集合与函数知识清单-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了集合与函数核心内容，涵盖集合的元素特征、关系运算，函数的三要素、性质、基本初等函数及应用，搭建从概念定义到性质规律再到实践应用的递进式学习支架。 清单通过“基础概念+重要结论+应用方法”三级呈现知识体系，如集合部分标注子集个数公式（2ⁿ个子集），函数单调性用表格归纳“同增异减”规律，培养数学思维。设计“易混点对比”如奇数集三种表示，“步骤化提示”如二分法求零点四步流程，助力学生高效掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

集合与函数知识清单 一、集合相关知识点: 1.集合中元素的三个特征: ①确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. ②互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的. ③无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换. 2.元素与集合的关系 有两种:①属于(用符号“∈ ”表示);②不属于(用符号“∈ ”表示) 3.集合常用的表示方法: 有三种:列举法、Venn 图、描述法. 4.常见的数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N N* 或N+ Z Q R 5.集合与集合的关系: ①子集 :对任意 x ∈ A满足x ∈ B ,则A 二 B ②真子集:若 A 二 B 且 A ≠ B ,则 AB ③集合相等:若 A 二 B 且 B 二 A ,则 A = B ④子集传递性:若 A 二 B , B 二 C ,则 A 二 C 6. 集合的基本运算 并集: A B ,{x | x ∈ A或x ∈ B} 交集: A B , {x | x ∈ A且x ∈ B} 补集:CU A ,{x | x ∈U且x ∈ A} 重要提醒 (1)若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n-1 (2)A⊆B A∩B=A A∪B=B A ( UB ) = ⑦ B ( UA) = U (3)奇数集:{x x = 2n +1, n ∈ Z} = {x x = 2n −1, n ∈ Z} = {x x = 4n 1.n ∈ Z} (4)德 摩根定律: ①并集的补集等于补集的交集,即 U (A B)=( UA) ( UB) ②交集的补集等于补集的并集,即 U (A B)=( UA) ( UB) 二、函数相关知识点: 1. 函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 2.函数的表示方法有三种:解析法、列表法、图象法. 3. 函数相等的条件:定义域相同、值域相同、解析式相同(化简后) 4.求函数定义域的主要依据 ①分式函数中分母不等于 0 ②偶次根式被开方式大于或等于 0 ③函数 y = x0 中 {x | x ≠ 0} ④一次函数、二次函数的定义域均为 R 5.求函数值域常用方法: ①直接法: 如:(1)一次函数 y=kx+b(k 为常数且 k≠0)的值域为 R. (2)反比例函数 为常数且 k≠0)的值域为(−∞, 0)∪(0,+∞) ②配方法:二次函数或可转化为二次函数的函数 ③换元法:无理函数 6.单调性: 设函数f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x2 ①当 x1<x2 时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数 ②当 x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数 7.复合函数的单调性 复合函数 y = f (g(x)) 在区间 (a, b) 具有单调性的规律: 同增异减 y = f (u) 增 减 u = g(x) 增 减 增 减 y = f (g(x)) 增 减 减 增 8. 函数单调性的常用结论 (1)若f (x ), g (x )均为区间A 上的增(减)函数,则f (x) + g (x)也是区间A 上的增(减)函数; (2)若k > 0 ,则 kf (x )与f (x ) 的单调性相同;若 k < 0 ,则 kf (x )与f (x )单调性相反; (3)函数y = f (x)(f (x ) > 0) 在公共定义域内与y = −f (x ) , 的单调性相反; (4)函数y = f (x)(f (x ) ≥ 0) 在公共定义域内与 的单调性相同; 9.一些重要函数的单调性 的单调性:在 (−∞, −1]和[1, +∞ )上单调递增,在(−1, 0) 和(0,1)上单调递减; 的单调性:在 和 上单调递增, ( b ) ( b a ) ( 在 ( − ) ( , 0) 和 (0, )) 上单调递减 a 10.函数的最值 前提 设函数y = f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足 条件 (1)对于任意的x ∈ I ,都 f (x) ≤ M ; (2)存在x0 ∈ I ,使得 f (x0 ) = M (3)对于任意的x ∈ I ,都 f (x) ≥ M ; (4)存在x0 ∈ I ,使得 f (x0 ) = M 结论 M 为最大值 M 为最小值 ①函数的值域一定存在,而函数的最值不一定存在; ②若函数的最值存在,则一定是值域中的元素; 若函数的值域是开区间,则函数无最值, 若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值. 11.函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个 x, 都有 f (−x ) = f (x ) ,那么函数 f (x ) 是偶函数 图象关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个 x, 都有 f (−x ) = −f (x ) ,那么函数 f (x ) 是奇函数 图象关于原点对称 函数奇偶性的几个重要结论 l 若奇函数的定义域包括0 ,则 f (0) = 0 l 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单 调性相反. l 若函数f (x )是偶函数,则 f (−x) = f (x) = f ( x ) l 若函数y = f (x ) 的定义域关于原点对称,则f (x) + f (−x )为偶函数,f (x) − f (−x) 为奇函数,f (x ). f (−x )为偶函数 12.复合函数的奇偶性 ①奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数=偶函数; ②奇函数 奇函数=偶函数,奇函数 偶函数=奇函数,偶函数 偶函数=偶函数 基本初等函数 指数函数 概念:函数y =ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数,x 是自变量,函数的定义域是 R ,a 是底数 性质:①定义域 R;②值域(0,+∞);③图象过定点(0 ,1) ;④单调性:0<a<1 ,在(-∞ , +∞)上是减函数;a>1 ,在(-∞,+∞)上是增函数. 对数运算法则与性质: 对数的运算法则;如果 a>0 且a≠1 ,M>0,N>0,那么 ① loga (MN) = loga M + loga N ; ② loga = loga M − loga N ; ③ loga Mn = nloga M (n∈R); 换底公式 均大于零且不等于 1). 对数的性质:①alogaN=N;②logaab =b(a>0,且 a≠1). 对数函数 概念: y =logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,定义域是(0,+∞). 性质:①定义域(0,+∞);②值域 R;③图象过定点(1 ,0) ; ④单调性:0<a<1 ,在(0,+∞)上是减函数;a>1 ,在在(0,+∞)上是增函数 幂函数 概念:形如y=x 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, 为常数 常见的 5 种幂函数的图象 性质:①在(0,+∞)上都有定义;②单调性: >0 时,幂函数的图象都过点(1 ,1) 和(0 ,0),且在(0,+∞)上单调递增;当 <0 时,幂函数的图象都过点(1 ,1), 且在(0,+∞)上单调递减. 函数的应用 1.零点存在性定理 如果函数y = f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a) . f (b) < 0 ,那 么函数y = f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在c ∈ (a, b) ,使得f (c) = 0 ,这个 c也就 是方程f (x) = 0的根. 2.二分法 二分法求零点:对于在区间[a ,b]上连续不断,且满足f (a) f (b) < 0 的函数y = f (x) , 通过不断地把函数f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ,用二分法求函数f (x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a ,b],验证f (a) f (b) < 0 ,给定精度 ; (2)求区间 (a ,b) 的中点x1 ; (3)计算f (x1 ) :①若f (x1 ) =0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若f (a) f (x1 ) < 0 ,则令b = x1 (此时零点x0 ∈ (a, x1 ) ); ③若f (x1 ) f (b)< 0 ,则令a = x1 (此时零点x0 ∈ (x1, b) ); (4)判断是否达到精度 ; 即若| a − b |< ,则得到零点零点值 a (或b );否则重复步骤 2~4 . 注意:二分法的条件f (a) f (b) . < 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点. 学科网(北京)股份有限公司 $