专题03 函数的概念与性质（期末复习知识清单）高一数学上学期人教A版

该高中数学知识清单聚焦“函数的概念与性质”专题，涵盖函数概念、区间表示、单调性、奇偶性、幂函数及应用等核心内容，以8个知识清单为框架，搭建从基础定义到综合应用的系统化学习支架。 清单通过星级标注（如奇偶性★★★★★）、二级结论提炼及“归纳总结”模块构建知识体系，培养学生的数学思维与表达能力。设计16类典型题型与4个易错点分析，如“分段函数单调性忽略分界点”的错解剖析，助力学生精准突破重难点，教师可据此优化教学，提升课堂效率。

专题03函数的概念与性质（8知识&16题型&4易错&2方法清单） 【清单01】函数的有关概念 一、函数的概念★★ 函数的定义 一般地,设A,B是  ,如果对于集合A中的  一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称  为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法   ,x∈A 定义域 x叫做自变量,x的 叫做函数的定义域 值域 函数值的集合 叫做函数的值域 要点总结：由函数的概念可知,对于函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许： (1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素. 二、同一个函数★★★ 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的 相同,并且 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 【清单02】区间的概念★★ 设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定: 集合 名称 符号 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间 {x|a≤x<b} 半开半闭区间 {x|a<x≤b} 半开半闭区间 【清单03】函数的表示方法★★★★ 一、函数的三种表示方法 表示法 定义 优点 缺点 解析法 用表示两个变量之间的对应关系 简单、全面,易求函数值 不够形象、直观,而且不是所有函数都有解析式 列表法 列出来表示两个变量之间的对应关系 无需计算,查表即可得函数值 表示数目有限 图象法 用表示两个变量之间的对应关系 形象、直观,便于研究函数的性质 只能近似求函数值,不够精确 二、分段函数 已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的 ,那么我们称这样的函数为分段函数.注意:分段函数表示的是一个函数,各段自变量的取值范围的交集是空集. 【清单04】函数的单调性★★★★★ 增函数 减函数 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I 如果 ,当x1<x2时,都有           结论 那么就称函数f(x)在区间D上     那么就称函数f(x)在区间D上      图示     图象特征 函数f(x)在区间D上的图象是的 函数f(x)在区间D上的图象是的 二级结论：对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上单调递增；⇔f(x)在D单调递减；对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔在D上单调递增. 【清单05】函数的最大值与最小值★★★★ 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:∀x∈I,都有 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值;如果存在实数M满足:∀x∈I,都有 ,那么我们称M是函数y=f(x)的最小值.当一个函数f(x)的图象有最低(高)点时,我们就说函数f(x)有最小(大)值. 【清单06】函数的奇偶性★★★★★ 1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 2.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称. 二级结论： 1.既是奇函数,也是偶函数. 2.若函数在处有意义,则. 3. 若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算. 【清单07】幂函数★★★★ 一、幂函数的概念 一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0,＋∞) 值域 R R 奇偶性 单调性 增 在[0,＋∞)上增, 在(－∞,0]上减 增 增 在(0,＋∞)上减, 在(－∞,0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0,＋∞)上都有定义,并且图象都过点 ． 2．当α>0时,幂函数的图象通过 ,并且在区间[0,＋∞)上是增函数．特别地,当α>1时,幂函数的图象 ；当0<α<1时,幂函数的图象 ． 3．当时 ,幂函数的图象在区间(0,＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限,作直线x＝a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列． 【清单08】函数的应用★★★★ 一、一次函数模型 形如 的函数为一次函数模型,其中k≠0. 二、二次函数模型 1．一般式： ． 2．顶点式： ． 3．两点式： ． 三、幂函数模型 1．解析式：y＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0)． 2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． 【题型一】求函数的定义域 【例1】（2025-2026广东深圳期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义,则,解得且,故函数的定义域为．故选C 【归纳总结】求函数定义域的常用依据：(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零；(3)若含有对数式,要保证底数在上,真数在上；(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义． 【变式1-1】(2025-2026福建三明12月联考)已知函数的定义域为,则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】(2025-2026广东汕头期中)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型二】同一个函数的判定 【例2】（2025-2026江西赣州十三校期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于A,的定义域为,而的定义域为,两者相异,故A错误；对于B,两个函数的定义域均为,且,两个函数为同一函数,故B正确；对于C,的定义域为,而的定义域为,故两者相异,故C错误；对于D,,两个函数对应法则相异,故D错误.故选B. 【归纳总结】在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两函数才是同一个函数．值域相等,只是前两个要素相等的必然结果． 【变式2-1】（2025-2026湖北武汉部分重点中学期中）下列四组函数中,表示相同函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【题型三】分段函数求值 【例3】（2025-2026广西柳州12月月考）已知函数,则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数,所以.故选C. 【归纳总结】求分段函数的函数值的方法：①确定要求值的自变量属于哪一段区间．②代入该段的解析式求值,当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值． 【变式3-1】（2025-2026湖南长沙市雅礼教育集团期中）已知函数,则（    ） A．4 B． C． D．1 【题型四】求函数解析式 【例4】（2025-2026甘肃省武威期中）（1）已知函数是一次函数,若,求的解析式． （2）已知函数对任意的都有,求的解析式． （3）已知函数对任意实数,满足,求的解析式． 【解析】（1）设, 则, 所以,解得或, 即或； （2）令,则,可得； （3）因为, 所以, 联立方程解得. 【归纳总结】求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)＝t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x)． (2)待定系数法：若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式． (3)若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． (4)已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式,可在待求解析式的区间上任取x,然后找出一个含x的式子,使该式子的范围在已知解析式的区间上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质确定所求解析式. 【变式4-1】（2025-2026浙江五湖联盟期中）已知,则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【变式4-2】（2025-2026辽宁大连期中）若,且,则 ． 【题型五】函数的作图及应用 【例5】（2025-2026山东枣庄期中）已知函数图象如图所示,另一个函数的图象与的图象关于轴对称. (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)求的解析式； (3)分别求、时的取值范围. 【解析】（1）利用轴对称作出函数的图象,如图： （2）在函数的图象上任取点, 因为函数的图象与的图象关于轴对称, 点关于轴对称点必在函数的图象上, 则, 所以的解析式为. （3）由,得,解得； 由及（2）,得,解得, 所以当时,的取值范围是；当时,的取值范围是. 【归纳总结】作函数y＝f(x)图象的方法：(1)若y＝f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一,则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 【变式5-1】（2025-2026陕西宝鸡期中）已知函数    (1)求 (2)若,求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【题型六】函数单调性的判定与证明 【例6】（2025-2026陕西汉中期中）已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性,并证明； (2)求函数在区间上的值域． 【解析】（1）易知, 设,且, 则, 又由,则,,, 所以,即在区间上单调递增； （2）由上可知函数在区间上单调递增,则, 又, 故的值域为. 【归纳总结】利用定义判断或证明函数单调性的步骤 【变式6-1】（2025-2026贵州六盘水期中）设函数,且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【题型七】求函数的单调区间 【例7】（2025-2026广东深圳期中）函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解析】由于函数,当时,,由于图象的对称轴为,则函数在上单调递增,当时,, 由于图象的对称轴为,则函数在上单调递增,故函数的单调增区间是和.故选A 【归纳总结】(1)函数单调区间的两种求法：①图象法．即先画出图象,根据图象求单调区间．②定义法．即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有． 【变式7-1】（2025-2026山东枣庄期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【题型八】由函数的单调性求参数范围 【例8】（2025-2026江苏盐城期中）函数,若是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得,解得.故选B 【归纳总结】函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 【变式8-1】（2025-2026广东广州期中）若函数在上单调递增,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025-2026宁夏灵武期中）20．已知是上的单调增函数,则实数的取值范围是 . 【题型九】求函数的最值与值域 【例9】（2025-2026江苏常州期中）,,则的最小值为（   ） A．2.5 B．5 C．3 D．4.5 【答案】A 【解析】因为,所以在上单调递减,在上单调递增.所以的最小值为.故选A. 【归纳总结】(1)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 【变式9-1】（2025-2026重庆市南开中学期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025-2026广东珠海段考）函数,其中,记在区间上的最小值为,则函数的最大值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型十】函数最值与值域的应用 【例10】（2025-2026浙江省杭州学军中学12月月考）若函数的定义域为,值域为,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由,则有,故,且有在定义域内单调递增, 则,,即,, 令,,则,,则,, 故是关于的方程的两不同非负根,则有,解得. 【变式10-1】（2025-2026甘肃金昌月考）已知点在函数的图象上,且有最小值,则实数的取值范围为. 【题型十一】函数奇偶性的判断 【例11】（2025-2026海南儋州检测）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性,并加以证明. 【解析】（1）由题意,解得, 所以的定义域为； （2）为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称, 又,所以为偶函数. 【变式11-1】（2025-2026海南师大附中期中）下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【题型十二】利用函数的奇偶性求参数值 【例12】（2025-2026陕西西安期中）若为奇函数,则（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【解析】由题意得,则,因为为奇函数,则其定义域关于原点对称,则, 则,其定义域为,则,则,则,定义域为,关于原点对称, ,则为奇函数,满足题意. 则.故选A. 【归纳总结】利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解． 【变式12-1】（2025-2026内蒙古呼和浩特期中）函数是定义在上的奇函数,则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式12-2】（2025-2026广东省领航高中联盟12月检测）已知函数是奇函数,则（    ） A． B． C． D． 【题型十三】利用函数的奇偶性求解析式 【例13】（2025-2026陕西榆林月考）已知是定义在上的奇函数,当时,,那么时,（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的奇函数,所以,当时,,所以,所以,故选C. 【归纳总结】利用函数的奇偶性求解析式：求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为－x,此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式． 【变式13-1】（2025-2026吉林松原12月月考）函数是定义域为R的奇函数,当时,,则当时,函数的解析式 ． 【题型十四】函数不等式的解法 【例14】（2025-2026浙江省五湖联盟期中）奇函数是定义在的减函数,若,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数是奇函数且是定义在的单调递减函数, 所以,所以,解得, 所以实数的取值范围是. 【归纳总结】利用函数奇偶性与单调性解不等式,一般有两类 (1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解：①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 【变式14-1】（2025-2026北京市第五十七中期中）若偶函数在区间上单调递减且,则不等式的解集为 【题型十五】幂函数图象与性质的应用 【例15】（多选题）（2025-2026广东省领航高中联盟12月检测）已知函数是幂函数,则下列说法正确的有（    ） A．若在处有意义,则 B．对任意非零实数,有 C．若是增函数,则 D．若的定义域不为,点在函数的图象上,则 【答案】ABD 【解析】由幂函数的定义可知可得,或.对于A,由在处有意义,即存在,则,此时,,故A正确；对于B,由幂函数,可知,故B正确；对于C,由是增函数,可知,此时,,故C错误；对于D,若的定义域不为,此时,即,依题意可得,即,于是,故D正确.故选ABD. 【变式15-1】（2025-2026河北省张家口市NT20名校联合体期中）已知幂函数,则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 【题型十六】函数的实际应用 【例16】（2025-2026四川绵阳测评）某种植园种植某菌类的年固定成本为万元,每产出吨该菌类需另外投入成本万元,该菌类可以每吨万元的价格全部售完,设种植园种植该菌类年利润（利润销售额成本）为万元,当种植园产出该菌类2吨时,年利润为1万元. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少吨时,所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【解析】（1）由题可知,当时,总成本为,故有, 整理得,解得. 因此当时,； 当时,, 综上； （2）当时,,对称轴为,因此在上单调递增, 因此当时,在时取得最大值,； 当时,, ,当且仅当,即时,等号成立, 故, 即当时,在时取得最大值,. 综上,当年产量为吨时,所获年利润最大,最大年利润是万元. 【归纳总结】解实际应用题时要弄清题意,从实际出发,引入数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围．实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决,本题转化为二次函数求最值,利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决． 【变式16-1】（2025-2026湖北武汉期中）某乡镇依托生态农业政策,打造“树莓特色采摘小镇”,助力乡村旅游与产业融合.已知该小镇种植树莓的固定投入成本为50万元,有机肥料、棚架维护、病虫害防治等培育成本为每万千克树莓90万元,假设所有果实均能售罄.树莓每万千克的售价（单位：万元）与年产量（单位：万千克）满足关系：.记树莓的年利润为（单位：万元）. (1)求的函数关系式； (2)当年产量为多少万千克时,该树莓特色采摘小镇的利润最大？最大利润是多少？ 【题型一】不理解函数概念出错 【例1】函数y=f(x)的图象与直线的交点个数( ) A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【错解】选A,C,D. 【错因分析】忽略函数定义域或忽略函数不能是一对多. 【正解】若1不在函数f(x)的定义域内,y=f(x)的图象与直线没有交点,若1在函数f(x)的定义域内,y=f(x)的图象与直线有1个交点,故选B. 【易错提醒】函数是一个非空数集到另一个非空数集上的对应,且对于法则只能是一对一或多对一,不能是一对多. 【变式1-1】（2025-2026内蒙古呼和浩特期中）已知集合,集合,则下列图象能表示以为定义域,为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【题型二】研究分段函数单调性忽略分界点上函数值的大小出错 【例2】函数在(－∞,＋∞)上单调,则a的取值范围是________． 【错解】(－∞,1)∪(1,＋∞) 【错因分析】忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小． 【正解】若该函数在R上单调递减,则有,解之得a≤－；若函数在R上单调递增,则有,解得1<a≤,故a的取值范围是(－∞,－]∪(1,]． 【易错提醒】分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性,还要考虑分界点上函数值大小． 【变式2-1】（2025-2026辽宁省点石联考期中）已知函数,若对于任意的,且,都有成立,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型三】混淆“定义域为R”与“值域为R”出错 【例3】若函数的值域为R,则a的取值范围是 . 【错解】因为函数的值域为R,所以的判别式,解得所以a的取值范围是. 【错因分析】把的值域为R,误认为的定义域为R, 【正解】因为的值域为R,所以的判别式,解得所以a的取值范围是. 【易错提醒】的值域为R,则能取到所有正数,的定义域为R,则恒为正数. 【变式3-1】（2025-2026北京朝阳期中）函数的定义域为,则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型四】求奇函数的解析式忽略若函数有意义,则 【例4】已知定义域为R的奇函数满足,当时,求解 析式． 【错解】当时,因为是奇函数,所以 ,所以 , 【错因分析】忽略时． 【正解】当时,因为是奇函数,所以 ,又时,所以. 【易错提醒】若是奇函数,且在时有意义,则． 【变式4-1】（2025-2026江西省多校联考12月检测）已知是定义域为R的奇函数,且当时,,则（   ） A．3 B．1 C． D． 【题型一】二次函数在闭区间上的最值 1.含参数的二次函数最大(小)值问题的解法:解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a+k的形式,再由a的符号确定抛物线的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,再根据x的 定义区间结合大致图象确定最大或最小值. 2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;(3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 3.二次函数f (x)＝＋bx＋c(a>0)在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－∈(m,n),则f (x)max＝max{f(m),f(n)},f (x)min＝f . (2)若－∉(m,n),则f (x)max＝max{f(m),f(n)},f (x)min＝min{f(m),f(n)}． 【例1】（2025-2026广西来宾12月月考）已知函数． (1)若在区间上单调,求实数的取值范围； (2)若在区间上的最大值为4,求实数的值； (3)求在区间上的最小值． 【解析】（1）由题可知,函数的图像开口向上, 对称轴为直线,若使得函数在上单调递增 则满足,解得, 若使得函数在上单调递减,则满足,解得, 综上可得实数的取值范围是. （2）因为函数是开口向上的抛物线,对称轴为直线 则自变量离对称轴越远,函数值越大, 因,则区间中点对应数值为 ①当,即时, 解得,符合题意, ②当,即时, 解得,符合题意, 综上可得,实数的值为或． （3）①当即时,函数在区间单调递增, 所以函数的最小值为； ②当,即时, 函数在区间单调递减,在区间上单调递增, 所以函数的最小值为； ③当即时,函数在区间单调递减, 所以函数的最小值为, 综上可得,函数的最小值为 【变式1-1】（2025-2026湖北十堰11月月考）已知定义在上的偶函数和奇函数,若,,,． (1)求,的值； (2)若函数． （i）当时,求函数的最大值； （ii）是否存在,,使得关于的不等式的解集为?若存在,求出,的值；若不存在,请说明理由． 【题型二】抽象函数的单调性与奇偶性 判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小,抽象函数的奇偶性的判断一般通过赋值确定与的关系,有些抽象函数需要先通过赋值确定的值 【例2】（2025-2026陕西西安期中）已知函数的定义域为,对任意实数,,都有.当0时,. (1)设函数,判断的奇偶性,并说明理由. (2)证明：在上单调递增. (3)判断命题“对任意正有理数,恒成立”的真假,并说明理由. 【解析】（1）因为的定义域为,所以的定义域为,的定义域关于原点对称. 令,则,得. 令,则, 所以,即, 所以为奇函数. （2）证明：任取,,且,则,所以. 令,,则, 所以,即, 所以,故在上单调递增. （3）命题“对任意正有理数,恒成立”是真命题. 理由如下：因为是一个正有理数,所以,,, 所以原命题等价于对任意,,恒成立. 因为, 所以,所以, 所以, 所以对任意正有理数,成立,所以原命题是真命题. 【变式2-1】（2025-2026辽宁省名校联盟12月联考）定义在上的函数满足,且当时,,求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3),其中 学科网（北京）股份有限公21 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的概念与性质（8知识&16题型&4易错&2方法清单） 【清单01】函数的有关概念 一、函数的概念★★ 函数的定义 一般地,设A,B是非空的实数集  ,如果对于集合A中的任意 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定 的数y和它对应,那么就称 f:A→B  为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y=f(x) ,x∈A 定义域 x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 要点总结：由函数的概念可知,对于函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许： (1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素. 二、同一个函数★★★ 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域 相同,并且对应关系 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 【清单02】区间的概念★★ 设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定: 集合 名称 符号 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 【清单03】函数的表示方法★★★★ 一、函数的三种表示方法 表示法 定义 优点 缺点 解析法 用数学表达式 表示两个变量之间的对应关系 简单、全面,易求函数值 不够形象、直观,而且不是所有函数都有解析式 列表法 列出表格 来表示两个变量之间的对应关系 无需计算,查表即可得函数值 表示数目有限 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 形象、直观,便于研究函数的性质 只能近似求函数值,不够精确 二、分段函数 已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关系 ,那么我们称这样的函数为分段函数.注意:分段函数表示的是一个函数,各段自变量的取值范围的交集是空集. 【清单04】函数的单调性★★★★★ 增函数 减函数 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I 如果 ∀x1,x2∈D   ,当x1<x2时,都有  f(x1)<f(x2)      f(x1)>f(x2)     结论 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增     那么就称函数f(x)在区间D上单调递减     图示     图象特征 函数f(x)在区间D上的图象是上升的 函数f(x)在区间D上的图象是下降的 二级结论：对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔f(x)在D上单调递增；⇔f(x)在D单调递减；对∀x1,x2∈D(x1≠x2),⇔在D上单调递增. 【清单05】函数的最大值与最小值★★★★ 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:∀x∈I,都有  f(x)≤M    ,∃,使得,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值;如果存在实数M满足:∀x∈I,都有f(x)≥M  ,∃∈I,使得f()=M,那么我们称M是函数y=f(x)的最小值.当一个函数f(x)的图象有最低(高)点时,我们就说函数f(x)有最小(大)值. 【清单06】函数的奇偶性★★★★★ 1.一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且  f(-x)=f(x)   ,那么函数f(x)就叫做偶函数；一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 2.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称. 二级结论： 1.既是奇函数,也是偶函数. 2.若函数在处有意义,则. 3. 若是偶函数,则.巧妙利用这一结论解题可避免因讨论带来的繁琐运算. 【清单07】幂函数★★★★ 一、幂函数的概念 一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0,＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0,＋∞) R [0,＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0,＋∞)上增, 在(－∞,0]上减 增 增 在(0,＋∞)上减, 在(－∞,0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0,＋∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上是增函数．特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸；当0<α<1时,幂函数的图象上凸． 3．当α<0时,幂函数的图象在区间(0,＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限,作直线x＝a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列． 【清单08】函数的应用★★★★ 一、一次函数模型 形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型,其中k≠0. 二、二次函数模型 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)． 三、幂函数模型 1．解析式：y＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0)． 2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定． 【题型一】求函数的定义域 【例1】（2025-2026广东深圳期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义,则,解得且,故函数的定义域为．故选C 【归纳总结】求函数定义域的常用依据：(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零；(3)若含有对数式,要保证底数在上,真数在上；(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义． 【变式1-1】(2025-2026福建三明12月联考)已知函数的定义域为,则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为,所以,解得,,解得,所以函数的定义域为.故选C. 【变式1-2】(2025-2026广东汕头期中)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的意义,则,解得且, 所以所求定义域为.故选D 【题型二】同一个函数的判定 【例2】（2025-2026江西赣州十三校期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于A,的定义域为,而的定义域为,两者相异,故A错误；对于B,两个函数的定义域均为,且,两个函数为同一函数,故B正确；对于C,的定义域为,而的定义域为,故两者相异,故C错误；对于D,,两个函数对应法则相异,故D错误.故选B. 【归纳总结】在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两函数才是同一个函数．值域相等,只是前两个要素相等的必然结果． 【变式2-1】（2025-2026湖北武汉部分重点中学期中）下列四组函数中,表示相同函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：的定义域为,的定义域为,所以这两个函数的定义域不同,不表示相同的函数,故A错误；对于选项B：的定义域为,的定义域为, 所以这两个函数的定义域不同,不表示相同的函数,故B错误；对于选项C：的定义域为,的定义域为,这两函数的定义域相同,且对应关系也相同,所以表示相同的函数,故C正确；对于选项D：的定义域为,的定义域为或, 所以这两个函数的定义域不同,不表示相同的函数,故D错误.故选C 【题型三】分段函数求值 【例3】（2025-2026广西柳州12月月考）已知函数,则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数,所以.故选C. 【归纳总结】求分段函数的函数值的方法：①确定要求值的自变量属于哪一段区间．②代入该段的解析式求值,当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值． 【变式3-1】（2025-2026湖南长沙市雅礼教育集团期中）已知函数,则（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数,所以可得,则.故选B 【题型四】求函数解析式 【例4】（2025-2026甘肃省武威期中）（1）已知函数是一次函数,若,求的解析式． （2）已知函数对任意的都有,求的解析式． （3）已知函数对任意实数,满足,求的解析式． 【解析】（1）设, 则, 所以,解得或, 即或； （2）令,则,可得； （3）因为, 所以, 联立方程解得. 【归纳总结】求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)＝t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x)． (2)待定系数法：若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式． (3)若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)． (4)已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式,可在待求解析式的区间上任取x,然后找出一个含x的式子,使该式子的范围在已知解析式的区间上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质确定所求解析式. 【变式4-1】（2025-2026浙江五湖联盟期中）已知,则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【详解】因为,设,则 所以.所以函数的解析式为（）.故选D. 【变式4-2】（2025-2026辽宁大连期中）若,且,则 ． 【答案】 【解析】令,则,因为,所以, 故. 【题型五】函数的作图及应用 【例5】（2025-2026山东枣庄期中）已知函数图象如图所示,另一个函数的图象与的图象关于轴对称. (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)求的解析式； (3)分别求、时的取值范围. 【解析】（1）利用轴对称作出函数的图象,如图： （2）在函数的图象上任取点, 因为函数的图象与的图象关于轴对称, 点关于轴对称点必在函数的图象上, 则, 所以的解析式为. （3）由,得,解得； 由及（2）,得,解得, 所以当时,的取值范围是；当时,的取值范围是. 【归纳总结】作函数y＝f(x)图象的方法：(1)若y＝f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一,则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 【变式5-1】（2025-2026陕西宝鸡期中）已知函数    (1)求 (2)若,求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【解析】（1）； （2）当时,,解得,满足要求, 当时,,解得或（舍）, 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：    【题型六】函数单调性的判定与证明 【例6】（2025-2026陕西汉中期中）已知函数． (1)试判断函数在区间上的单调性,并证明； (2)求函数在区间上的值域． 【解析】（1）易知, 设,且, 则, 又由,则,,, 所以,即在区间上单调递增； （2）由上可知函数在区间上单调递增,则, 又, 故的值域为. 【归纳总结】利用定义判断或证明函数单调性的步骤 【变式6-1】（2025-2026贵州六盘水期中）设函数,且. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【解析】（1）由题意得,解得. （2）由（1）知, 任取,,且,有 因为,所以,,, 所以,即, 所以在上单调递增. 【题型七】求函数的单调区间 【例7】（2025-2026广东深圳期中）函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解析】由于函数,当时,,由于图象的对称轴为,则函数在上单调递增,当时,, 由于图象的对称轴为,则函数在上单调递增,故函数的单调增区间是和.故选A 【归纳总结】(1)函数单调区间的两种求法：①图象法．即先画出图象,根据图象求单调区间．②定义法．即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有． 【变式7-1】（2025-2026山东枣庄期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【解析】由题可知,,解得.令,则, 因为在上单调递减,而在上单调递增,根据复合函数单调性“同增异减”, 所以在上单调递减.故选C. 【题型八】由函数的单调性求参数范围 【例8】（2025-2026江苏盐城期中）函数,若是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得,解得.故选B 【归纳总结】函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的． 【变式8-1】（2025-2026广东广州期中）若函数在上单调递增,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若,则在上单调递增,符合题意；若,则,因为在上单调递增,在上单调递增,所以在上单调递增,符合题意；当,则,则,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递减,在上单调递增,要使函数在上单调递增,则,解得；综上可得实数的取值范围是. 故选B 【变式8-2】（2025-2026宁夏灵武期中）20．已知是上的单调增函数,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】是上的单调增函数,所以. 【题型九】求函数的最值与值域 【例9】（2025-2026江苏常州期中）,,则的最小值为（   ） A．2.5 B．5 C．3 D．4.5 【答案】A 【解析】因为,所以在上单调递减,在上单调递增.所以的最小值为.故选A. 【归纳总结】(1)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 【变式9-1】（2025-2026重庆市南开中学期中）函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知函数定义域为,即定义域,可知在定义域上单调递增,可知,所以．故选B. 【变式9-2】（2025-2026广东珠海段考）函数,其中,记在区间上的最小值为,则函数的最大值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】,（1）当时,,是增函数,在的最小值为,则,（2）当时,,；（3）当时,,是减函数, 在上的最小值为,,所以因此最大值为1,故选C． 【题型十】函数最值与值域的应用 【例10】（2025-2026浙江省杭州学军中学12月月考）若函数的定义域为,值域为,则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由,则有,故,且有在定义域内单调递增, 则,,即,, 令,,则,,则,, 故是关于的方程的两不同非负根,则有,解得. 【变式10-1】（2025-2026甘肃金昌月考）已知点在函数的图象上,且有最小值,则实数的取值范围为. 【答案】 【解析】设,,分别绘制,的草图如下： 其中有最小值,且；无最小值,且,.因为函数有最小值,所以；点在的图象上,所以.综上. 【题型十一】函数奇偶性的判断 【例11】（2025-2026海南儋州检测）设函数 (1)求的定义域； (2)判断函数的奇偶性,并加以证明. 【解析】（1）由题意,解得, 所以的定义域为； （2）为偶函数. 由（1）知：的定义域关于原点对称, 又,所以为偶函数. 【变式11-1】（2025-2026海南师大附中期中）下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：定义域为不关于原点对称,函数不是奇函数,A选项错误；对于B：函数定义域为,,所以函数是奇函数,在定义域内单调递增,B选项正确；对于C：在区间上单调递减的,C选项错误；对于D：定义域为不关于原点对称,函数不是奇函数,D选项错误；故选B. 【题型十二】利用函数的奇偶性求参数值 【例12】（2025-2026陕西西安期中）若为奇函数,则（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【解析】由题意得,则,因为为奇函数,则其定义域关于原点对称,则, 则,其定义域为,则,则,则,定义域为,关于原点对称, ,则为奇函数,满足题意. 则.故选A. 【归纳总结】利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解． 【变式12-1】（2025-2026内蒙古呼和浩特期中）函数是定义在上的奇函数,则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为为定义在上的奇函数,所以,即,则,所以,所以.故选B 【变式12-2】（2025-2026广东省领航高中联盟12月检测）已知函数是奇函数,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设,由奇函数性质可知,所以,即对任意恒成立,于是,所以.故选D. 【题型十三】利用函数的奇偶性求解析式 【例13】（2025-2026陕西榆林月考）已知是定义在上的奇函数,当时,,那么时,（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的奇函数,所以,当时,,所以,所以,故选C. 【归纳总结】利用函数的奇偶性求解析式：求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为－x,此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式． 【变式13-1】（2025-2026吉林松原12月月考）函数是定义域为R的奇函数,当时,,则当时,函数的解析式 ． 【答案】 【解析】因为函数是定义域为R的奇函数,当时,, 则.因为,所以时,. 【题型十四】函数不等式的解法 【例14】（2025-2026浙江省五湖联盟期中）奇函数是定义在的减函数,若,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数是奇函数且是定义在的单调递减函数, 所以,所以,解得, 所以实数的取值范围是. 【归纳总结】利用函数奇偶性与单调性解不等式,一般有两类 (1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解：①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 【变式14-1】（2025-2026北京市第五十七中期中）若偶函数在区间上单调递减且,则不等式的解集为 【答案】或 【解析】由偶函数在区间上单调递减,可知在区间上单调递增,先解不等式,因为,所以,又因为是偶函数,所以,即, 根据在区间上单调递增,可知,解得或,同理,可解得, 不等式或,即解得或, 【题型十五】幂函数图象与性质的应用 【例15】（多选题）（2025-2026广东省领航高中联盟12月检测）已知函数是幂函数,则下列说法正确的有（    ） A．若在处有意义,则 B．对任意非零实数,有 C．若是增函数,则 D．若的定义域不为,点在函数的图象上,则 【答案】ABD 【解析】由幂函数的定义可知可得,或.对于A,由在处有意义,即存在,则,此时,,故A正确；对于B,由幂函数,可知,故B正确；对于C,由是增函数,可知,此时,,故C错误；对于D,若的定义域不为,此时,即,依题意可得,即,于是,故D正确.故选ABD. 【变式15-1】（2025-2026河北省张家口市NT20名校联合体期中）已知幂函数,则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 【答案】D 【解析】因为是幂函数,所以,解得或,当时,,定义域为,为奇函数,且在上均为减函数,在定义域上不单调,无最值；当时,,定义域为,为奇函数,且在定义域上为增函数,无最值.综上所述,结合选项可知,ABC错误,D正确.故选D. 【题型十六】函数的实际应用 【例16】（2025-2026四川绵阳测评）某种植园种植某菌类的年固定成本为万元,每产出吨该菌类需另外投入成本万元,该菌类可以每吨万元的价格全部售完,设种植园种植该菌类年利润（利润销售额成本）为万元,当种植园产出该菌类2吨时,年利润为1万元. (1)求年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少吨时,所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【解析】（1）由题可知,当时,总成本为,故有, 整理得,解得. 因此当时,； 当时,, 综上； （2）当时,,对称轴为,因此在上单调递增, 因此当时,在时取得最大值,； 当时,, ,当且仅当,即时,等号成立, 故, 即当时,在时取得最大值,. 综上,当年产量为吨时,所获年利润最大,最大年利润是万元. 【归纳总结】解实际应用题时要弄清题意,从实际出发,引入数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围．实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决,本题转化为二次函数求最值,利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决． 【变式16-1】（2025-2026湖北武汉期中）某乡镇依托生态农业政策,打造“树莓特色采摘小镇”,助力乡村旅游与产业融合.已知该小镇种植树莓的固定投入成本为50万元,有机肥料、棚架维护、病虫害防治等培育成本为每万千克树莓90万元,假设所有果实均能售罄.树莓每万千克的售价（单位：万元）与年产量（单位：万千克）满足关系：.记树莓的年利润为（单位：万元）. (1)求的函数关系式； (2)当年产量为多少万千克时,该树莓特色采摘小镇的利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）, ∴. （2）当时,,故在上单调递增, ∴时,取最大值, 当时,,当且仅当时等号成立, 因为,所以当时,, 综上,当年产量为21万千克时,该小镇获得最大利润,最大利润为1251万元. 【题型一】不理解函数概念出错 【例1】函数y=f(x)的图象与直线的交点个数( ) A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【错解】选A,C,D. 【错因分析】忽略函数定义域或忽略函数不能是一对多. 【正解】若1不在函数f(x)的定义域内,y=f(x)的图象与直线没有交点,若1在函数f(x)的定义域内,y=f(x)的图象与直线有1个交点,故选B. 【易错提醒】函数是一个非空数集到另一个非空数集上的对应,且对于法则只能是一对一或多对一,不能是一对多. 【变式1-1】（2025-2026内蒙古呼和浩特期中）已知集合,集合,则下列图象能表示以为定义域,为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】对于A,由函数的定义,选项A可以表示定义域为,值域为的函数,所以A符合题意；对于B,由函数的定义,选项B表示定义域为,值域为的函数,所以B不符合题意； 对于C,选项C中存在,有两个与之对应,不符合函数的定义,所以选项C不能表示函数,所以C不符合题意；对于D,选项D中,当时,,所以选项D不能表示函数,所以D不符合题意.故选A. 【题型二】研究分段函数单调性忽略分界点上函数值的大小出错 【例2】函数在(－∞,＋∞)上单调,则a的取值范围是________． 【错解】(－∞,1)∪(1,＋∞) 【错因分析】忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小． 【正解】若该函数在R上单调递减,则有,解之得a≤－；若函数在R上单调递增,则有,解得1<a≤,故a的取值范围是(－∞,－]∪(1,]． 【易错提醒】分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性,还要考虑分界点上函数值大小． 【变式2-1】（2025-2026辽宁省点石联考期中）已知函数,若对于任意的,且,都有成立,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对于任意的,且,都有成立,不等式两边同时除以,可得,移项有,构造函数,则,所以函数在上单调递增,所以,解得,所以实数的取值范围是.故选C. 【题型三】混淆“定义域为R”与“值域为R”出错 【例3】若函数的值域为R,则a的取值范围是 . 【错解】因为函数的值域为R,所以的判别式,解得所以a的取值范围是. 【错因分析】把的值域为R,误认为的定义域为R, 【正解】因为的值域为R,所以的判别式,解得所以a的取值范围是. 【易错提醒】的值域为R,则能取到所有正数,的定义域为R,则恒为正数. 【变式3-1】（2025-2026北京朝阳期中）函数的定义域为,则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意,可知关于的不等式的解集为,当时,不等式为,解集不是,不合题意；当时,需使,解得.综上,可得实数的取值范围为.故选A. 【题型四】求奇函数的解析式忽略若函数有意义,则 【例4】已知定义域为R的奇函数满足,当时,求解 析式． 【错解】当时,因为是奇函数,所以 ,所以 , 【错因分析】忽略时． 【正解】当时,因为是奇函数,所以 ,又时,所以. 【易错提醒】若是奇函数,且在时有意义,则． 【变式4-1】（2025-2026江西省多校联考12月检测）已知是定义域为R的奇函数,且当时,,则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义域为R的奇函数,所以,令,可得,所以, 令,则,所以.故选C. 【题型一】二次函数在闭区间上的最值 1.含参数的二次函数最大(小)值问题的解法:解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a+k的形式,再由a的符号确定抛物线的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,再根据x的 定义区间结合大致图象确定最大或最小值. 2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;(3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 3.二次函数f (x)＝＋bx＋c(a>0)在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－∈(m,n),则f (x)max＝max{f(m),f(n)},f (x)min＝f . (2)若－∉(m,n),则f (x)max＝max{f(m),f(n)},f (x)min＝min{f(m),f(n)}． 【例1】（2025-2026广西来宾12月月考）已知函数． (1)若在区间上单调,求实数的取值范围； (2)若在区间上的最大值为4,求实数的值； (3)求在区间上的最小值． 【解析】（1）由题可知,函数的图像开口向上, 对称轴为直线,若使得函数在上单调递增 则满足,解得, 若使得函数在上单调递减,则满足,解得, 综上可得实数的取值范围是. （2）因为函数是开口向上的抛物线,对称轴为直线 则自变量离对称轴越远,函数值越大, 因,则区间中点对应数值为 ①当,即时, 解得,符合题意, ②当,即时, 解得,符合题意, 综上可得,实数的值为或． （3）①当即时,函数在区间单调递增, 所以函数的最小值为； ②当,即时, 函数在区间单调递减,在区间上单调递增, 所以函数的最小值为； ③当即时,函数在区间单调递减, 所以函数的最小值为, 综上可得,函数的最小值为 【变式1-1】（2025-2026湖北十堰11月月考）已知定义在上的偶函数和奇函数,若,,,． (1)求,的值； (2)若函数． （i）当时,求函数的最大值； （ii）是否存在,,使得关于的不等式的解集为?若存在,求出,的值；若不存在,请说明理由． 【解析】（1）因为为偶函数,则恒成立,即, 即, 因为,所以,即,所以,因为对所有都成立,所以； 因为函数为奇函数,且定义域为,所以,即,所以, 即,因为,所以符合题意； （2）因为,, 则, 令,则, （i）因为,且是关于的增函数,所以, 的对称轴为直线, 当时,所以； 当时,所以, （ii）因为,则, 所以若的解集为, 则关于的不等式的解集为, 则是方程的两根,且需, 由, 解得,,满足,即恒成立, 所以当,时,不等式的解集为． 【题型二】抽象函数的单调性与奇偶性 判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小,抽象函数的奇偶性的判断一般通过赋值确定与的关系,有些抽象函数需要先通过赋值确定的值 【例2】（2025-2026陕西西安期中）已知函数的定义域为,对任意实数,,都有.当0时,. (1)设函数,判断的奇偶性,并说明理由. (2)证明：在上单调递增. (3)判断命题“对任意正有理数,恒成立”的真假,并说明理由. 【解析】（1）因为的定义域为,所以的定义域为,的定义域关于原点对称. 令,则,得. 令,则, 所以,即, 所以为奇函数. （2）证明：任取,,且,则,所以. 令,,则, 所以,即, 所以,故在上单调递增. （3）命题“对任意正有理数,恒成立”是真命题. 理由如下：因为是一个正有理数,所以,,, 所以原命题等价于对任意,,恒成立. 因为, 所以,所以, 所以, 所以对任意正有理数,成立,所以原命题是真命题. 【变式2-1】（2025-2026辽宁省名校联盟12月联考）定义在上的函数满足,且当时,,求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3),其中 【解析】（1）证明：由函数的定义域为,关于原点对称, 因为函数满足, 令,可得,所以, 令,可得,即, 所以函数是的奇函数. （2）证明：设,则, 因为, 所以,所以, 当时,,所以, 即,所以函数在上是增函数. （3）证明：由, 所以, 因为时,,且函数在上的奇函数, 所以当时,,, 又因为,所以, 所以,故. 学科网（北京）股份有限公28 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $