精品解析：江西省宜春市宜丰中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026（上）高二第三次月考数学试卷 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A B. C D. 3. 设向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 18 5. 已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知点到直线的距离为1，则的值可以是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 15 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 11. 棱长为2正方体中，点E为侧面内一点（包括边界），则以下说法正确的是（ ） A. 若点F为下底面内一点（包括边界），则的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 当点E在棱上，且时，平面E截该正方体的外接球所得截面的面积为 D. 若点E到直线的距离是它到直线距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 用0，1，2，3这4个数字，可组成________个没有重复数字三位数（用数字作答） 13. P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为_____. 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 四､解答题（77分） 15. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆方程； （2）求过点的圆的切线方程. 16. 如图，在长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 18. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，平面平面，且与都是正三角形. （1）求证：. （2）若，点在棱上，且点到平面的距离为. （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求直线的斜率； （3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）高二第三次月考数学试卷 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程的特征即可求解. 【详解】双曲线的焦点在x轴上，， 所以渐近线方程为. 故选：B 2. 经过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率满足，即， 又因为所求直线过点，所以方程为，即. 故选：C. 3. 设向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，列方程解之即得. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：D. 4. 空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间两点间距离公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，两点，， 则； 故选：． 【点睛】本题考查空间两点间距离的计算，注意两点间距离公式的计算公式，属于基础题 5. 已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△面积为. 故选：C 6. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B． . 8. 已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点轨迹，再求出点轨迹，利用圆与圆的位置关系结合两点间距离公式求出的取值范围． 【详解】直线，整理得，则直线恒过定点， 同理，整理得，则直线恒过定点， ，， 点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径， 点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点． 圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示， 连接，，线段是动弦，为中点， ， 点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为， 圆心距， 剔除点，则，即． 故选：D． 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知点到直线的距离为1，则的值可以是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 15 【答案】AD 【解析】 【分析】利用点线距离公式列方程求参数即可. 【详解】由点线距离公式有或. 故选：AD 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 11. 棱长为2的正方体中，点E为侧面内一点（包括边界），则以下说法正确的是（ ） A. 若点F为下底面内一点（包括边界），则的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 当点E在棱上，且时，平面E截该正方体的外接球所得截面的面积为 D. 若点E到直线的距离是它到直线距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分 【答案】BC 【解析】 【分析】当点在点，在点时，取得最大值，可判断A；求出的轨迹，即可判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求正方体的外接球球心到平面的距离，进而可判断C，设，求出轨迹方程，即可判断D. 【详解】对于A：当点在点，在点时，取得最大值， 最大值为，故A错误； 对于B：因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以在以为圆心，1为半径的四分之一圆上， 所以的最小值为，当且仅当点在线段与圆的交点时取得，故B正确： 对于C：如图建立空间直角坐标系，则， 因此，， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 易知正方体的外接球球心为，则， 因此到平面的距离为； 可知外接球半径为，所以截面圆半径， 所以所求截面的面积，可知C正确. 对于D：因为点为侧面内一点（包括边界），设， 则点到直线的距离为， 因为平面平面，所以， 所以点到直线距离为， 所以，所以， 所以点的轨迹是椭圆的一部分，故D错误. 故选：BC 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 用0，1，2，3这4个数字，可组成________个没有重复数字的三位数（用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】需要分步确定三位数的百位、十位和个位数字. 【详解】组成的数是三位数，故百位不能是， 百位有种选择； 百位选了一个数字后，十位还有种选择； 百位和十位各选了一个数字后，个位还有种选择； 一共可以组成没有重复数字的三位数有：（个） 故答案：. 13. P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 14. 椭圆光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，又点到直线的距离的倍，分析求解即可. 【详解】 如图，右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的倍， 则，即. 故答案为： 四､解答题（77分） 15. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点. （1）求圆的方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）联立直线得，圆的半径为，进而可得； （2）斜率不存在时，，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，进而可得. 【小问1详解】 由，得，即， 由题意圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意. 当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即， 由题意，得，即， 两边分别平方得，得， 故切线方程为，即， 综上过点的圆的切线方程为，. 16. 如图，在长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）由（1）得是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，代入计算即可. 【小问1详解】 如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【小问1详解】 根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 18. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，平面平面，且与都是正三角形. （1）求证：. （2）若，点在棱上，且点到平面的距离为. （i）求； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）2；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质、结合平行线的性质进行证明即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据空间向量点到面的距离公式、空间向量模的公式进行计算求解即可； （ii）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. 因为与都是正三角形，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 因为四边形菱形，，所以， 因为平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. （i）设，则. 设平面的法向量为， 则即 取，得， 所以点到平面的距离为，解得. 所以. （ii），由（i）知， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即取，得， 设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求直线的斜率； （3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及点在双曲线上列式计算求参得出双曲线方程； （2）根据题意求出点的坐标，再根据斜率公式即可得解； （3）当为偶数时，取连续3个反射点，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理可求出，再代入直线的方程，求出，同理求出的坐标，再根据斜率公式化简整理即可得出结论； 【小问1详解】 因为在双曲线上， 联立，解得， 则双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 因为，， 联立，解得或（舍去），则， 已知，则； 【小问3详解】 证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除得， 可得，故， 将代入直线的方程，得， 所以双曲线与直线的另一个交点为， 同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故， 即， 所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $