 (1)求AD: (2)求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值. 【答案】(1)AD=4 (2)39 8 解：(1)取AB,EF的中点分别为G,H,连接PH,HG,PG, 过点P作PM LHG,垂足为M, 设AD=a,则HG=a, △PEF为等边三角形，EH=F=1,PH=3, 在△PAB中，PA=PB=a,PG=Va2-9, 在△PGH中，cos∠PHG=PH2+HG2-PG=23,sin∠PHG=Q2-12, 2PH.HG Q PM=PH·sin/PHG=3·a2-12 a 又梯形ABEF的面积S=EF+AB)·HG=4a, 2 所以四棱锥P-A8EF的体积为·SPM=号4a3-g21卫=3·卫-8， 3 3 解得a=4(a=-4舍去)，即AD=4; ZA G 2由可得HG=AD=4PM=号HM=6GM= 以M为坐标原点，MG,MP所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A23,o,B(号3，oE21.o,F2-1,0.P00,, 所以4F=42o,E=4,-20ad=(3,9.8丽=(39， n·AF=-4x1+2y1=0, 设平面PAF的法向量为元=(x1y1Z1),则{- n加=-+3y+号4=0， 取x1=3,得元=(3,23，-7). 设平面PBE的法向量为m=(x2y222),则{- m·BE=-4x2-2y2=0, m8P=-。3y2+号，=0， 取x2=3,得m=(V3,-23,-7). 3-12+49 所以cos<m,n>= 同=8+2+49x3+2+9=日sin<m>=g0, m.n 5 8 所以平面PAF与平面PBE所成角的正弦值为3 8 考点3探索 1.(多选题)(2025·安徽合肥·模拟)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB/CD, AD⊥DC,BC=CD=2,DD1=AB=1,P是棱CC1的中点，Q是棱C1D1上一动点（不包含端 点)，则() D Q B B AAC与平面BPQ有可能平行 B.B1D1与平面BPQ有可能平行 C.三角形BPQ周长的最小值为17+2四 2 D.三棱锥A-BPQ的体积为定值 【答案】ACD 【解析】解：对于A,当Q为C1D1的中点时，AC/平面BPQ,证明如下： D D 连接AD1,CD1. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AB//CD, :.AB//CD1, 即AB/D1Q Q是线段C1D1的中点，C1D1=CD=2, D1Q=1. AB=1, ..D1Q=AB. 四边形ABQD1是平行四边形， ..AD1//BQ. 又BQC平面BPQ,AD1￠平面BPQ, ∴.AD∥平面BPQ. P、Q分别是线段CC1,C1D1的中点， ..PQ//CD1, 又~PQC平面BPQ,CD1￠平面BPQ, 所以CD1/平面BPQ. AD1nCD1=D1,AD1,CD1C平面ACD1, ·.平面ACD1/平面BPQ, ACC平面ACD1, .AC/平面BPQ, 故A正确； 对于B,因为D:平面BPQ,所以BD与平面BPQ相交， 又B1D1/BD 所以B1D1与平面BPQ相交，故B错误； 对于C,CC1=DD1=1,BC=2, Bp-Bc2+（gcc)- 把ABC1D1沿C1D1展开到与CDD1C1在同一平面内（如图）， D 则当B,P,Q共线时，BQ+PQ有最小值， 由A01=2可得展开图中8P=12+(月-受 所以三角形BPQ周长的最小值为17+2，故C正确， 2 对于D,VA-BPQ=VQ-ABP, 因S△ABP为定值， 又C1D1/平面ABP, 故Q到平面ABP的距离也为定值， 所以VA-BPQ为定值 故选：ACD, 2.(2025·福建省泉州市·模拟)如图，在多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD,平面CDF⊥平面 ABCD,四边形ABCD是正方形，△CDF是正三角形，AB=2,AE=2V3. E B (1)证明：DF/平面ABE; (2)若直线EF与底面ABCD的交点为G,直线AG上是否存在点N,使得平面EBN与平面ECD的夹 专题三 立体几何 微专题3 最值、翻折与探索问题 一、考点透析 考点1 最值 1.(2025·广东省东莞市·模拟)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点的四等分点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·山西省·模拟)圆锥顶点为，底面中心为，体积为的正四面体的底面与该圆锥的底面平行，且点都在圆锥的侧面上，则该圆锥体积的最小值是          ． 3.(2025·湖北省武汉市·模拟)如图，四面体中，，，，为的中点． 证明：平面平面； 设，，点在上且，，记与平面所成角为，求的最大值． 考点2 翻折 1.(2025·重庆市·模拟)如图，矩形中，，将沿翻折，得到三棱锥点是点在翻折后的对应点，则三棱锥体积的最大值为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·山东省济南市·模拟)如图，在梯形中， ，，，，，是梯形的中位线，将梯形沿翻折得到五面体，点为上靠近点的三等分点，． 证明：； 求平面与平面夹角的余弦值． 3.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图已知，四棱锥的体积为． 求； 求平面与平面所成角的正弦值．  考点3 探索 1.（多选题）(2025·安徽合肥·模拟)如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，是棱的中点，是棱上一动点不包含端点，则(    ) A. 与平面有可能平行 B. 与平面有可能平行 C. 三角形周长的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 2.(2025·福建省泉州市·模拟)如图，在多面体中，平面，平面平面，四边形是正方形，是正三角形，，． 证明：平面； 若直线与底面的交点为，直线上是否存在点，使得平面与平面的夹角为若存在，求的长；若不存在，请说明理由．  二、跟踪练习 1.（多选题）(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知正方体的棱长为，点满足，其中，，，下列正确的是(    ) A. 当时，则异面直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则的最小值为 C. 当时，线段的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 2.（多选题）(2025·山西省吕梁市·模拟)如图，飘带函数的图象类似于飘带，已知图象上两个点，关于原点对称点的横坐标，过点，分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作则下列结论正确的是(    ) A. B. 若，当图象沿轴折叠时， C. D. 若，当图象沿轴折叠时， 3.(2025·陕西省西安市·模拟)在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成其中，，，均为常数，，为该平面的一个法向量已知球的半径为，点，，均在球的球面上，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆为线段的中点． 求点的坐标． 若平面，证明：平面平面． 已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点． 用表示点的坐标 若，求点到平面距离的最大值 若，，，当直线与平面所成的角最小时，求的值． 4.(2025·贵州省·模拟)在平面四边形中，，，如图所示现将图中的沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图所示．    求证：； 若，二面角的大小为，求的值． 5.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)如图，在矩形中，，，为中点，将沿翻折至，使得． 证明：平面平面 线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $