专题三 微专题1 球的切接问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦立体几何中球的切接问题核心考点，涵盖球的面积体积计算、外接球与内切球的存在性及度量关系、解析法在复杂几何体中的应用，按“基础公式-空间结构-综合应用”逻辑架构知识点。通过考点梳理明确考查要求，方法指导提炼解题通法，真题训练强化实战能力，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破空间想象与转化难点。 资料以“空间观念”和“数学思维”为导向，创新设计“模型建构-动态分析-多法对比”教学活动，如外接球问题中引导学生构造长方体模型转化顶点距离，内切球问题中通过体积分割法推导半径公式，培养学生几何直观与逻辑推理能力。设置分层练习匹配高考难度，助力学生在有限时间内掌握解题关键，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供高效指导。

专题三 立体几何 微专题1 球的切接问题 一、考点透析 考点1 球的面积和体积 1.(2025·辽宁省朝阳市·模拟)某艺术吊灯如图所示，图是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上底座厚度忽略不计，若该艺术吊灯总高度为，则球的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由已知四根吊挂线下端是正方形的四个顶点，平面截球所得截面圆的半径， 设球的半径为，则球心到平面的距离为， 因为吊灯总高度为，即，所以， 因此，球的体积， 故选C． 考点2 外接球 1.(2025·湖南省·单元测试)如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积          ． 【答案】  【解析】解：由题意得  ，且   所以由斜二测画法得，在原图  中，  ，  ，  ， 原图中的三棱锥中已知底面，故BA，，两两垂直， 把三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 长方体过同一顶点的三条棱长分别为，，， 故三棱锥  外接球的半径  ， 则   故答案为． 2.(2025·河南省开封市·模拟)已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，，则球的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为平面平面， ，， 所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分， 如图所示： 则四面体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为， 所以直三棱柱的外接球的半径， 则球的表面积． 故选：． 3.(2025·山东省济宁市·模拟)一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径． 故选：． 4.(2025·河北省承德市·月考)在三棱锥中，，，为的中点，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为          ． 【答案】  【解析】解：在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 设外接圆的半径为，圆心为， 则， 所以， 圆心到点的距离为， 另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，过点作的垂线，垂足为， 设外接球的半径为，则中，， 直角中，， 解得，， 所以． 5.(2025·陕西省西安市·模拟)已知圆台的高为，上、下底面圆的半径分别为和，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为          ． 【答案】  【解析】解：根据题意可得该球的球心在圆台的上下底面圆心的连线上， 设球心到下底面圆心的距离为，球的半径为， 则根据题意可得： ，解得， 所以， 所以该球的表面积为． 故答案为：． 考点3 内切球 1.(2025·陕西省西安市·模拟)正四棱台上底面边长为，下底面边长为，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆， 根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得： ， 利用等面积法：， 可得：， 解得：， 再由棱台体积公式得：， 由球的体积公式得：， 所以正四棱台与球的体积之比是：． 故选：． 2.（多选题）(2025·湖北省武汉市·月考)如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点含端点，则下列命题正确的是(    ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球 C. 直线与所成角的正切值的最小值是 D. 的最小值为 【答案】ACD  【解析】解：连接，与相交于点，连接， 因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形， 故为中点，又是线段的中点， 所以，因为平面， 平面， 所以平面， 是线段上的动点含端点， 则点到平面的距离为定值， 的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，A正确； 中，，，，则． 则的内切圆半径为， 故在直三棱柱内部不能够放入一个表面积为的球，故B错误； 设为的中点，连接，，则， 所以或其补角为直线与所成角． 因为， 与是平面内的两条相交的直线， 所以平面． ，则平面． 平面． 所以． ， 的最小值为点到直线的距离，即， 故直线与所成角的正切值的最小值是，C正确； 如图，过作，反向延长与相交于点， 连接，， 设，则，，， 所以， ． ， 表示平面直角坐标系内的轴上的点到点与的距离和的最小值， 点关于轴的对称点为， 所以的最小值为与的距离． 所以的最小值为，故D正确． 故选ACD． 3.(2025·江苏省南京市·模拟)直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图所示，因为正四面体的高等于其棱长的倍，所以其高为， 个半径为的小球放进棱长为的正四面体中，成三棱锥形状，有层， 则从上到下每层的小球个数依次为，，个， 当取最大值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 则该正四面体的棱长为， 可得正四面体的高， 连接并延长交于点，连接，过点作于点， 易知，，所以， 所以， 所以正四面体的高， 解得，所以的最大值为． 故选：． 考点4 解析法研究球的切接问题 1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)如图，在棱长为的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为          ． 【答案】  【解析】解：在正四面体中，取的中点为，连接． 易知平面． 设四面体的外接球的球心为，则点在平面上． 设在平面上的射影分别为，显然为的重心， 则． 在中，， 则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，外接球的半径为，则， 即， 即解得即， 则所求外接球的表面积． 2.(2025·湖南省·模拟)已知正四棱锥的底面边长为，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为          ． 【答案】  【解析】解：方法一：由题意得，球为正四棱锥的内切球， 如图所示，设底面中心为，过作与垂直的平面， 则该平面与球的交线为圆，过作与垂直的平面，该平面与球的交线也为圆， 球上两圆的交点即为点， 因为两圆都关于平面对称，且两圆有且只有一个交点，故点也在平面上， 即点在上，，分别为，的中点， 分别作平面，平面截正四棱锥的截面，如图所示， 设球的半径为，球心为，， 在图中，因为， 所以，所以， 又，所以， 则有，即， 在图中，， 故， 因为球与均相切， 故，故，即， 球的半径，球的表面积， 故答案为：． 方法二：连接，，设交点为，如图建立以为原点的空间直角坐标系， 因底面边长为，则，设， 则，，， 因，则，又， 则，则，所以为定值， 因球面上仅有一点满足且，则为球体与线段的交点， 则，则球体半径为， 注意到正四棱锥体积为：，其中为四棱锥表面积， 如图，取中点为，连接，，则， 则，则， 又正四棱锥体积为：，则， 即， 则，则球体表面积为：， 故答案为：． 二、跟踪练习 1.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为          ． 【答案】  【解析】解：如图，因为点在上，三棱锥的所有顶点都在球的表面上， 所以为球的直径，，由球的体积为，得，因为， 过点作于，连接，又与全等，则，，， 所以的面积， 所以三棱锥的体积为． 2.(2025·广西壮族自治区玉林市·模拟)在正四棱台中，，，则该正四棱台的外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在正四棱台中，取、的中点分别为、，连接， 因为，， 所以，， 过点作平面的垂线，垂足为，则在上，且，则， 设正四棱台外接球的球心为，半径为， 则点在直线上，又， 由题意易得点在线段延长线上， 所以， 即，解得， 所以， 所以外接球的表面积． 故选：． 3.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)在直三棱柱中，，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为，的中点， 并且， 设外接球的半径为，则，， 所以，解得， 侧面绕直线旋转后得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱， 其体积为． 故选：． 4.（多选题）(2025·浙江省杭州市·模拟)已知圆锥的侧面积为，母线，底面圆的半径为，点满足，则(    ) A. 当时，圆锥的体积为 B. 当时，从点绕圆锥一周到达点的最短长度为 C. 当时，顶点和两条母线构成的截面三角形的最大面积为 D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 【答案】ABD  【解析】解：由题意，圆锥的侧面积，所以． 对于，当时，，由勾股定理可得圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确； 对于，当时，，将圆锥侧面展开如图，则， 圆锥底面周长为，设，则，即， 在中，根据余弦定理可得，， 则，所以从点绕圆锥一周到达点的最短长度为，故B正确； 对于，当时，，设，则，所以， 设圆锥的两条母线构成的夹角为，则，其中， 所以当时，顶点和两条母线构成的截面三角形取得最大面积为，故C错误； 对于，当时，，由勾股定理可得圆锥的高，设圆锥的内切球球心为，半径为， 过点作于点，由三角形相似可得，即，得， 设棱长为的正四面体其外接球半径为，则正四面体的高为，则有，整理可得． 因为正四面体的棱长为，则，所以正四面体在圆锥内可以任意转动，故D正确． 故选：． 5.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知正方体的棱长为，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】解：由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径， ，平面，平面， 平面，同理可得平面， 平面，，平面平面， 平面，平面， 故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 令，则，故， 点到平面的距离为， 圆的半径为， 由得，， ， 的最小值为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三 立体几何 微专题1 球的切接问题 一、考点透析 考点1 球的面积和体积 1.(2025·辽宁省朝阳市·模拟)某艺术吊灯如图所示，图是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上底座厚度忽略不计，若该艺术吊灯总高度为，则球的体积为(    ) A. B. C. D. 考点2 外接球 1.(2025·湖南省·单元测试)如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积          ． 2.(2025·河南省开封市·模拟)已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，，则球的表面积为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·山东省济宁市·模拟)一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为(    ) A. B. C. D. 4.(2025·河北省承德市·月考)在三棱锥中，，，为的中点，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为          ． 5.(2025·陕西省西安市·模拟)已知圆台的高为，上、下底面圆的半径分别为和，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为          ． 考点3 内切球 1.(2025·陕西省西安市·模拟)正四棱台上底面边长为，下底面边长为，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为(    ) A. B. C. D. 2.（多选题）(2025·湖北省武汉市·月考)如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，是线段上的动点含端点，则下列命题正确的是(    ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球 C. 直线与所成角的正切值的最小值是 D. 的最小值为 3.(2025·江苏省南京市·模拟)直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 考点4 解析法研究球的切接问题 1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)如图，在棱长为的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为          ． 2.(2025·湖南省·模拟)已知正四棱锥的底面边长为，该四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上有且仅有一点满足，则球的表面积为          ． 二、跟踪练习 1.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为          ． 2.(2025·广西壮族自治区玉林市·模拟)在正四棱台中，，，则该正四棱台的外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)在直三棱柱中，，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为(    ) A. B. C. D. 4.（多选题）(2025·浙江省杭州市·模拟)已知圆锥的侧面积为，母线，底面圆的半径为，点满足，则(    ) A. 当时，圆锥的体积为 B. 当时，从点绕圆锥一周到达点的最短长度为 C. 当时，顶点和两条母线构成的截面三角形的最大面积为 D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 5.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知正方体的棱长为，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为          ． 学科网（北京）股份有限公司 $