精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（7）

2024级高二第一学期数学周测（7） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 若的方差为3，则的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质进行求解. 【详解】的方差为3， 的方差为. 故选：D 2. 在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ） A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件的互斥、独立的概率关系判断即可． 【详解】由题意知，所以A、B不是互斥事件， ，所以与独立，所以与独立． 故选：B． 3. 如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】 连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 4. 已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆与双曲线的性质结合离心率关系计算关系即可. 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：A 5. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方关系由结合已知角的范围求出的值，再代入二倍角公式和和角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 因为，所以， 所以. 则. 故选：A. 6. 曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由曲线方程可知曲线为以为圆心，为半径的圆的的部分，又直线恒过，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时的取值，进而得到结果. 【详解】可化为 曲线表示以为圆心，为半径的圆的的部分 又直线恒过定点 可得图象如下图所示： 当直线为圆的切线时，可得，解得： 当直线过点时， 由图象可知，当与曲线有两个不同交点时， 故选 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（　　） 价格（千元） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20] 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数超过8 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过10 【答案】AB 【解析】 【分析】分别应用众数，平均数，中位数及百分位数定义分别计算各个选项即可判断. 【详解】对于A，估计名用户购买手机价格的众数为，故A正确； 对于B，平均数为，故B正确； 对于C，中位数为，故C错误； 对于D，名用户购买手机价格的84%分位数为，故D错误． 故选：AB． 8. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为____________． 【答案】. 【解析】 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得． 【详解】∵直线， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得， 由此可得直线系恒过点， P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA， ∴． 故答案为：. 10. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积运算将问题转化为关于范围的问题，数形结合即可求得结果. 【详解】连接，如图所示： ． 根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时， 当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时， 故，即的取值范围是． 故答案为：. 11. 将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何关系，转化为求正四面体的高，即可求解. 【详解】四个球的球心间的线段长度都是，所以球心构成正四面体，如图 点在平面的射影为底面三角形的中心，，， 所以上面一个球的球心到桌面的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知条件，用待定系数法列方程组解得，得到方程. (2) 求M关于直线的对称点为，过的圆的切线为所求直线. 【小问1详解】 依题意得：，由解得 ∴圆C的方程为 【小问2详解】 设M关于直线的对称点为， 由， 设过与圆C相切的直线为l， 当斜率不存在时，l：x=3，圆心到直线距离d=3-1=r符合条件； 当斜率存在时，设l： 即 圆心到直线的距离 ，解得， 则直线l的方程为： ，即： 所以反射光线所在直线为：或 . 13. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】（1） 在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ． 【小问3详解】 当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期数学周测（7） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 若的方差为3，则的方差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. 在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ） A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件 3. 如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 4. 已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（　　） 价格（千元） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20] 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数超过8 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过10 8. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为____________． 10. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______． 11. 将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为_______． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 13. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $