福建省厦门双十中学2023-2024学年高二上学期第一次（10月）月考数学试题

2024年厦门双十中学高二（上）第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】B 【分析】 根据空间向量的平行，列出比例式，求得，即得答案. 【详解】由题意，，且， 故， 故， 故选：B 2．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可. 【详解】 故选：A 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出当两直线平行时实数的值，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则，解得或， 因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助于空间向量解决空间中距离问题 【详解】空间内三点，，，， 因为，， 由，所以， 所以点A到直线的距离. 故选：A. 5．一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是 A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】由反射定律得点A（-1，1）关于x轴的对称点B（-1，-1）在反射光线上，当反射光线过圆心（2，3）时，最短距离为|BC|-R= 故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为4． 故选C． 考点：直线与圆的位置关系． 6．已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线：过定点，求出，再根据直线：与线段有公共点，利用数形结合法求解. 【详解】解：如图所示：    直线：过定点，， 因为直线：与线段有公共点， 所以， 故选：D 7．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解. 【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值. 故选：C 8．已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当与位于同一半圆时，可知当三点共线时取得最小值，当位于时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及在平面上的投影点，设，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得所处的范围；综合两种情况可得结果. 【详解】由圆的方程知：圆的半径为； 当与位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图如下图所示， （当且仅当三点共线时取等号）， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时， 作平面，垂足为，作轴，垂足为，连接，则三点共线，设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，， ，，， ； 为圆右半圆上的点，可设，， ， （其中，）， ，当，即时，， 则； 又，，即； 综上所述：两点间的距离的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间中两点间距离的取值范围的求解问题，解题关键是能够分别讨论两点位于同一半平面和不同两个半平面中两种情况；尤其当两点位于不同半平面中时，能够结合二面角平面角的定义和投影点，利用勾股定理表示出所求距离. 二、多选题 9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则l； D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 【答案】AD 【分析】A.由空间向量基本定理判断；知， B.由空间直线的位置判断； C.根据，由l或判断；D.利用空间向量基本定理判断. 【详解】A.由空间向量基本定理知，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则与一定共线，故正确； B.若非零向量，，满足，，则与不能确定，故错误； C.因为，所以，则l∥或，故错误； D.因为，，是空间的一组基底，对于空间任一向量， 所以向量，，也是空间一组基底，故正确. 故选：AD 10．设有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 【答案】ABD 【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断. 【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确； B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确； C选项，将代入得：，其中， 故经过点的圆有两个，故C错误； D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（    ）    A．圆台的侧面积为 B．直线与下底面所成的角的大小为 C．圆台的体积为 D．异面直线和所成的角的大小为 【答案】ABD 【分析】由圆台的侧面积公式以及体积公式即可判断AC，由线面角的定义即可判断B，由异面直线所成角的定义即可判断D. 【详解】由题意可得上底面半径为，下底面圆半径为，母线， 则圆台的侧面积为，故A正确； 做圆台的轴截面如图所示，做，    则直线与下底面所成的角为，且， 则，且， 则，所以，故B正确； 因为上底面圆的面积，圆台的高， 则圆台的体积为，故C错误；    取中点，连接，由为弧的中点，可得， 过点，作，连接， 则，且，且， 则四边形为平行四边形，所以， 则异面直线和所成的角即为与所成角，即为， 又，， 所以， 在中，，， 则为等腰直角三角形，则，故D正确； 故选：ABD. 12．在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 【答案】BC 【分析】利用换元法结合定义将折线距离转化，作出图象，利用图象平移可判定B，利用点到直线距离公式转化可判定A，利用图象结合两点距离可判定C，利用正方形面积公式可判定D. 【详解】若，由题意可知，令， 则，作出其图象如图． 易知，点的轨迹可由正方形右移1个单位长度， 再上移1个单位长度得到，故B正确； 对于A， ， 结合图象可得的最小值即为点到 直线（即点）的距离， 此时取得最小值3，故A错误； 对于C，的最大值即为点到点的距离中的最大值 ，故的最大值为15，故C正确； 若，则表示正方形及其内部区域，易知其面积为， 故D错误． 故选：BC． 三、填空题 13．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a-1）y+a2-1=0，若l1⊥l2，则a= ，若 l1∥l2，则l1与l2的距离为 ． 【答案】 ， ； 【详解】试题分析：由l1⊥l2得:,解得： ； 由l1∥l2得：解得： 于是：直线l1：x-2y+6=0，l2：x-2y=0， 所以，l1与l2的距离 考点：两直线的位置关系． 14．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为 . 故答案为： 15．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为 .    【答案】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到直线的方程和的重心，设分别是点关于直线和轴的对称点，设，求得，结合，求得的值，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 所以直线的方程为，且的重心， 设分别是点关于直线和轴的对称点， 设， 设，可得，解得，即， 又由，根据光的反射原理，可知四点共线， 所以，即，解得，即长为，所以长为. 故答案为：.      16．在四面体中，平面．若E，F是四面体外接球表面上的两点，且，则的最大值为 ． 【答案】28 【分析】先求得外接球的半径，然后利用向量运算，结合球的几何性质求得的最大值. 【详解】由，得． 因为平面，平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 所以是四面体外接球的直径，且． 设四面体外接球的球心为O，的中点为M， 则 ， 因为，所以， 故的最大值为． 故答案为： 四、解答题 17．已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程； 【答案】 (1) (2) 【详解】 （1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为． 则所求圆的标准方程为． （2）由（1）可知，圆心所在直线的方程 又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2）， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． 18．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线在轴上的截距，可得方程，联立方程，可得结果； （2）利用（1）的结论，采用分类讨论，设直线的方程可得答案. 【详解】（1）由直线的方程为，， 可得直线的斜率为2， 又在轴上的截距为，即过点， 所以直线方程：， 即， 联立方程，得： ，故交点为； （2）依据题意直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍， 且直线经过与的交点 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 故方程为：， 即 综上所述：的方程为或. 19．在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点. （1）若与相交于点P，求直线AP的方程； （2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线的方程； （2）根据题意，设，则，利用点在直线上，得，，再利用到角公式得，即可得到的直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，即两直线的交点， 所以，直线的斜率，故直线的方程为：. （2）设点B的坐标为，则点，又点在直线上， 即，解得，故， 所以， 直线的斜率，由到角公式得，， 即，解得， 所以BC所在直线方程为，化简得. 【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题. 20．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G. (1)求证：； (2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：因为E为AD中点， 所以． 又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC， 所以四边形BCDE为平行四边形．所以BECD． 又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD， 所以BE平面PCD． 因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG， 所以BEFG． . （2）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD， 所以PE⊥AE，且PE⊥BE． 因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°， 所以AE⊥BE． 以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz． 则． 设， 所以，． 因为PC与AB所成角为， 所以． 所以． 则，． 所以，，． 设平面BEF的法向量为， 则，即 令，则， 所以． 所以． 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为． 21．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理与得到，从而求出； （2）由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到，换元后，配方求出最值，得到取值范围. 【详解】（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）由（1）知， 又，由余弦定理得， 即， 所以， 由基本不等式可知， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的周长最大值为； （3）由（1）知， 则 ， 令， 因为，所以，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 22．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为 (1)证明：； (2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）解法一：取AB中点O，连接PO，CO.推导得到平面，平面PBC，根据体积即可得出答案；解法二：先证明平面PAB. 过M作交AP于点N，证明得到平面PBC，根据体积即可得出答案； （2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案. 【详解】（1）解法一： 如图1，取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以，，. 又因为是菱形，，所以，. 因为，所以，所以. 又因为平面，平面ABCD，， 所以平面. 因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC， 所以. 因为， 所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的， 所以. 解法二： 如图2，取AB中点O，连接PO，CO， 因为，， 所以，，， 又因为是菱形，， 所以，. 因为，所以，所以. 因为平面PAB，平面PAB，， 所以平面PAB. 所以，. 过M作交AP于点N，，所以. 又平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC，所以. 因为，， 所以， 所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以. （2）解法一： 由（1）知，，，. 如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，，，，. 因为，设，则， 因为，，，，故存在实数a，b，使得， 所以，解得， 所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，得到平面的一个法向量. 设平面与平面夹角是， 又因为是平面的一个法向量， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值是. 解法二： 由（1）知，，，， 如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，，，，. 设平面的法向量为，则，即. 取，得到平面的一个法向量. 因为，设，则， 因为，所以，所以 设平面的法向量为，则，即. 取，得到平面的一个法向量. 设平面与平面夹角是， 又因为是平面的一个法向量， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值是. 解法三： 在平面内，过C作交AD延长线于点E，交AB延长线于点F， 因为是菱形，所以. 如图4，在平面PAD内，作交EM的延长线于点，设交AP于点Q. 所以，四边形是平行四边形，，. 所以，所以， 所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点. 如图5，在平面PAB内，作，交AB于T， 因为平面，所以平面，所以， 因为，， 在平面内，作，交BC于点N，连接QN，过A作交BC于K， 在中，，，所以， 所以， 因为，，，且两直线在平面内，所以平面， 因为平面，所以. 所以是二面角的平面角. 在中，，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值是. 试卷第14页，共25页 试卷第15页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年厦门双十中学高二（上）第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知两个向量，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 2．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 5．一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是 A． B． C．4 D．5 6．已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 8．已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则l； D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 10．设有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 11．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则（    ）    A．圆台的侧面积为 B．直线与下底面所成的角的大小为 C．圆台的体积为 D．异面直线和所成的角的大小为 12．在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 三、填空题 13．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a-1）y+a2-1=0，若l1⊥l2，则a= ，若 l1∥l2，则l1与l2的距离为 ． 14．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 15．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为 .    16．在四面体中，平面．若E，F是四面体外接球表面上的两点，且，则的最大值为 ． 四、解答题 17．已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程； 18．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点. （1）若与相交于点P，求直线AP的方程； （2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程. 20．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G. (1)求证：； (2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值. 21．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)求角A； (2)若，求周长的最大值； (3)求的取值范围． 22．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为 (1)证明：； (2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值. 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $