福建省厦门工学院附属学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023年10月厦门工学院附校 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 2．已知向量，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 3．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是　　 A． B． C． D． 4．已知向量，3，，，2，，则等于　　 A． B．3 C． D．9 5．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是　　 A． B． C． D． 6．直线，，若，则实数的值为　　 A．0 B．3 C．0或 D．0或3 7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量为　　 A．，1， B．，1， C．，1， D．，1， 8．已知，2，，，1，，，1，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标为　　． A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知，1，，，3，，，2，，则　　 A．点关于平面对称的点是，， B．点关于轴对称的点是，， C． D． 10.过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程可能是（ ） A．x+y+1=0 B．x+y-3=0 C．2x-y=0 D．x-y+1=0 11. 已知平面的一个法向量为，，，平面的一个法向量为，0， ，直线的方向向量为，0，，直线的方向向量为，1，，则　　 A． B． C．与为相交直线或异面直线 D．在上的投影向量的坐标为 12. 在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题为真命题的是（）： A．三棱锥的体积不变； B．直线与平面所成的角的大小不变； C．二面角的大小不变； D．是平面内到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知，，三点，则为 　　三角形． 14. 已知A（0，3），B（1，2），C（3，m）三点共线，则实数m的值为 ． 15.已知直线的一个方向向量为，若点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点，则点到直线的距离为 　　． 16．已知直线过点和，，则直线斜率的取值范围是　　，倾斜角的取值范围是　　． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值． 18．已知三角形的三个顶点，，． （1）求边所在直线方程； （2）求边上中线所在直线方程． 19．如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，．． （1）用，．表示，并求的长； （2）求与的夹角． 20．如图，正方体的棱长为2，为的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 21．设直线的方程为． （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与轴、轴分别交于点，，且，求为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 22．如图，在以为直径的圆上，垂直圆所在的平面，，，为的中点，是上一点，且平面平面． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年10月厦门工学院附校 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【解答】解：易知，两点间的斜率， 设直线倾斜角为，，， 由斜率与倾斜角之间的关系可得， 故该直线的倾斜角为． 故选：． 2．已知向量，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ，， 又， 则，，，0，， ． 故选：． 3．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ． 又， ． 故选：． 4．已知向量，3，，，2，，则等于　　 A． B．3 C． D．9 【解答】解：向量，3，，，2，， ，5，， ． 故选：． 5．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图知：，故斜率最小的直线是． 故选：． 6．直线，，若，则实数的值为　　 A．0 B．3 C．0或 D．0或3 【解答】解：因为，，， 所以，即， 解得或． 故选：． 7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面的一个法向量为　　 A．，1， B．，1， C．，1， D．，1， 【解答】解：根据题意，设，则，1，，，1，，，0，， 则，0，，，1，， 设平面的一个法向量为，，， 则有，令，可得， 则，1，， 故选：． 8. 已知点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】设，故，，计算得到答案.设，即，故， ， 当时，向量数量积有最小值，此时. 故选：D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知，1，，，3，，，2，，则　　 A．点关于平面对称的点是，， B．点关于轴对称的点是，， C． D． 【解答】解：点，1，关于平面对称的点是，，，故正确． 点，3，关于轴对称的点是，，，故不正确． ，，， ，，故、均正确． 故选：． 10.过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程可能是（ ） A．x+y+1=0 B．x+y-3=0 C．2x-y=0 D．x-y+1=0 【解答】解：过点A（1，2）的直线在两坐标轴上截距之和为0的直线， 当它经过原点时，斜率为2，方程为y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0； 当它不经过原点时，设它的方程为x﹣y＝a，把点A坐标代入可得1﹣2＝a，故a＝﹣1， 故要求的直线的方程x﹣y＝﹣1，即x﹣y+1＝0． 综上可得，所求直线方程为2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0． 故选：CD． 11.已知平面的一个法向量为，，，平面的一个法向量为，0， ，直线的方向向量为，0，，直线的方向向量为，1，，则　　 A． B． C．与为相交直线或异面直线 D．在上的投影向量的坐标为 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，直线的方向向量为，0，，平面的一个法向量为，，， 由于，则直线或，错误； 对于，平面的一个法向量为，，，平面的一个法向量为，0， ， 由于，则，正确； 对于，直线的方向向量为，0，，直线的方向向量为，1，， 与不平行，则与不平行，两直线为相交直线或异面直线，正确； 对于，在上的投影向量为，，，，错误． 故选：． 12．在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题： ①三棱锥的体积不变； ②直线与平面所成的角的大小不变； ③二面角的大小不变； ④是平面内到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线． 其中正确命题的编号是　　 A．①③④ B．①② C．①③ D．①④ 【解答】解：对于A，三棱锥的体积与点位置无关，三棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系， 设正方体棱长为1，则，1，为平面的法向量， 而，1，，，1，， ，， ，， ，与平面所成的角不相等， 即当在直线上运动时，与平面所成的角会发生变化，故B错误； 对于C，当位置变化时，平面的位置不发生变化， 故二面角的大小不变，故C正确； 对于D，空间中到点和的距离相等的点的轨迹是线段的中垂面， 而中垂面与平面的交线为直线，故D正确． 故选：CD． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知，，三点，则为 　直角　三角形．（备选答案“直角”，“钝角”，“锐角” 【解答】解：已知，，三点， 所以，，， 由余弦定理可得， 所以：． 故答案为：直角． 14. 已知A（0，3），B（1，2），C（3，m）三点共线，则实数m的值为 0 ． 【解答】解：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，解得m＝0． 15．已知直线的一个方向向量为，若点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点，则点到直线的距离为 　　． 【解答】解：直线的一个方向向量为， 点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点， 由题意可得的一个单位方向向量为： ， ，故点到直线的距离． 故答案为：． 16．已知直线过点和，，则直线斜率的取值范围是　，　，倾斜角的取值范围是　　． 【解答】解：，，， ， ． 直线的倾斜角的范围为，． 设直线的倾斜角为α，（0≤α≤π） 则tanα≤1，，． 故答案为：，，，． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值． 【解答】解：（1）因为，所以， 解得，， 则，．又， 所以，即， 解得，于是，． （2）由（1）得，，设与的夹角为， 因为．所以与夹角的余弦值为． 18．已知三角形的三个顶点，，． （1）求边所在直线方程； （2）求边上中线所在直线方程． 【解答】解：（1）根据题意，，， 则直线的斜率， 则直线的方程为，即， （2）根据题意，，，则中点的坐标为， 又由， 故边上中线的斜率， 则边上中线的方程为， 变形可得． 19．如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，．． （1）用，．表示，并求的长； （2）求与的夹角． 【解答】解：（1），，，分别是正四面体中各棱的中点，，．． 则， ， 故， 所以， 故． （2）， 则， 同理，， 故． 故与的夹角为． 20．如图，正方体的棱长为2，为的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【解答】证明：（1）正方体中，底面，底面， ， 四边形是正方形，， ，平面． 解：（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为2，为的中点， ，2，，，0，，，1，，，2，， ，，，，，，，0，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，2，， 点到平面的距离：． 21．设直线的方程为． （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与轴、轴分别交于点，，且，求为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【解答】解：（1）直线的方程可化为． 因为不过第二象限，所以， 解得，从而的取值范围为，． （2）直线的方程可化为，所以，， 从而，当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最小值为2，此时直线的方程为． 22．如图，在以为直径的圆上，垂直圆所在的平面，，，为的中点，是上一点，且平面平面． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【分析】（1）由面面垂直的性质得线面垂直，再由线面垂直的性质即可证明线线垂直； （2）利用空间线面、线线关系即可建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面得法向量，利用平面与平面夹角余弦值公式求解即可． 【解答】解：（1）证明：因为，且为的中点，所以． 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以； （2）因为，所以，则，，两两垂直， 以，，所在直线分别为，，轴，建系如图，则根据题意可得： ，0，，，1，，，，，，0，，， ，，， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 则，取， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $