2025年--2026学年华东师大版九年级数学上册基础题专练

2025年--2026学年华师版九年级数学上册基础题专练 一、单选题 1．如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 2．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米，扶梯的长度是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 5．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则＝ . 三、解答题 6． 计算： (1) (2) (3) (4) 7．（1）先化简，再求代数式的值，其中． （2）已知，，求下列代数式的值： ①； ②． 8．计算： (1)； (2)． 9． 先化简，再求值：，其中． 10．不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)； (2)． 11．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 12． 若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 13．用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 14．解下列方程： (1) (2)（配方法） (3) (4) 15．商场销售的某种商品，每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件．受经济形势的影响，该商品销量受到影响．为刺激消费，商场决定让利于顾客，经调查发现：该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)当该商品售价降低6元时，每天销售量可达到_____件，每天盈利_____元； (2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元？ (3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是_____． 16．如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 17．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图． (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； (2)以为位似中心，画一个，使它与的位似比为． 18．如图，途中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图中画出位似中心点O，△ABC与△A′B′C′的相似比是　 　． （2）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于2：1． 19．（1）计算： （2）计算： 20．求值： (1)； (2)． 21．计算： (1) (2) 22．【新情境·红色研学】研学实践：为深入了解红军长征历史，培养学生勇于战胜困难的精神，学校组织研学活动．同学们来到贵州省余庆县“突破乌江”主题雕塑广场，在了解相关的历史背景后，利用测角仪、皮尺和平面镜测量雕塑的高度． 数据采集：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测雕塑顶端A点的仰角为．在测角仪和雕塑之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到雕塑顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时则得． 数据应用：已知测角仪的高度，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． (1)根据平面镜成像原理，的值是__________． (2)求雕塑的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 23．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 24．如图，在中，是边上的中线，是锐角，且，，． (1)求的度数与的长； (2)求的值． 25．某学校为了培养学生的兴趣和爱好，在课后延时服务活动中开设了A：象棋；B：书法；C：机器人；D：舞蹈；E：手工制作五个兴趣小组（每名学生必选且只能选一个），将参加各兴趣小组的人数绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题． (1)参加兴趣小组的学生有 人； (2)把条形统计图补充完整，扇形统计图中的C组所对应圆心角的度数是 °； (3)在A组最优秀的3名学生（2名男生1名女生）和B组最优秀的4名学生（2名男生2名女生）中，各选1名学生参加区域性的课后延时服务成果展示，利用画树状图法或列表法，求所选两名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 答案 D B D 1．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到；故②正确；根据三角形的面积公式得到，故③正确；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故④错误． 【详解】解：∵在中，则，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴与不一定相似，故④错误， 故选：D． 2．B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 3．D 【分析】直接根据锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：如图，    在中，米， ∴米， 即扶梯的长度是米． 故选：D 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 4．或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 5．1：3：9：11或4：6：9：11 【分析】分或两种情况解答，根据平行得出，由面积比等于相似比是平方，得出△BEF与△DAF的面积比，再根据面积公式得出△BEF与△ABF的面积比，根据图形得出四边形CDFE与△BEF的面积关系，最后求面积比即可. 【详解】解：E为三等分点，则或 ①时， 设，则，， ②时， 同理可得 设，则，， 【点睛】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方及面积公式，得出图形之间的关系是解答此题的关键. 6．(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式，零次幂，负整数次幂，再计算加法； （2）先化简二次根式，再计算二次根式除法； （3）计算平方差、完全平方，结合二次根式运算法则进行计算； （4）先计算二次根式的乘法、除法，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（1），；（2）①24；②26 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，分式的化简求值． （1）利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． （2）①先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出，，再根据完全平方公式得出，再代入求出答案即可； ②代入和求出答案即可． 【详解】解：（1） ， 当时， 原式； （2）①∵，， ∴，， ∴； ②由①可知， ∴． 8．(1) (2) 【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义和绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．， 【分析】本题考查了分式的化简求值. 先通分，再去括号，约分，最后将代入即可. 【详解】 ， 当时，原式 10．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系． （1）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可； （2）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴，． 11．(1) (2)19 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【详解】（1）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． （2）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 12．3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 13．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 14．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方，熟知解一元二次方程的方法是解题的关怀． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方解方程即可； （3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （4）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解： ， ， ， ， 解得； （3）解： ， 或， 解得； （4）解： ， ， 或， 解得． 15．(1)32；608 (2)降价10元 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据每件进价100元，售价125元，平均每天售出20件，该商品售价格每降低1元，平均每天可多售出2件，列式计算即可； （2）设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，根据商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元，列出方程，解方程即可； （3）根据利润率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意知，当该商品售价降低6元时，则现在的售价是： （元）， 售出（件）， 每件的利润是（元）， 因此利润为：（元）． 答：当商品售价降低6元时，每天销售量可达到32件，每天盈利608元． （2）解：设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，根据题意得： ， 解得：． 为了让顾客得到更多的实惠， ，即商品降价10元． 答：为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价10元时，商场通过销售这种商品每天的盈利可达到600元． （3）解：在（2）的条件下，售价是元， 利润是：元， 利润率是． 16．(1)见解析 (2) 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可； （2）延长到点使，延长到点使，连接，则满足条件． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 18．（1）1：2；（2）见解析. 【分析】（1）根据△ABC与△A′B′C′的位似比等于OA与OA′的比，即可求解. （2）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于2，因此OA1=2OA，所以OA1=12．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1． 【详解】解：（1）如图1，点O为所作； ∴OA：OA′＝6：12＝1：2， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2； 故答案为1：2； （2）如图2，△A1B1C1为所作． 【点睛】本题考查了作图-位似变换，掌握根据条件画图是解题的关键. 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，负整数指数幂，绝对值等知识点，正确计算是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，立方根，代入特殊角三角函数值并计算乘法，最后再进行加减计算； （2）代入特殊角的三角函数值，并化简绝对值，最后进行加减计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． （1），据此即可求解； （2）由（1）中的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．(1)2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂，乘方的意义计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 22．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得：，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，根据题意可得，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作，垂足为F， 由题意得：，， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴雕塑的高度约为． 23．(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 24．(1)，， (2)的值为2 【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，理解三角函数的定义是解本题的关键； （1）如图，过点C作于E．设，则，再求解，从而可得的值，再求解的大小，结合等腰直角三角形的性质可得答案； （2）由是边上的中线，可得，，再利用正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于E．设， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴，． 在中，∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 即的值为2． 25．(1)； (2)见解析，； (3)． 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加兴趣小组的学生人数． （2）用总的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求得组所对应圆心角的度数． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名学生中恰好是名男生名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：（人） 故答案为：． （2）解：组人数：（人） 补充的完整的条形统计图如下： 故答案为：． （3）由题意画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有6种， ∴P（1男1女） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $