专题三微专题2截面与动态问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何中的截面与动态问题核心考点，按考点透析与跟踪练习的逻辑架构展开，通过梳理截面面积计算、动态轨迹分析等高考高频题型，结合模拟题与真题精讲，帮助学生构建空间观念，掌握转化与化归解题方法，突破立体几何难点。 讲义采用“考点-例题-练习”分层设计，如在截面问题中引导学生作辅助线转化空间图形为平面图形，培养推理能力，动态问题中结合轨迹方程思想提升创新意识。设置基础到综合的跟踪练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生空间想象与应考能力。

专题三 立体几何 微专题2 截面与动态问题 一、考点透析 考点1 截面问题 1.(2025·江苏省·模拟题)如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： 设直三棱柱的底面积为，体积为， 如图所示，，所以， 此时， 此时平面是直棱柱的中截面， 故平面与，，相交于它们的中点处， 此时截面如图所示， 所以． 故选：． 2.(2025·山东省青岛市·模拟题)在正四棱台中，，，为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设该正四棱台上、下底面的中心分别为， ， 设，高， 作，则， 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为 当且仅当，即时取等号，此时，，． 取的中点，连接、， 显然有，平面，平面， 所以平面， 因此平面就是截面， ，， 设与交于点， 则， 所以梯形的面积为， 故选C． 3.（2025·咸阳模拟）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面与线段AD相切于点M，则球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为　　　　. 【答案】π 【解析】在棱长为2的正四面体ABCD中，连接AN，DN，过O作OE⊥DN于E，如图， 由M，N分别为棱AD，BC的中点，得AN⊥BC，DN⊥BC， 而AN∩DN＝N，AN，DN⊂平面AND，则BC⊥平面AND， 又BC⊂平面BCD，于是平面AND⊥平面BCD， 而平面AND∩平面BCD＝DN，OE⊂平面AND， 因此OE⊥平面BCD，而AN＝DN＝，DM＝1，MN⊥AD， 则MN＝，球O半径OM＝MN＝， 故ON＝OM＝，sin ∠DNM＝＝， 从而OE＝ON·sin ∠DNM＝×＝， 球O被平面BCD截得的截面圆半径r＝＝＝， 所以球O被平面BCD截得的截面周长2πr＝π. 又ABCD为正四面体， 所以球O被正四面体ABCD的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径为， 所以球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为4×π＝π. 考点2 动态问题 1.(2025·福建省·月考)如图，棱长为的正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图所示： 当点在处时，， 当点在的中点时， ， 所以， 所以，又，，平面， 所以平面， 所以点的轨迹是线段， 作点关于的对称点，过作于， 当，，三点共线时，点到底面的距离与它到点的距离之和取得最小值． 在直角三角形中，，，， 得， 所以，当，，三点共线时，， 故选：． 2.(2025·湖南省·单元测试)如图，在棱长为的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是   动点的轨迹：指动点运动所形成的图形 A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B. 保持与垂直时，点的轨迹长度为 C. 若保持，则的轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为直角梯形 【答案】B  【解析】解：对于，将正方体的底面和侧面展开如图， 连接，则，故A错误 对于，易知平面 ， 所以过点作平面 平面， 所以的运动轨迹为线段， 所以，故B正确 对于，如图，若  ， 则  在以  为球心，  为半径的球面上， 过点作平面  ，则  ， 此时  ． 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，此时圆心角为  ． 点  的运动轨迹长度  ，故C错误； 对于，如图，延长，交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为． ∽ ，所以． ∽ ，所以， 所以 ， 所以，且 ， 所以截面为梯形，， 所以截面为等腰梯形，故D错误． 故选：． 3.（多选题）(2025·内蒙古自治区呼和浩特市·模拟)如图，棱长为的正方体，为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是    ． A. 平面 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD  【解析】解：选项A中，分别取，中点，，连接、，，可知， 又因为，所以，所以平面不成立，选项A错误； 选项B中，取中点，连接，，，所以， 因为正方体，所以面， 因为平面，所以，即， 因为，，所以， ，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，故，选项B成立； 选项C中，要求的最小值，面，面， 和都是边长为的正三角形， 将它们置入同一平面可以得到平行四边形，为中点， 在中，由余弦定理可得， ，选项C成立； 选项D中，垂直平面时的值最小， 又到平面的距离等于到平面距离的， 设正四面体的高等于， 因为，即， 即，解得， 正四面体的高等于，所以的最小值为，选项D成立． 故选：． 二、跟踪练习 1.（2025·宁波质检）已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB，点E是PD的中点，点F是棱PC上的点且PF＝2FC，则平面BEF截四棱锥P-ABCD所得的截面图形是（　　） A.斜三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.两组对边均不平行的四边形 【答案】D  【解析】如图，延长EF和DC，设其交点为G，连接BG， 延长DA并与直线BG交于点H，连接HE交PA于点K，连接KB，得四边形EFBK， 假设KE∥BF，易证BF∥平面PAD， 易知BC∥平面PAD，易得平面PBC∥平面PAD， 这与平面PBC与平面PAD有公共点P矛盾，故假设不成立， 因此KE与BF不平行，同理可证KB与EF不平行， 因此四边形EFBK的两组对边均不平行，故选D. 2.已知正四面体ABCD的棱长为2，平面α与棱AB，CD均平行，则α截此正四面体所得截面面积的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】A  【解析】如图，取CD的中点O，连接OA，OB． 因为△ACD为等边三角形，O为CD的中点， 所以OA⊥CD，同理可得OB⊥CD，因为OA∩OB＝O，所以CD⊥平面AOB． 因为AB⊂平面AOB，所以CD⊥AB． 设平面α分别交AC，AD，BD，BC于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE. 因为CD∥平面α，CD⊂平面ACD，平面ACD∩平面α＝EF， 所以CD∥EF，同理可证GH∥CD，所以EF∥GH， 同理可证EH∥FG，所以四边形EFGH为平行四边形． 因为AB⊥CD，所以EF⊥EH，则平行四边形EFGH为矩形． 设＝x(0＜x＜1)，则＝1－x. 因为EF∥CD，则＝x，所以EF＝2x， 同理可得EH＝2(1－x)，所以S矩形EFGH＝EF·EH＝2x·2(1－x)＝4x(1－x)≤4·2＝1， 当且仅当x＝时等号成立，因此截面面积的最大值为1. 3.（多选题）(2025·山东省济宁市·模拟)在棱长为正方体中，为的中点，是侧面内的一点包含边界，则以下结论正确的是(    ) A. 若，则的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为定值，则 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】AD  【解析】解：对于，取的中点，此时满足， 因为点在侧面内，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线为四分之一圆弧， 该圆弧是以为圆心为半径的圆的，故其轨迹长度为，故A正确；    对于，如图所示，连接，在中，，同理可求得， 所以为等腰三角形，当点为的中点时，连接，此时有， 在正方体中易知，故，此时与所成角的为，故B错误；    对于，，所以定值， 故当点与点重合时，满足三棱锥的体积为定值， 此时平面，平面，所以与不垂直，故C错误；    对于，设，当点为的中点时，最， 取中点，则， 所以； 当点与点或点重合时，最小，此时，所以，    在球面上，的外接圆直径， 三棱锥的外接球的直径为， 三棱锥的外接球的半径为， 三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选：． 4.(2025·江西宜春模拟)如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均是边长为6的等边三角形，DB＝9，则四面体ABCD外接球的表面积为________；点E是线段AD的中点，点F在四面体ABCD的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为_________． 【答案】84π　5π 【解析】取AC中点M，连接BM，DM，则AC⊥BM，AC⊥DM，BM∩DM＝M，BM，DM⊂平面DMB， 又△ABC和△ACD均是边长为6的等边三角形，DB＝9， ∴AC⊥平面DMB，DM＝MB＝， 所以cos ∠DBM＝， ∴∠DBM＝∠MDB＝30°， 设四面体ABCD外接球的球心为O，△DAC，△BAC的中心分别为O1，O2， 易知OO1⊥平面DAC，OO2⊥平面BAC，且O，O1，O2，M四点共面， 由题可得∠OMO1＝∠O1MO2＝60°，O1M＝， 在Rt△OO1M中，得OO1＝O1M＝3，又O1D＝， 则四面体ABCD外接球半径r＝， 所以四面体ABCD外接球的表面积为4πr2＝4π×2＝84π； 作EH⊥AC于H，设点F轨迹所在平面为α， 则平面α经过点H且AC⊥α， 易知O到平面α的距离d＝MH＝， 故平面α截外接球所得截面圆的半径为r1＝， 所以截面圆的周长为l＝2πr1＝5π，即点F轨迹的周长为5π. 5.(2025·山西省·模拟)如图所示，在三棱锥中，，，，点，，分别在棱，，上运动，且平面，平面，，分别是线段和的中点． 证明：直线平面； 当三角形面积的最大值为时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析 （2） 解：证明：因为平面，平面，平面， 平面平面，所以，同理， 如图，连接，， ，所以， 又因为，分别是线段和的中点， 所以，所以，所以， 又因为，，，平面，， 所以平面，又平面，所以，所以， 因为，平面，， 所以平面； 由及已知可得，因为，， 所以，又因为，所以， 由知平面，又平面，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，又，则， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为．   学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三 立体几何 微专题2 截面与动态问题 一、考点透析 考点1 截面问题 1.(2025·江苏省·模拟题)如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，(    ) A. B. C. D. 2.(2025·山东省青岛市·模拟题)在正四棱台中，，，为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 A. B. C. D. 3.（2025·咸阳模拟）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面与线段AD相切于点M，则球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为　　　　. 考点2 动态问题 1.(2025·福建省·月考)如图，棱长为的正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值是(    ) A. B. C. D. 2.(2025·湖南省·单元测试)如图，在棱长为的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是   动点的轨迹：指动点运动所形成的图形 A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B. 保持与垂直时，点的轨迹长度为 C. 若保持，则的轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为直角梯形 3.（多选题）(2025·内蒙古自治区呼和浩特市·模拟)如图，棱长为的正方体，为底面的中心，为棱的中点，是线段上的动点，为平面内的动点，则下列说法正确的是    ． A. 平面 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 二、跟踪练习 1.（2025·宁波质检）已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB，点E是PD的中点，点F是棱PC上的点且PF＝2FC，则平面BEF截四棱锥P-ABCD所得的截面图形是（　　） A.斜三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.两组对边均不平行的四边形 2.已知正四面体ABCD的棱长为2，平面α与棱AB，CD均平行，则α截此正四面体所得截面面积的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 3.（多选题）(2025·山东省济宁市·模拟)在棱长为正方体中，为的中点，是侧面内的一点包含边界，则以下结论正确的是(    ) A. 若，则的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为定值，则 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 4.(2025·江西宜春模拟)如图，在四面体ABCD中，△ABC和△ACD均是边长为6的等边三角形，DB＝9，则四面体ABCD外接球的表面积为________；点E是线段AD的中点，点F在四面体ABCD的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为_________． 5.(2025·山西省·模拟)如图所示，在三棱锥中，，，，点，，分别在棱，，上运动，且平面，平面，，分别是线段和的中点． 证明：直线平面； 当三角形面积的最大值为时，求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $