南京市金陵中学仙林分校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市栖霞区金陵中学仙林分校八年级(上) 第一次月考数学试卷 一 、选择题(共16分) 1. (2分)如图是四个汽车标志的图案，其中不是轴对称图形的是( ) 1/25 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 2. (2分)如图，∠ BAC=∠DAC, 添加下列一个条件后，仍不能判定△ ABC≌△ADC 的是 ( ) A. ∠B=∠D B. ∠BCA=∠DCA C.AB=AD D.BC=DC 3 . (2分)若等腰三角形的两边长分别为5和11,则这个等腰三角形的周长为( ) A.21 B.22 或 2 C.27 D.21 或27 4. (2分)下列条件中，能判断两个三角形全等的是( ) A. 两边和它们的夹角分别相等 B. 两边及其中一边所对的角分别相等 C. 三个角分别相等 D. 两个三角形面积相等 5. (2分)如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等” 这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 6. ( 2 分 ) 如 图 ，Rt△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=50°, 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上A' 处，折痕为 CD, 则∠ A'DB =( ) ( A ) A.40° B.30° C.20° D.10° 7 . ( 2 分 ) 如 图 ，AD 是 △ABC 的 角 平 分 线 ，DE⊥AB, 垂 足 为E,S△ABC=9,DE=2,AB = 5 , 则AC 长 为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 8 . (2分)下列轴对称图形中，只用 一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是( ) A. 菱 形 B. 等腰三角形 C. 等腰梯形 D. 正五边形 二 、填空题(共16分) 9 . (2分)已知△ABC≌△DEF,△ABC 的周长为24cm, 若 AB=10cm,EF=8cm,AC= cm. 10. (2分)如图，△ABC 中 ，D 是 BC 上 一 点，若AC=AD=DB, 且∠C=50°, 则∠BAC= · 11 . (2分)到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条 的交点 . 12 . (2分)已知等腰三角形的 一个外角是80°,则它的底角度数为 度 . 2/25 学科网（北京）股份有限公司 1 3. ( 2 分 ) 如 图，AB=AC,AB⊥CD,AC⊥BE, 垂足分别为 D、E, 则图中共有 对全等三角形 . ( C ) 14. (2分)如图，在△ ABC 中 ，BD 平分∠ABC,AE⊥BD. 若∠ABC=30°,∠C=50°, 则 ∠CAE 的度数为 15 . (2分)如图，△ABC 的 边BC,AC 的垂直平分线l₁,l₂ 相 交 于 点 0 . 若 ∠A=110°, 则 ∠BOC= °. 1 6 . ( 2 分 ) 如 图 ， 在 网 格 中 ，A 、B 是两个格点，若C 也是格点，且△ABC 是等腰三角形， 则满足条件的C 有 个 . B A] 17 . (2分)如图，在等腰三角形△ABC 中 ，AB=AC,D 为 BC 延长线上 一 点，EC⊥AC 且 AC=CE, 垂 足 为C, 连 接BE, 若 BC=6, 则△BCE 的 面 积 为 · 3/25 学科网（北京）股份有限公司 1 8. ( 2 分 ) 如 图 ， △ABC 中 ∠ C=90°,AB=10,AC=8,BC=6, 线段 DE 的 两 个 端 点D、 E 分 别 在 边AC,BC 上 滑 动 ， 且DE=4, 若 点M 、N 分 别 是DE 、AB 的 中 点 ， 则MN 的 最 小 值 为 二 、解 答 题 ( 共 6 4 分 ) 1 9 . ( 8 分 ) 利 用 网 格 线 作 图 ： 在BC 上 找 一 点P, 使 点P 到 AB 和 AC 的 距 离 相 等 . 然 后 ， 在 射 线AP 上 找 一 点Q, 使 QB=QC. 2 0 . ( 8 分 ) 求 证 ： 等 边 对 等 角 . 4/25 学科网（北京）股份有限公司 21. (8分)如图，在△ ABC 中 ，AB=AC,AD⊥BC 于点D. (1)若∠C=42°, 求 ∠BAD 的度数； (2)若点E 在 边AB 上 ，EF//AC 交 AD 的延长线于点F. 求 证： AE=FE. 22. (8分)(1)已知，如图△ABC 中 ，AM 是BC 边上的中线，求证： (2)△ABC 中，已知 AB=9,AC=5, 求AM 的取值范围是 * 5/25 学科网（北京）股份有限公司 23. (8分)如图，在△ ABC 中 ，BM⊥AC, 垂 足 为M.N 为AB 上的 一 点，D 为BC 的中 点 ， (1)求证CN⊥AB. (2)若∠ A=55°, 则∠MDN= °. 24 . (8分)(1)在△ABC中 ，AB=AC, 在 AC 上确定一个点E, 使得∠BEC=2∠A. (要求： 用直尺和圆规作图，保留作图痕迹) (2)如图，已知△ABC, 在平面内确定 一个点E, 使 得 (要求：用直尺和圆 规作图，保留作图痕迹) C ( ① )② 6/25 学科网（北京）股份有限公司 25 . (8分)如图，在△ABC 中 ， 点D 、E 在边BC 上 ，BD=CE,DM⊥AC, 垂足为M, EN⊥AB, 垂足为N,DM 与 EN 交于点P, 且 BN=CM. (1)求证：PD=PE; (2)连接AP, 并 延 长AP 交BC 于 点Q, 求证：过点A 、P 的直线垂直平分线段BC. 26 . (8分)(1)如图①,△ABC 是等边三角形， M 为 边BC 的中点，连接AM, 将 线 段AM 顺 时针旋转120°,得到线段AD, 连接BD; 点 N 在 BC 的延长线上，且CN=MC, 连接AN. 求证：BD=AN. (2)若将问题(1)中的条件 “M 为 边BC 的中点”改为 “M 为边BC 上的任意 一 点”,其他条 件不变，结论还成立吗?如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例. 图 ① 图 ② 7/25 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年江苏省南京市栖霞区金陵中学仙林分校八年级(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一 . 选择题(共8小题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A D D B B 一 、选择题(共16分) 1. (2分)如图是四个汽车标志的图案，其中不是轴对称图形的是( ) 8/25 学科网（北京）股份有限公司 A. C. B. D. 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可 . 【解答】解： A 、 是轴对称图形； B 、是轴对称图形； C 、 是轴对称图形； D、 不是轴对称图形； 故选： D. 2. (2分)如图，∠BAC=∠DAC, 添加下列一个条件后，仍不能判定△ ABC≌△ADC 的是 ( ) A. ∠B=∠DB. ∠BCA=∠DCAC.AB=ADD.BC=DC 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可 . 【解答】解 ：A. ∠BAC=∠DAC,∠B=∠D,AC=AC, 符合全等三角形的判定定理 AAS, 能推出△ABC≌△ADC, 故本选项不符合题意； B. ∠BAC=∠DAC,∠B=∠D,AC=AC, 符合全等三角形的判定定理AAS, 能 推 出 △ABC≌△ ADC, 故本选项不符合题意； C.AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC, 符合全等三角形的判定定理SAS, 能推出 △ABC≌△ADC, 故本选项不符合题意； D.AC=AC,BC=DC,∠BAC=∠DAC, 不符合全等三角形的判定定理，不能推出 △ABC≌△ADC, 故本选项符合题意； 故选：D. 3. (2分)若等腰三角形的两边长分别为5和11,则这个等腰三角形的周长为( ) A.21B.22 或27C.27D.21 或27 【分析】根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5,②11是底边时，三角形的三 边分别为11、5、5,分别计算即可. 【解答】解：①11是腰长时， 三角形的三边分别为11、11、5,能组成三角形， 周长=11+11+5=27; ②11是底边时， 三角形的三边分别为11、5、5, ∵5+5=10<11, ∴不能组成三角形， 综上所述，三角形的周长为27. 故选： C. 4. (2分)下列条件中，能判断两个三角形全等的是( ) A. 两边和它们的夹角分别相等 B. 两边及其中一边所对的角分别相等 C. 三个角分别相等 D. 两个三角形面积相等 【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS 分别进行分析可得答案. 【解答】解： A 、根据SAS 定理可判定两个三角形全等，故此选项符合题意； B 、SSA 不能证明两个三角形全等，故此选项不符合题意； C、AAA 不能证明两个三角形全等，故此选项不符合题意； D、 两个三角形面积相等不能证明两个三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：A. 5. (2分)如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等” 这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是( ) B c O A 9/25 学科网（北京）股份有限公司 A.SASB.ASAC. AASD.SSS 【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS. 【解答】解：用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一 性质， 由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是：由 得出△OBC≌△OAC(SSS). 故选： D. 6. (2分)如图， Rt△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=50°, 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上A' 处，折痕为 CD, 则∠ A'DB= ( ) A.40°B.30℃.20°D. 10° 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A'DB=∠CA'D-∠B, 又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°, 易 求∠B=90°-∠A=40 °,从而求 出∠A'DB 的度数 . 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=50°, ∴∠B=90°-50°=40°, ∵将其折叠，使点A 落在边CB 上A'处，折痕为CD, 则∠CA'D=∠A, ∵∠CA'D 是△A'BD 的外角， ∴∠A'DB=∠CA'D-∠B=50°-40°=10°. 故选： D. 7 . (2分)如图， AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB, 垂 足 为E,S△ABC=9,DE=2,AB = 5 , 则AC 长为( ) A.5B.4C.3D.2 【分析】过点D 作 DF⊥AC 于F, 然后利用△ABC 的面积公式列式计算即可得解. 【解答】解：如图，过点D 作 DF⊥AC 于 F, 10/25 学科网（北京）股份有限公司 ∵AD 是△ABC 的角平分线， DF⊥AC,DE⊥AB, ∴DE=DF=2, ∵S△ABC=S△ABD+S△ADc=9, ∴AC=4, 故选： B. 8 . (2分)下列轴对称图形中，只用 一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是( ) A. 菱 形B. 等腰三角形 C. 等腰梯形D. 正五边形 【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解 . 【解答】解： A 、 菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A 选项错误； B 、 等腰三角形对称轴只用 一把无刻度的直尺无法画出，故B 选项正确； C 、 等腰梯形，延长两腰相交于 一 点，作两对角线相交于 一 点，根据等腰梯形的对称性，过 这两点的直线即为对称轴，故C 选项错误； D、 如图，正五边形中，直线l即为对称轴，故D 选项错误 . 故选： B. 二 、填空题(共16分) 9 . (2分)已知△ABC≌△DEF,△ABC 的周长为24cm, 若 AB=10cm,EF=8cm,AC= 6 cm. 【分析】根据全等三角形对应边相等可得EF=BC, 再利用三角形的周长解答即可 . 【解答】解：∵△ABC≌△DEF, ∴BC=EF=8cm, ∵△ABC 的周长为24cm,AB=10cm, ∴AC=24-10-8=6cm, 11/25 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：6 . 10. (2分)如图，△ ABC 中 ，D 是BC 上一点，若 AC=AD=DB, 且∠C=50°, 则∠BAC= 105° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ADC=50°, 再根据三角形外角的性质和等腰三角形可 求∠B 的度数，再利用三角形内角和定理即可求解. 【解答】解：∵AC=AD,∠C=50°, ∴∠ADC=∠C=50°, ∵AD=DB, ∴∠B=∠BAD, ∴∠BAC=180°-50°-25°=105° . 故答案为：105°. 11. (2分)到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条 边垂直平分线 的交点 . 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可 . 【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边垂直平分线的交点， 故答案为：边垂直平分线. 12. (2分)已知等腰三角形的一个外角是80°,则它的底角度数为 40 度 . 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解. 【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80° ∴相邻角为180°-80°=100° ∵三角形的底角不能为钝角 ∴100°角为顶角 ∴底角为：(180°-100°)÷2=40°. 故答案为40. 13. (2分)如图， AB=AC,AB⊥CD,AC⊥BE, 垂足分别为 D、E, 则图中共有 4 对全等三角形. ( C ) 【分析】首先根据垂线的定义，得出∠ADC=∠AEB, 再 根 据AAS, 得出△ADC≌△AEB, 再 根据全等三角形的性质，得出AD=AE,∠B=∠C,DC=EB, 再根据线段之间的数量关 12/25 学科网（北京）股份有限公司 系，得出BD=CE, 再 根 据ASA, 得 出 △BDO≌△CEO, 再根据全等三角形的性质，得出 OD=OE,OB=OC, 再 根 据SAS, 得 出 △ADO≌△AEO, 再 根 据SSS, 得出△ABO≌ △ACO, 综合即可得出结果 . 【解答】解：∵AB⊥CD,AC⊥BE, ∴∠ADC=∠AEB, ∴△ADC≌△AEB(AAS), ∴AD=AE,∠B=∠C,DC=EB, ∵AB=AC,AD=AE, ∴BD=CE, 又∵AB⊥CD,AC⊥BE, ∴∠BDO=∠CEO=90°, ∴△BDO≌△CEO(ASA), ∴OD=OE,OB=OC, ∴△ADO≌△AEO(SAS), ∴△ABO≌△ACO(SSS), 综上所述，图中共有4对全等三角形 . 故答案为：4 . 14. (2分)如图，在△ ABC 中，BD 平分∠ABC,AE⊥BD. 若∠ABC=30°,∠C=50°, 则 ∠CAE 的度数为 25 °. 【分析】依据角平分线的定义即可得到∠DBC 的度数，再根据三角形外角的性质，即可得到 13/25 学科网（北京）股份有限公司 ∠CAE 的 度 数 . 【解答】解：∵∠ABC=30°,BD 平分∠ABC, 又∵AE⊥BD, ∴∠BEA=90°-15°=75°, ∵∠AEB 是 △ACE 的外角， ∴∠CAE=∠AEB-∠C=75°-50°=25°, 故答案为：25 . 15. (2分)如图，△ ABC 的 边 BC,AC 的垂直平分线 l₁,l₂ 相 交 于 点 0 . 若 ∠A=110°, 则 ∠BOC= 140 °. 【分析】连接OA, 根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC,OA=OB, 得 到 ∠OCA= ∠OAC,∠OAB=∠OBA, 根据四边形内角和等于360°计算即可 . 【解答】解：如图，连接OA, ∵BC,AC 的垂直平分线l₁,l₂ 相 交 于 点O, ∴OA=OC,OA=OB, ∴∠OCA=∠OAC,∠OAB=∠OBA, ∴∠OCA+∠OBA=∠OAC+∠OAB=110°, ∴∠BOC=360°-110°-110°=140°, 故答案为：140 . 16 . (2分)如图，在网格中， A、B 是两个格点，若C 也是格点，且△ABC 是等腰三角形， 则满足条件的C 有 8 个 . 14/25 学科网（北京）股份有限公司 B A 【分析】分三种情况：当AB=AC 时；当BA=BC 时；当CA=CB 时；即可解答. 【解答】解：如图： 分三种情况： 当 AB=AC 时，以点A 为圆心，以AB 长为半径作圆，交正方形网格的格点为C₁,C₂; 当 BA=BC 时，以点B 为圆心，以BA 长为半径作圆，交正方形网格的格点为C₃,C₄; 当 CA=CB 时，作AB 的垂直平分线，交正方形网格的格点为C₅,C6,C₇,C₈; 综上所述：若C 也是格点，且△ABC 是等腰三角形，则满足条件的C 有 8 个 ， 故答案为：8 . 17 . (2分)如图，在等腰三角形△ABC 中 ，AB=AC,D 为BC 延长线上 一 点，EC⊥AC 且 AC=CE, 垂 足 为 C, 连接 BE, 若 BC=6 , 则 △BCE 的面积为 9 · 【分析】过A 作AH⊥BC 于 H, 过 E 作 EF⊥BC 于 F, 利用等腰三角形的性质和全等三角形 的判定和性质解答即可. 【解答】解： 过A 作 AH⊥BC 于H, 过 E 作 EF⊥BC 于 F, ∵AB=AC,BC=6, ∴BH=HC=3, ∵∠ACE=90°, ∴∠ACH+∠ECF=90°, ∵∠CAH+∠ACH=90°, ∴∠ECF=∠CAH, 在△ ACH 与△ CEF 中， 15/25 学科网（北京）股份有限公司 ∴△ACH≌△CEF(AAS), ∴EF=CH=3, 故答案为：9 . 18. (2分)如图，△ ABC 中∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6, 线段 DE 的两个端点 D、 E 分别在边AC,BC 上滑动，且DE=4, 若 点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，则MN 的最 小值为 3 ( 由 当 C 、 M 、 )【分析】根据三角形斜边中线的性质求得 AB=5, N 在同一 直线上时， MN 取最小值，即可求得MN 的最小值为3 . 【解答】解：如图，连接CM、CN, △ABC 中，∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6, ∵DE=4, 点M、N 分别是 DE、AB 的中点， AB=5, 16/25 学科网（北京）股份有限公司 当C、M、N 在同 一 直线上时， MN 取最小值， ∴MN 的 最 小 值 为 ： 5 - 2 = 3 . 故答案为：3 . 二 、解答题(共64分) 19 . (8分)利用网格线作图：在BC 上找一 点P, 使 点P 到 AB 和AC 的距离相等 . 然后，在 射 线AP 上找 一 点Q, 使 QB=QC. 【分析】根据网格特点先作出∠A 的角平分线与BC 的交点就是点P, 再 作BC 的垂直平分线 与AP 的交点就是点Q. 【解答】解：如图，点P 就是所要求作的到AB和 AC 的距离相等的点， 点Q 就是所要求作的使QB=QC 的 点 . 20 . (8分)求证：等边对等角 . 【分析】首先根据题意作出图形，将文字题用数学语言表达出来，再取BC 的中点D, 连 接 AD, 利 用SSS 的证明方法即可证得△ABD≌ △ACD, 证得等边对等角. 【解答】解：如图：已知：在△ABC 中 ，AB =AC, 求证：∠B=∠C. 证明：取BC 的中点D, 连 接AD, ∴BD=CD, 在△ABD 和△ACD 中， ∴△ABD≌△ACD(SSS), ∴∠B=∠C. 17/25 学科网（北京）股份有限公司 21. (8分)如图，在△ ABC 中 ，AB=AC,AD⊥BC 于点D. (1)若∠C=42°, 求 ∠BAD 的度数； (2)若点E 在 边AB 上 ，EF//AC 交 AD 的延长线于点F. 求证： AE=FE. 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD, 根据三角形的内角和即可得到 ∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°; (2)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD 根据平行线的性质得到∠F=∠CAD, 等 量 代 换得到∠BAD=∠F, 于是得到结论 . 【解答】解：(1)∵AB=AC,AD⊥BC 于 点D, ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°, 又∠C=42°, ∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°; (2)∵AB=AC,AD⊥BC 于 点D, ∴∠BAD=∠CAD, ∵EF//AC, ∴∠F=∠CAD, ∴∠BAD=∠F, ∴AE=FE. 22. (8分)(1)已知，如图△ABC 中 ，AM 是BC 边上的中线，求证： (2)△ABC 中，已知AB=9,AC=5, 求 AM 的取值范围是 2<AM<7 * ( C ) 【分析】(1)可延长AM 到 D, 使 MD=AM, 连 CD, 则△ABM≌△DCM 得 AB=CD, 进 而 18/25 学科网（北京）股份有限公司 在△ACD 中利用三角形三边关系证明即可； (2)根据全等三角形的性质及三角形三边关系求解即可. 【解答】证明： 延 长AM 到D, 使 MD=AM, 连 CD, ∵AM 是 BC 边上的中线， ∴BM=CM, 在△ABM 和△DCM 中 ， ∴△ABM≌△DCM(SAS), ∴AB=CD, 在△ACD 中，则 AD<AC+CD, 即2AM<AC+AB, (2)解：在△ ACD 中 ，CD-AC<AD<AC+CD, 由(1)知，AD=2AM,AB=CD, ∴AB-AC<2AM<AB+AC, ∵AB=9,AC=5, ∴4<2AM<14, ∴2<AM<7, 故答案为：2<AM<7. 23. (8分)如图，在△ ABC 中 ，BM⊥AC, 垂足为M.N 为AB 上的一点，D 为 BC 的中 点， (1)求证CN⊥AB. (2)若∠A=55°, 则 ∠MDN= 70 °. 19/25 学科网（北京）股份有限公司 【分析】(1)根据直角三角形的性质得到 求得DM=DN=BD= CD, 根据等腰三角形的性质得到∠DBN=∠BND,∠DNC=∠DCN, 于是得到结论； (2)根据垂直的定义得到∠BNC=∠BMC=90°, 根据直角三角形的性质得到DN=BD,DM =CD, 由等腰三角形的性质得到∠BND=∠NBD, ∠D MC=∠MCD, 根据四边形的内角和 等于360°即可得到结论. 【解答】(1)证明：∵BM⊥AC, 点 D 是BC 的中点， ∴DM=DN=BD=CD, ∴∠DBN=∠BND,∠DNC=∠DCN, ∵∠NBD+∠BNC+∠NCD=180°, ∴2∠BND+2∠CND=180°, ∴∠BND+∠CND=90°, 即 ∠CNB=90°, ∴CN⊥AB; (2)解：∵BM⊥AC,CN⊥AB, ∴∠BNC=∠BMC=90°, ∵D 为 BC 的中点， ∴DN=BD,DM=CD, ∴∠BND=∠NBD,∠DMC=∠MCD, ∴∠BND+∠DMC=∠ABC+∠ACB=180°-∠A=125°, ∴∠AND+∠AMD=360°-125°=235°, ∴∠MDN=360°-∠A-∠AND-∠AMD=70°, 故答案为：70 . 20/25 学科网（北京）股份有限公司 24 . (8分)(1)在△ABC中 ，AB=AC, 在 AC 上确定 一个点E, 使得∠BEC=2∠A. (要求： 用直尺和圆规作图，保留作图痕迹) (2)如图，已知△ABC, 在平面内确定 一个点E, 使得 (要求：用直尺和圆 规作图，保留作图痕迹) 21/25 学科网（北京）股份有限公司 C ① 【分析】(1)作线段AB ② 的垂直平分线交AC 于 点E, 点 E 即为所求； (2)延长BC 到 E, 使 得CE=CA, 连接AE, 点E 即为所求 . 【解答】解：(1)如图①中，点E 即为所求； ( C ) ① (2)如图②中，点E 即为所求； ② 25. (8分)如图，在△ABC 中，点D、E 在边BC 上 ，BD=CE,DM⊥AC, 垂足为M, EN⊥AB, 垂 足 为N,DM 与EN 交于点P, 且 BN=CM. (1)求证：PD=PE; (2)连接AP, 并延长AP 交BC 于点Q, 求证：过点A 、P 的直线垂直平分线段BC. 【分析】(1)证明Rt△BNE≌Rt△CMD(HL), 得出∠NED=∠MDC. 则可得出结论； (2)得出PN=PM, 则AP 平分∠BAC, 由等腰三角形的性质可得出结论 . 【解答】证明：(1)∵DM⊥AC,EN⊥AB, ∴∠BNE=∠DMC=90°. ∵BD=CE, ∴BD+DE=CE+DE, ∴BE=CD. 在Rt△BNE与Rt△CMD中， ∴Rt△BNE≌Rt △CMD(HL). ∴∠NED=∠MDC. ∴PD=PE. (2)如图， 22/25 学科网（北京）股份有限公司 ∵Rt△BNE≌Rt△CMD, ∴∠B=∠C,NE=MD. ∵∠B=∠C, ∴AB=AC. ∵NE=MD,PD=PE, ∴NE-PE=MD-PD, ∴PN=PM. ∵PN=PM,PN⊥AB,PM⊥AC, ∴AP 平分∠BAC. 即AQ 平分∠BAC. ∵AB=AC, ∴AQ⊥BC,BQ=CQ, 即 过 点A 、P 的直线垂直平分BC. 26 . (8分)(1)如图①,△ABC 是 等 边 三 角 形 ，M 为 边BC 的中点，连接AM, 将 线 段AM 顺 时针旋转120°,得到线段AD, 连 接BD; 点 N 在 BC 的延长线上，且CN=MC, 连 接AN. 求证： BD=AN. (2)若将问题(1)中的条件 “M 为 边BC 的中点”改为 “M 为 边BC 上的任意 一 点”,其他条 件不变，结论还成立吗?如果成立，请画出图形并给出证明；如果不成立，请举出反例 . 图 ① 图 ② 【分析】(1)证明△DBA≌△ANM(SAS), 可 得BD=AN. (2)分两种情形：①如图② - 1中，当 时，分别过点A 、 点D 作AG⊥BM、DH ⊥BA 垂足分别为G 、H. 证明△DAH≌△AMG(AAS), 推 出DH=AG,AH=GM, 再 证 明 △DBH≌△ANG(SAS), 可 得BD=AN.② 当 , 同 法 可 得BD=AN. 【解答】解：(1)∵△ ABC 是等边三角形， 23/25 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,AB=BC=AC, 又 ∵M 是BC 的中点， ∴∠AMB=∠AMN=90°,BC=2BM=2MC, ∵AM 顺时针旋转120°得到线段AB, ∴∠MAD=120°,AD=AM, ∴∠BAD=∠MAD-∠BAM=120°-30°=90°, ∴∠BAD=∠AMN=90°, ∵MC=CN, ∴MN=2MC=BC=AB, 在△DBA 和△ANM 中 ， ∴△DBA≌△ANM(SAS), ∴BD=AN. (2)结论成立，理由如下： ①如图② - 1中，当时，分别过点A 、点 D 作AG⊥BM 、DH⊥BA 垂足分别为 G、H. 24/25 学科网（北京）股份有限公司 D 图②-1 ( N ) 图②-2 ∴∠DHB=∠AGM=90°, ∵∠AMG+∠BAM+∠ABC=180°,∠ABC=60°, ∴∠AMG=180°-∠ABC-∠BAM=120°-∠BAM, ∵AM 顺时针旋转120°得到线段AB, ∴∠MAD=120°,AD=AM, ∴∠DAB=120°-∠BAM, ∴∠DAB=∠AMB, 在△ DAH 和△AMG 中， ∴△DAH≌△AMG(AAS), ∴DH=AG,AH=GM, 又∵△ABC 是等边三角形， AG⊥BM, ∴BG=GC, ∴GN=GC+CN=GC+CM=BG+GC-GM=BC-GM, 又∵BH=AB-HA,AH=GM,AB=BC, ∴BH=GN. ∵DH=AG,∠DHA=∠AGM=90°,BH=GN, 在△DBH 和△ANG 中， ∴△DBH≌△ANG(SAS), ∴BD=AN. ②当 时，同法可得 BD=AN. 25/25 学科网（北京）股份有限公司 $