精品解析：四川省泸州市合江县第一学区2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题

合江县第一学区2025年秋期九年级数学12月考试题 一、选择题（30分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 2. 下图中的是圆心角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上的太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件是解答的关键． 根据初中数学知识，三角形的内角和定理保证任意三角形的内角和均为，因此选项C是必然事件；其他选项均不是一定发生的事件． 【详解】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意； 选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意； 选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意； 选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意． 故选：C． 4. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时， 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 根据二次函数顶点式性质逐项分析即可． 【详解】解：∵关于二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 5. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单概率的计算公式即可得解. 【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是. 故选B. 考点：简单概率计算. 6. 某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 7. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 故选：A． 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式求得对称轴，与轴交点坐标为，即可得到所在坐标系的原点． 【详解】解：∵， ∴对称轴是，与轴交点坐标为， ∴点是二次函数所在坐标系的原点； 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，正方形与正方形关于点P位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正方形的性质，掌握两个位似图形不仅是相似图形而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）是解题的关键． 先根据正方形的性质得到，，，当A点与F点对应，B点与G点对应，C点和D点对应，O点与E点对应，如图1，过P点作轴于H点，根据位似的性质得到，再证明，得到，则可计算出，，所以，从而得到P点坐标；当A点与D点对应，B点与E点对应，C点和F点对应，O点与G点对应，如图2，再证明，得到，所以，然后求出得到P点坐标，即可得出答案． 【详解】解：正方形，正方形，点B、E、G的坐标分别为、、， ，，， 当A点与F点对应，B点与G点对应，C点和D点对应，O点与E点对应， 如图1，过P点作轴于H点， 正方形与正方形关于点P位似． ， ， ， ， ，即， ，， ， 点坐标为； 如图2，当A点与D点对应，B点与E点对应，C点和F点对应，O点与G点对应， 正方形与正方形关于点P位似，， ， ，即， ， 解得， 点坐标为 故选：D． 10. 新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题．由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， △， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选：B． 二、填空题（18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数顶点式 的顶点坐标为，直接应用即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 13. 将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 14. 如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 过点作于点，延长交于点，连接，先证出是等边三角形，则，根据等腰三角形的三线合一可得，则劣弧的度数为，优弧的度数为，再分两个临界位置：①当点在优弧上时，②当在劣弧翻折后的圆弧上时，利用圆周角定理求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图1，过点作于点，延长交于点，连接， ∵把沿弦翻折后恰好经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 如图2，当点在优弧上时，连接， 由圆周角定理得：； 如图3，当在劣弧翻折后的圆弧上时， 作点关于弦的对称点，连接，则点在劣弧上，， 由圆周角定理得：， ∴此时； 如图4，在内有任意点，连接，则有，证明如下： ， ∵， ∴， ∴当点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界）时，． 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由，可知抛物线的对称轴为直线，从而，则，又由题意可得，，，，将用表示出来，进而可以得解． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， ，． 二次函数的图象过点，，， ，，． ， ． ． ． ． 16. 如图，在菱形中，点在上，把沿翻折后得，交于点，交于点，且，，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识，并熟练掌握等腰直角三角形和含角的直角三角形的三边比例关系是解题的关键． 令与的交点为M，过点E作，先通过翻折和，求出，设的长度为x，通过等腰直角三角形和含角的直角三角形的三边比例关系进行转换，用含有x的式子将表示出来，即可求解． 【详解】解：如图，令与的交点为M，过点E作， 设的度数为，的长度为x， 四边形为菱形，为对角线， ， ， ， 根据翻折可知， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 如图，的顶点坐标分别为， （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到． （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，点即为所求，由图可知：点P坐标为； 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 19. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】 证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】略 20. 已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图像的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）函数图像与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为或； （3） 函数图像如图所示：   （4） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据二次函数的性质，即可求解； （2）令和，解方程求解即可； （3）列表，描点，连线即可； （4）根据函数图像，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴该函数图像的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：将代入函数，则， ∴函数图像与y轴的交点坐标为； 令， 解得， ∴函数图像与x轴的交点坐标为或； 【小问3详解】 解：列表如下： x …… …… y …… …… 描点，连线作出图形的图像略； 【小问4详解】 解：当时，y随x的增大而减小． 21. 如图，四边形是的内接四边形，． （1）求证：． （2）连结并延长交于点，点为的中点，若，， ①求的长． ②求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 即的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半， ∵的度数与的度数之和为， ∴， ∴； （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据弦相等得出弧相等，再根据圆周角和所对弧的度数关系即可求解； （2）①连接，根据三线合一得出，根据比值和锐角三角函数求出相关角的度数，然后利用锐角三角函数求出半径的长度，最后利用胡长公式进行求解即可； ②结合①的结论，得出为等边三角形，根据半径长度求出，利用勾股定理求出，表示出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图所示，连接， ∵点为的中点，， ∴,， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； ②由①得， ∴为等边三角形， ∵，且， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由①得， ∴由勾股定理得， ， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角与弧和弦的关系，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数比，弧长公式，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 22. 已知抛物线（为常数）经过点，过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点为平面直角坐标系的原点． （1）求的值． （2）连结，线段交抛物线于点， ①若点为线段的中点，求的值． ②若点，满足，请直接写出的取值范围：_________． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①由（1）知抛物线的解析式为，根据题意求出，，再根据点为线段与抛物线的交点，建立关于的方程求解即可；②过点作轴的垂线，交过点与轴垂直的直线于点，易证，得到，同理①得，求出直线的解析式为，联立，求出，进而得到，分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①由（1）知抛物线的解析式为， ∵轴，， ∴点的横坐标为，则， ∴， ∵点为线段的中点，如图， ∴，即， ∵点为线段与抛物线的交点， ∴，即， 解得； ②过点作轴的垂线，交过点与轴垂直的直线于点， ∵轴，即轴， ∴， ∴， ∴， 同理①得， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，则， 整理得， ∵线段与抛物线交于点和点， ∴， ∴， 当时，如图，则，， ∴， ∴，即， 解得， 解得或， ∵， ∴； 当时，如图，则，， ∴，即 ∴，即， 解得， 解得或， ∵， ∴； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式的应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． 23. 如图1，四边形内接于，，． （1）求证：四边形为矩形． （2）如图2，点为的中点，连结，，分别交于点，，且． ①求证：点，是的三等分点． ②如图3，取的中点，作射线，将绕点旋转，得到，的对应边，交射线于点，若的半径为，直接写出的面积的最小值． 【答案】（1） 解：， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形内接于， ， ， 四边形为矩形． （2） ①证明：如图，连接， 由（1）可知四边形为矩形， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 同理， ，即点，是的三等分点． ② 【解析】 【分析】（1）根据等弧对等弦，证得，结合题目条件证得四边形是平行四边形，再根据圆的内接四边形对角互补，证直角，即可求证矩形． （2）①连接，先证是等边三角形，再通过弧之间的转换证得，再通过圆周角相等得到，同理，即可求证；②过点E作，，过点B作，连接，先通过半径求出和矩形中各边的长度，转化求出等线段的长度，通过勾股定理得到当最短时，最短，也最短，的面积最小，再结合旋转得到当最短时，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图，过点E作，，过点B作，连接， 由（2）可知是等边三角形，且内接于，而的半径为， ， ， 四边形为矩形，， 四边形为矩形， ，， 又， ， ， 由勾股定理，可知， ， ， ， ，， 根据勾股定理，可知当最短时，最短，也最短，的面积最小 又是由上的点旋转得到， 当最短时，， ， ， 是的中点，， ， 此时面积为． 【点睛】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点并适当添加辅助线帮助分析出旋转过程中线段长度变化情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县第一学区2025年秋期九年级数学12月考试题 一、选择题（30分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图中的是圆心角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上的太阳从西方升起 4. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时， 随的增大而减小 5. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，正方形与正方形关于点P位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 13. 将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 14. 如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是_______． 15. 已知二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为_________． 16. 如图，在菱形中，点在上，把沿翻折后得，交于点，交于点，且，，则的值为_________． 三、解答题（72分） 17. 如图，的顶点坐标分别为， （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到． （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 18. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 19. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 20. 已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图像的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 21. 如图，四边形是的内接四边形，． （1）求证：． （2）连结并延长交于点，点为的中点，若，， ①求的长． ②求的长． 22. 已知抛物线（为常数）经过点，过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点为平面直角坐标系的原点． （1）求的值． （2）连结，线段交抛物线于点， ①若点为线段的中点，求的值． ②若点，满足，请直接写出的取值范围：_________． 23. 如图1，四边形内接于，，． （1）求证：四边形为矩形． （2）如图2，点为的中点，连结，，分别交于点，，且． ①求证：点，是的三等分点． ②如图3，取的中点，作射线，将绕点旋转，得到，的对应边，交射线于点，若的半径为，直接写出的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $