精品解析：宁夏回族自治区宁夏大学附属中2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 闭卷 时长120分钟 满分150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则求出，再根据模长公式计算即可. 【详解】由， 所以. 故选：D 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，求出集合，集合，再求出即可得到答案. 【详解】解不等式得，则， 解不等式得，， 则，则 则图中阴影部分表示的集合是. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量坐标的数量积公式可得，再利用向量夹角公式计算即可得解. 【详解】依题意，由，有，解得， 所以. 故选：B． 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】因为指数函数是实数集上的减函数， 所以， 因为指数函数是实数集上的增函数， 所以， 因为对数函数是正实数集上减函数， 所以，因此， 故选：A 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 6. 若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，利用奇函数及周期性求，的函数值，即可求目标式的值. 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴，又在上的周期为2， ∴，， ∴. 故选：D. 7. 已知命题：，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数，将不等式化为，利用基本不等式求的最小值即可求出答案． 【详解】根据题意可得，因为，则， 利用基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 8. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出指定区间对应的相位范围，再利用余弦函数零点列式求解. 【详解】当时，， 由在区间上恰好有3个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断A；根据基本不等式判断BD；结合二次函数性质判断C； 【详解】由，得，因为，所以，解得， 又，所以，故A正确； 因为，故，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； ， 当且仅当时，结合，即取时等号，故D正确. 故选：ABD. 10. 将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 图象的对称轴方程为 D. 在上有4个极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据正弦函数的变化规则求出的解析式，然后根据余弦函数的性质逐一判断计算即可. 【详解】的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到图象， 再将所有的点向左平移个单位长度得的图象． 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，令，，得，，则图象的对称轴方程为，，C正确； 对于D，令，可得，，令，解得， 即，故在上有3个极值点，D错误. 故选：BC． 11. 已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A. 时，方程有2个不同的实数根 B. 方程至少有2个不同的实数根 C. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】将问题转化为和的图象的交点个数问题，然后作图分析可得． 【详解】方程根的问题可以转化成直线和图象的交点问题， 如图，作出直线和函数的图象， A，由图可知：时，方程有2个不同的实数根，正确； B，当时，结合图象可知，方程有一个解，错误． C，由图可知直线和的图象有3个交点时，的取值范围为，正确． D，因为为方程，即的两个不相等实根，所以， 因为为方程的根，所以，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，正确． 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式得，然后利用两角和的正弦公式化简求值即可. 【详解】 ． 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒成立，再通过对称轴和函数的最值的限定，列出不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过令，得到，，两式相加可以得到 即可判断周期，进而求解. 【详解】令，有， 即， 所以， 两式相加得到：，即 所以， 所以的周期为， 令，有，则或． 若，则令，有，得，与已知矛盾，所以． 令，有，则，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 所以 故答案为： 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由二倍角公式求解即可. (2)求出，由二倍角公式即可求解； (3)由,,可得,从而求出，再利用求解即可. 【小问1详解】 因为,所以, 【小问2详解】 因为,,所以, 则， 所以， 【小问3详解】 因为,,,所以, 则， 所以 即 16. 已知函数 （1）求的周期及单调增区间； （2）若时，求的最大值与最小值. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值. 【详解】（1） ，所以的周期 单调增区间： （2） 【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）结合图象，直接求出，求得周期得到，再代入点求出即可； （2）由（1）知，结合正弦函数的性质求得的取值范围即可. 【小问1详解】 由函数图象，可得，，∴，∵，可得，∴， 又∵图象过点，∴，即，∴，，解得，， 又∵，∴，故函数解析式； 【小问2详解】 由（1）知，∵，则，又∵的值域为， ∴，且，故，即； 18. 设函数. （1）若，求函数的极值； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中e是自然对数的底数） 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后求导求出函数的单调区间，即可求解； （2）令，化简得到，令，，则得函数与在上有两个交点，再利用导数求得图象，即可求解. 【小问1详解】 当时，，， ，令，解得（舍），， 当时，；当时，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 综上所述：函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 令，解得，因， 所以，令，， 则得函数与在上有两个交点， ，令，， 则，所以在上单调递增，又因为， 所以当时，，； 当时，，； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到极小值， 又，则可作出相应图象，如下图， 所以可得，解得， 故实数的取值范围. 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【小问1详解】 当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： 【小问2详解】 当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， 【小问3详解】 ， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 闭卷 时长120分钟 满分150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. -2 7. 已知命题：，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 10. 将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 图象的对称轴方程为 D. 在上有4个极值点 11. 已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（    ） A. 时，方程有2个不同的实数根 B. 方程至少有2个不同的实数根 C. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是 三、填空题（每题5分，共15分） 12. ______． 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 14. 已知函数的定义域为，且，则__________. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知函数 （1）求的周期及单调增区间； （2）若时，求的最大值与最小值. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围． 18. 设函数. （1）若，求函数的极值； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中e是自然对数的底数） 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $