第22章 一元二次方程（高效培优讲义）数学华东师大版2024九年级上册

该初中数学一元二次方程单元复习讲义以“概念-解法-应用”为主线构建知识体系，通过考点梳理表（涵盖定义、解法、判别式等10大考点）和方法对比框架图呈现知识脉络，突出配方法原理、实际问题建模等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计与素养导向训练，如“增长率问题”典例结合变式题组培养模型意识，“配方法求最值”专题强化运算能力。每种题型附方法技巧（如因式分解法“右化零左分解”口诀），基础生可掌握通法，优生能突破含参综合题，助力教师实施精准复习教学。

第22章 一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的定义及一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），能准确辨析方程类型。 2.熟练掌握直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，能根据方程特征选择最优解法。 3.掌握根的判别式（Δ=b²-4ac），能判断方程根的情况并解决相关问题。 4.能运用一元二次方程解决增长率、面积、利润等实际问题，完成“审-设-列-解-验-答”全流程。 5.建立方程建模思想，培养严谨的运算习惯和实际应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的定义辨析与一般形式转化。 （2）四种解法的熟练运用及灵活选择（因式分解法、公式法为高频考点）。 （3）根的判别式与方程根的情况的对应关系。 （4）实际问题中等量关系的提炼与方程建模。 （5）方程解的实际意义检验与取舍。 2.难点 （1）配方法的原理理解与步骤规范（尤其是二次项系数不为1的配方）。 （2）复杂实际问题中数量关系的分析与建模。 （3）解法选择的优化策略（如因式分解法适用场景判断）。 （4）根的判别式与含参问题的综合运用。 （5）运算过程中符号处理与计算准确性把控。 考点01一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般形式：（），其中为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 3.注意事项：①判断前需先将方程化为一般形式；②二次项系数是一元二次方程的核心条件；③项与系数均包含其前面的符号。 考点02一元二次方程的解(根) 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，也称为方程的根。 2.根的判断方法：将未知数的值代入方程，验证左右两边是否相等。 3.根的性质：一元二次方程最多有两个实数根(相等或不相等)，也可能无实数根。 考点03一元二次方程的四种解法 1.直接开平方法：①适用类型：()或；②步骤：直接开平方转化为两个一元一次方程，求解即可。 2.因式分解法：①适用类型：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积；②步骤：移项(右化零)→因式分解(左分解)→转化为一元一次方程→求解。 3.配方法：①适用所有一元二次方程；②步骤：化二次项系数为1→移常数项到等号右边→配方(两边加一次项系数一半的平方)→开平方求解。 4.公式法：①适用所有一元二次方程；②求根公式：()；③步骤：化一般形式→确定、、的值→计算判别式→代入公式求解。 考点04根的判别式() 1.根的情况判断：①→方程有两个不相等的实数根； ②→方程有两个相等的实数根； ③→方程无实数根。 2.核心应用：①不解方程直接判断根的情况； ②根据根的情况求参数的取值范围(需注意的前提)。 3.拓展结论：①若与符号相反，方程必有两个不相等的实数根； ②若且，方程必有两个不相等的实数根。 考点05根与系数的关系(韦达定理) 1.核心结论：若方程(，)的两根为、，则，。 2.常见变形：①； ②； ③。 3.应用场景：①已知一根求另一根及参数值； ②求与根相关的代数式的值； ③根据根的关系构造新方程。 考点06一元二次方程的实际应用 1.增长率/降低率问题：①公式：(为变化前基数，为平均变化率，为变化次数，为变化后量)。 2.几何面积问题：核心思路：通过平移、割补将不规则图形转化为矩形、三角形等规则图形，结合面积公式列方程(边长需为正数)。 3.营销利润问题：①等量关系：总利润=(售价-进价)×销售量； ②步骤：设变量→表示售价与销售量→根据利润条件列方程。 4.传播与计数问题：①传播问题：总感染人数； ②单循环比赛：总场数(为参赛队伍数)。 考点07配方法的综合应用 1.求代数式最值：将二次三项式化为的形式，时取最小值，时取最大值。 2.判断三角形形状：通过配方将边长关系代数式转化为非负数和的形式，利用“非负数和为0则各非负数均为0”求边长关系。 3.代数式恒等变形：解决与完全平方相关的求值、比较大小问题。 考点08换元法解复杂方程 1.适用类型：方程中含有重复出现的代数式(如、等)。 2.步骤：设重复代数式为换元量→转化为关于的一元二次方程→求解→回代求原未知数的值(需验根)。 考点09含参一元二次方程的分类讨论 1.讨论前提：①二次项系数含参时，先判断方程是否为一元二次方程()，再结合判别式、韦达定理分析；②方程“有实数根”需分一元一次()和一元二次(且）两种情况。 2.常见场景：①求参数使方程有实数根/两个相等/不等实根； ②求参数使方程的根为正整数/整数根； ③结合等腰三角形、矩形等几何图形的边长关系求参数。 题型01一元二次方程的识别与求参 方法技巧： 1.紧扣3个条件：整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2。 2.二次项系数a≠0是关键（含参数时需优先验证），整理方程后再判断。 3.排除分式方程（分母含未知数）、多元方程（含2个及以上未知数）、高次方程（次数＞2）。 【典例1】．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【变式2】．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式3】．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 题型02一元二次方程的解法 方法技巧： 1.直接开平方法：适用（）或（），直接开平方→转化一元一次方程→求解，无实根。 2.因式分解法：适用右边为0、左边可分解的方程，核心“右化零、左分解、各求解”，不直接约去含未知数的因式。 3.配方法：步骤“化1→移项→配方→开方→求解”，配方时两边加一次项系数一半的平方，保持等式恒等。 【典例1】．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）解方程： (1) (2) 【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）解方程： (1)． (2)． 【变式2】．（22-23七年级下·广西桂林·期末）解方程 (1) (2) 【变式3】．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程 (1) (2) 题型03根的判别式的应用(判断根的情况与求参数范围) 方法技巧： 1.判别式：，→两不等实根；→两相等实根；→无实根。 2.含参数时：先保证方程是一元二次方程()，再根据根的情况列不等式(如两不等实根→且)。 3.特殊情况：方程可能是一元一次方程(且)，需分情况讨论。 【典例1】．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，求方程的根． 【变式1】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【变式2】．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【变式3】．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 题型04根与系数的关系(韦达定理)的综合应用 方法技巧： 1.核心关系：对于(，)，，。 2.常见变形：，。 3.步骤：先求和，再将代数式变形代入，注意验证(保证根存在)。 【典例1】．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【变式1】．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 【变式2】．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【变式3】．（25-26九年级上·福建三明·期中）关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根为 ，，且，求的值． 题型05配方法解一元二次方程及最值求解 方法技巧： 1.解方程步骤：化1(二次项系数为1)→移项(常数项右移)→配方(加一次项系数一半的平方)→开方→求解。 2.求最值：将二次三项式化为，时取最小值，时取最大值。 3.易错点：配方时需保持等式恒等(两边同时加相同的数)。 【典例1】．（25-26九年级上·江西九江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【变式2】．（25-26九年级上·四川自贡·期中）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化为， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)直接写出不等式的解集是___________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 【变式3】．（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 题型06一元二次方程的实际应用 方法技巧： 1.常见场景：行程、工程、浓度、计费等问题。 2.核心步骤：审题找等量关系→设未知数→列方程→解方程→验证实际意义。 3.关键：等量关系是核心，注意单位统一，舍去非正根等不符合实际的解。 【典例1】．（23-24八年级下·山东东营·期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【变式1】．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【变式2】．（25-26九年级上·河北唐山·期中）（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【变式3】．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 题型07一元二次方程的构造 方法技巧： 1.已知两根、：方程为，展开为。 2.已知根与系数关系、：方程为。 3.已知根的特征：如“一根为0”→常数项；“两根互为相反数”→一次项系数()，构造后可验证根的情况。 【典例1】．（25-26九年级上·福建泉州·期中）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 【变式1】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）【阅读材料，解答问题】 已知实数m，n满足，且，则m，n是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)已知实数a，b满足，且，求和ab的值； (2)已知实数m，n满足，且，求代数式的值． 【变式2】．（25-26九年级上·广东河源·阶段练习）【知识技能】材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．材料：已知一元二次方程2的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期中）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程，的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n且，满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，求c的最大值． 题型08判别式法求最值 方法技巧： 1.核心思路：设代数式值为，转化为一元二次方程()，利用“实数根存在→”求的范围(最值)。 2.步骤：设值→转化方程→计算→列不等式→求解最值。 3.关键：确保转化后为一元二次方程()，时单独验证。 【典例1】．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【变式1】．（24-25九年级下·山东泰安·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数．在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决未知函数的最值问题，这种方法叫作判别式法． 例：已知函数，当取何值时，取最小值？最小值为多少？ 解：，， 方程有实数根，，即， 的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，取最小值，最小值为． (1)已知函数，请用判别式法求y的最大值； (2)已知实数满足，请求出的最小值． 【变式3】．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）【阅读理解】我们把叫作一元二次方程（）根的判别式.当一元二次方程（）有实数根时，判别式，即得到一个关于a、b、c的不等关系式，我们把利用判别式解决问题的方法叫作判别式法． 【例题示范】例：已知关于x的方程有实数根，求c的取值范围． 解：一元二次方程有实数根的条件是，即，解得． 【问题解决】 (1)关于x的方程有实数根，求t的值或取值范围． (2)用一段长16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长是xcm，面积是S． ①用x的代数式表示S，并将此等式整理成关于x的一元二次方程的一般形式； ②请运用判别式法求S的最大值，并求出此时x的值． 题型09一元二次方程与几何图形综合 方法技巧： 1.常见模型：矩形场地修路、四周镶边框、裁剪正方形折盒子等。 2.关键：通过“平移法”转化图形(如修路问题→将剩余部分拼成新矩形)，用未知数表示边长。 3.列方程：根据面积公式(矩形面积=长×宽)建立方程，注意边长为正(舍去负根)。 4.示例：长90cm、宽40cm的油画镶边框，边框宽，则挂图面积为。 【典例1】．（25-26九年级上·广东·阶段练习）项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解即的做法为例，分别展示． 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个长都是，宽都是的相同矩形，构造成图1形状的大正方形．    材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和2个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形．    问题解决 任务一 材料一中，大正方形面积可以表示为（_____）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于_____，故可得到方程（_____）______， 任务二 材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为（______）_____； 任务三 请通过上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程方程．   你选择的是______构图法（填写①或②，①为赵爽构图法，②为阿尔•花拉子米构图法），在图中标注出相关线段的长；请在已经画好的图形上进行补充，并根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔•花拉子米构图法中已经画好了一个正方形，需要写出必要的推算过程） 【变式1】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）综合与实践 【问题呈现】 为了改善学生的学习环境，某新建学校要把一块矩形空地进行绿化，规划把空地面积的一半建造一个美丽花坛，剩余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理有创意，学校决定在全校同学中征集设计方案．该校数学兴趣小组的同学决定对此项目进行探究． 【问题解决】 工具：卷尺、标杆、笔、记录本等 任务：测量矩形空地的长和宽． 测量结果：矩形空地的长为米，宽为米． 【问题拓展】 拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为厘米，在边上确定中点，则的长应为_______； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形进行绿化，其余部分作为花坛，如图．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【问题应用】学校后期从同学们的投稿中，选取合适的方案，按照图纸进行绿化． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）综合与实践 【项目主题】 某数学实践小组准备用一元二次方程的相关知识为某小型夜市的升级改造提供方案． 【项目准备】 （1）布局知识学习：在一块矩形夜市场地中，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道． （2）布局方式构建：如图，已知矩形夜市场地的长为60米，宽为30米，摊位总面积为1000平方米．设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为 ① 米，根据摊位总面积可列方程 ② ，从而求得人行过道的宽为 ③ 米． 【项目分析】 （3）租金调整商讨：夜市通过改善环境，融入地方特色，对摊位每月的租金进行适当的调整，最终决定上涨租金． ①项目条件：该夜市共有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为5000元时，摊位刚好全部租完． ②基本约定： （ⅰ）所有横向或纵向人行过道平行，三排摊位之间也平行； （ⅱ）租金单价统一． （4）方案论证：通过调查后发现每个摊位的月租金每上涨100元，就会少租出1个摊位，设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为 ④ 个，已知升级改造后夜市的月租金收入的总金额为302500元，可列方程 ⑤ 求出a的值，最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为 ⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用升级改造方案，并确认摊位的租金（略）． 请将上述材料横线上所缺内容补充完整： ①________________；②________________；③________________；④________________； ⑤________________；⑥________________． 【变式3】．（25-26九年级上·福建漳州·期中）在“制作长方体包装盒”的综合实践课上，老师提供了以下素材和制作方案． 【素材】长为、宽为的长方形纸板，热熔胶． 【制作方案】 方案一：如图所示，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．（图中阴影部分为裁去的余料，下同）      方案二：如图所示，在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来，折成一个无盖的长方体包装盒．    方案三：如图所示，在卡纸的四个角分别减去两个小正方形和两个长方形，再沿虚线折合起来，折成一个有盖的长方体包装盒．    【问题解决】 (1)求方案一制作的无盖长方体包装盒的容积．（忽略纸板的厚度） (2)按方案二制作无盖长方体包装盒，设剪去的小正方形的边长为． （ⅰ）若该包装盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （ⅱ）随着的值按整数值变化，折成的包装盒的容积也随之变化． 小正方形的边长 … … 包装盒的容积 … … 根据表格，若要制作一个容积最大的包装盒，则整数应取何值． (3)按方案三制作有盖长方体包装盒，能否使得长方形底面的长宽比为，若可以，请求出剪去的小正方形的边长的值，若不可以，请说明理由． 题型10新定义运算与一元二次方程综合 方法技巧： 1.步骤：先理解新定义规则(如)→将新运算转化为一元二次方程→按常规方法求解。 2.关键：紧扣新定义的运算逻辑，注意运算顺序和符号。 【典例1】．（25-26九年级上·广东茂名·期中）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 【变式1】．（25-26九年级上·广东深圳·月考）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________． 【变式2】．（25-26九年级上·福建莆田·期中）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、 ．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为 ；并证明你的猜想． (3)已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【变式3】．（25-26九年级上·福建厦门·月考）我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的定义及一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），能准确辨析方程类型。 2.熟练掌握直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，能根据方程特征选择最优解法。 3.掌握根的判别式（Δ=b²-4ac），能判断方程根的情况并解决相关问题。 4.能运用一元二次方程解决增长率、面积、利润等实际问题，完成“审-设-列-解-验-答”全流程。 5.建立方程建模思想，培养严谨的运算习惯和实际应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的定义辨析与一般形式转化。 （2）四种解法的熟练运用及灵活选择（因式分解法、公式法为高频考点）。 （3）根的判别式与方程根的情况的对应关系。 （4）实际问题中等量关系的提炼与方程建模。 （5）方程解的实际意义检验与取舍。 2.难点 （1）配方法的原理理解与步骤规范（尤其是二次项系数不为1的配方）。 （2）复杂实际问题中数量关系的分析与建模。 （3）解法选择的优化策略（如因式分解法适用场景判断）。 （4）根的判别式与含参问题的综合运用。 （5）运算过程中符号处理与计算准确性把控。 考点01一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般形式：（），其中为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 3.注意事项：①判断前需先将方程化为一般形式；②二次项系数是一元二次方程的核心条件；③项与系数均包含其前面的符号。 考点02一元二次方程的解(根) 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，也称为方程的根。 2.根的判断方法：将未知数的值代入方程，验证左右两边是否相等。 3.根的性质：一元二次方程最多有两个实数根(相等或不相等)，也可能无实数根。 考点03一元二次方程的四种解法 1.直接开平方法：①适用类型：()或；②步骤：直接开平方转化为两个一元一次方程，求解即可。 2.因式分解法：①适用类型：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积；②步骤：移项(右化零)→因式分解(左分解)→转化为一元一次方程→求解。 3.配方法：①适用所有一元二次方程；②步骤：化二次项系数为1→移常数项到等号右边→配方(两边加一次项系数一半的平方)→开平方求解。 4.公式法：①适用所有一元二次方程；②求根公式：()；③步骤：化一般形式→确定、、的值→计算判别式→代入公式求解。 考点04根的判别式() 1.根的情况判断：①→方程有两个不相等的实数根； ②→方程有两个相等的实数根； ③→方程无实数根。 2.核心应用：①不解方程直接判断根的情况； ②根据根的情况求参数的取值范围(需注意的前提)。 3.拓展结论：①若与符号相反，方程必有两个不相等的实数根； ②若且，方程必有两个不相等的实数根。 考点05根与系数的关系(韦达定理) 1.核心结论：若方程(，)的两根为、，则，。 2.常见变形：①； ②； ③。 3.应用场景：①已知一根求另一根及参数值； ②求与根相关的代数式的值； ③根据根的关系构造新方程。 考点06一元二次方程的实际应用 1.增长率/降低率问题：①公式：(为变化前基数，为平均变化率，为变化次数，为变化后量)。 2.几何面积问题：核心思路：通过平移、割补将不规则图形转化为矩形、三角形等规则图形，结合面积公式列方程(边长需为正数)。 3.营销利润问题：①等量关系：总利润=(售价-进价)×销售量； ②步骤：设变量→表示售价与销售量→根据利润条件列方程。 4.传播与计数问题：①传播问题：总感染人数； ②单循环比赛：总场数(为参赛队伍数)。 考点07配方法的综合应用 1.求代数式最值：将二次三项式化为的形式，时取最小值，时取最大值。 2.判断三角形形状：通过配方将边长关系代数式转化为非负数和的形式，利用“非负数和为0则各非负数均为0”求边长关系。 3.代数式恒等变形：解决与完全平方相关的求值、比较大小问题。 考点08换元法解复杂方程 1.适用类型：方程中含有重复出现的代数式(如、等)。 2.步骤：设重复代数式为换元量→转化为关于的一元二次方程→求解→回代求原未知数的值(需验根)。 考点09含参一元二次方程的分类讨论 1.讨论前提：①二次项系数含参时，先判断方程是否为一元二次方程()，再结合判别式、韦达定理分析；②方程“有实数根”需分一元一次()和一元二次(且）两种情况。 2.常见场景：①求参数使方程有实数根/两个相等/不等实根； ②求参数使方程的根为正整数/整数根； ③结合等腰三角形、矩形等几何图形的边长关系求参数。 题型01一元二次方程的识别与求参 方法技巧： 1.紧扣3个条件：整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2。 2.二次项系数a≠0是关键（含参数时需优先验证），整理方程后再判断。 3.排除分式方程（分母含未知数）、多元方程（含2个及以上未知数）、高次方程（次数＞2）。 【典例1】．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据一元二次方程的定义，对四个选项中的方程逐一分析，再进行判断． 【详解】解：是二元一次方程，故A不符合； 是一元二次方程，故B符合； 中最高次数为3，故C不符合； 中分母含未知数，故D不符合， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 【变式2】．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，可得且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为3． 题型02一元二次方程的解法 方法技巧： 1.直接开平方法：适用（）或（），直接开平方→转化一元一次方程→求解，无实根。 2.因式分解法：适用右边为0、左边可分解的方程，核心“右化零、左分解、各求解”，不直接约去含未知数的因式。 3.配方法：步骤“化1→移项→配方→开方→求解”，配方时两边加一次项系数一半的平方，保持等式恒等。 【典例1】．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， 配方，得：， ， 直接开平方，得：， ， ，； （2）解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ， 或， ，． 【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)无实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（直接开平方法）及判别式的应用，熟练掌握一元二次方程的解法和判别式的意义是解题的关键． （1）先将方程两边同时除以2，再利用直接开平方法求解； （2）通过计算判别式判断方程根的情况． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∵， ∴此方程无实数根． 【变式2】．（223七年级下·广西桂林·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程、解二元一次方程组，熟练掌握直接开平方法及加减消元法是解题的关键． （1）移项、化系数为1，再直接开平方求根即可； （2）利用加减消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）移项得， 即， ， 所以解为，； （2）解：， 由，得：，解得：， 把代入①中，得：，解得：， ∴方程组的解为： 【变式3】．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握因式分解法，求根公式解一元二次方程是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）运用求根公式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 提取公因式得， 解得： （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得：，， 题型03根的判别式的应用(判断根的情况与求参数范围) 方法技巧： 1.判别式：，→两不等实根；→两相等实根；→无实根。 2.含参数时：先保证方程是一元二次方程()，再根据根的情况列不等式(如两不等实根→且)。 3.特殊情况：方程可能是一元一次方程(且)，需分情况讨论。 【典例1】．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，求方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的判别式判断根的情况及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出该方程根的判别式，证明其判别式的值大于0即可， （2）把代入方程，再解方程即可． 【详解】（1）证明：， ， ，即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：当时，原方程为， 解得，． 【变式1】．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据题意列出关于k的不等式，即可求得k的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 【变式2】．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法求一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及一元二次方程的求解． （1）求方程的判别式为，即可求证； （2）由方程可得，解得，，根据有一根为负数可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由方程可得，，，， 则判别式， 则无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由方程可得， 解得，， 由有一个根为负数可得，，解得． 【变式3】．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 且 (2)的值为2，方程的另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． (1)由于方程有实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零； (2)将根代入方程可求，再通过因式分解求另一个根． 【详解】（1）解：∵方程为一元二次方程且有实数根， ∴，即， 且判别式， 即， ， ， ， 故且； （2）解：将代入方程得， 即， ， ， 此时方程为，即， 因式分解得， 或， 解得：， ∴另一个根为． 综上所述：的值为2，方程的另一个根为． 题型04根与系数的关系(韦达定理)的综合应用 方法技巧： 1.核心关系：对于(，)，，。 2.常见变形：，。 3.步骤：先求和，再将代数式变形代入，注意验证(保证根存在)。 【典例1】．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系等． （1）根据方程可知，，，再利用即可证明本题答案； （2）利用方程可知，，再将题干式子通分代入两根之和与两根之积，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ， ， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 检验，是分式方程的解， ∴m的值为1． 【变式1】．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)0或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其大于零即可； （2）由根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， 即， 解得，， 的值为0或． 【变式2】．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； （2）解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 或3， 又， ． 【变式3】．（25-26九年级上·福建三明·期中）关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根为 ，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）计算一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将已知等式变形得出，继而解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ 方程总有两个实数根； （2）解：∵， 即 ∴，则，即 解得：，． 题型05配方法解一元二次方程及最值求解 方法技巧： 1.解方程步骤：化1(二次项系数为1)→移项(常数项右移)→配方(加一次项系数一半的平方)→开方→求解。 2.求最值：将二次三项式化为，时取最小值，时取最大值。 3.易错点：配方时需保持等式恒等(两边同时加相同的数)。 【典例1】．（25-26九年级上·江西九江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2022． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 【变式2】．（25-26九年级上·四川自贡·期中）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化为， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)直接写出不等式的解集是___________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程． （1）仿照例题进行解答即可； （2）令，然后转化成，再根据判别式得到，最后仿照例题解答即可； （3）令，得到，然后根据判别式得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， 或， 解得：或， ∴不等式的解集是或； （2）解：令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：令， ， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， ， 或， ∴或． 【变式3】．（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，多项式有最小值，最小值为5 【分析】本题考查了配方法的应用，熟悉掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解答即可； （2）利用配方法因式分解即可； （3）利用配方法，先把原式化为，再利用平方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： 故答案为：25； （2）解： ； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为5． 题型6一元二次方程的实际应用 方法技巧： 1.常见场景：行程、工程、浓度、计费等问题。 2.核心步骤：审题找等量关系→设未知数→列方程→解方程→验证实际意义。 3.关键：等量关系是核心，注意单位统一，舍去非正根等不符合实际的解。 【典例1】．（23-24八年级下·山东东营·期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 【变式1】．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【变式2】．（25-26九年级上·河北唐山·期中）（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 【变式3】．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），；（2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个；（3）不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 题型07一元二次方程的构造 方法技巧： 1.已知两根、：方程为，展开为。 2.已知根与系数关系、：方程为。 3.已知根的特征：如“一根为0”→常数项；“两根互为相反数”→一次项系数()，构造后可验证根的情况。 【典例1】．（25-26九年级上·福建泉州·期中）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．请你完成下面两个问题： (1)已知实数m、n满足、，求的值． (2)已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值． 【答案】(1)或2 (2)3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，不等式，根的判别式等知识，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 当m、n不相等时，由题意可知m，n是方程的两个实数根，再由根与系数的关系可得和的值，即可解答；当m、n相等时，直接将代入计算即可； 由题意可知a，b是方程的两个实数根，再由根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当m、n不相等时， 实数m、n满足、， ，n是方程的两个实数根， ，， ； 当m、n相等时， ； 综上所述，的值为或2； （2）解：，， ， ， ，b是关于x的方程的两个根，且，， ， ， ， ， ， ， 的最大值是 【变式1】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）【阅读材料，解答问题】 已知实数m，n满足，且，则m，n是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)已知实数a，b满足，且，求和ab的值； (2)已知实数m，n满足，且，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． （1）由题意，a和b是方程的两个不等实根，直接应用根与系数的关系求解； （2）由方程变形得出和n满足相同方程，且由于，它们是不等实根，利用根与系数的关系得到，再代入代数式化简求值． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足, 且， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，． （2）解：∵，且， 两边除以，得， 令，则， 又∵，且，即， ∴t和n是方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴，，即， 代数式 ∵， ∴， 由得， ∴， ， ， ∴原式． 【变式2】．（25-26九年级上·广东河源·阶段练习）【知识技能】材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．材料：已知一元二次方程2的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可求解； （2）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解； （3）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解． 【详解】解：（1）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （2）根据根与系数的关系得，， ∴； （3）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 【变式3】．（25-26九年级上·广东深圳·期中）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程，的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n且，满足、，求的值． (2)已知实数p、q满足、，且，求的值． (3)已知实数a、b、c满足、，求c的最大值． 【答案】(1)20 (2)1 (3)2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）以及利用判别式求参数最值． （1）由条件可知和是方程的两个根，利用韦达定理得到和的值，再通过恒等变形求． （2）将第二个方程变形为关于的方程，结合第一个方程，可知和是方程的两个根，利用韦达定理得到和的值，再代入所求表达式． （3）由条件表示出和，根据和为实数，则判别式非负，建立关于的不等式，求解得到的最大值． 【详解】（1）解：，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， ∴是方程的根， ，且， ， ∴是方程的根， 又 ∵，即， ∴和是方程的两个不相等的实数根， ， ． （3）解：， ， ， 又， ， ∴是方程的实数根， 即方程有实数根， ∴判别式， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ∴的最大值为2． 题型08判别式法求最值 方法技巧： 1.核心思路：设代数式值为，转化为一元二次方程()，利用“实数根存在→”求的范围(最值)。 2.步骤：设值→转化方程→计算→列不等式→求解最值。 3.关键：确保转化后为一元二次方程()，时单独验证。 【典例1】．（24-25九年级上·广东深圳·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务2：根据材料令，利用判别式解答即可； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为，列出关系式，根据材料变形为，利用判别式解答即可． 【详解】任务1：解：设 任务2：解：令 又的最小值为－1 ； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为    当时，有最大值，为 周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【变式1】．（24-25九年级下·山东泰安·期中）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 任务 1：根据材料设，利用判别式解答即可； 任务 2：根据材料令，利用判别式解答即可 【详解】解：任务1：令， ． ． 解得：， ∴的最小值为． 任务2：由题意，令， ． ． 解得：， 又最小值为， ∴， 解得：． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数．在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决未知函数的最值问题，这种方法叫作判别式法． 例：已知函数，当取何值时，取最小值？最小值为多少？ 解：，， 方程有实数根，，即， 的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，取最小值，最小值为． (1)已知函数，请用判别式法求y的最大值； (2)已知实数满足，请求出的最小值． 【答案】(1)y的最大值为 (2)的最小值为 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，求不等式的解集，读懂题意、利用求解是解题的关键． （1）仿照题目所给的解题方法，将二次函数变换为一元二次方程，令求解即可； （2）先将原式变形为，根据根的判别式得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解得：， 即的最大值是； （2）解：∵， ∴， ， 解得：， ∴的最小值为． 【变式3】．（222八年级下·江苏泰州·期末）【阅读理解】我们把叫作一元二次方程（）根的判别式.当一元二次方程（）有实数根时，判别式，即得到一个关于a、b、c的不等关系式，我们把利用判别式解决问题的方法叫作判别式法． 【例题示范】例：已知关于x的方程有实数根，求c的取值范围． 解：一元二次方程有实数根的条件是，即，解得． 【问题解决】 (1)关于x的方程有实数根，求t的值或取值范围． (2)用一段长16cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的长是xcm，面积是S． ①用x的代数式表示S，并将此等式整理成关于x的一元二次方程的一般形式； ②请运用判别式法求S的最大值，并求出此时x的值． 【答案】(1)t=2 (2)①，；②S最大值为16，x=4 【分析】（1）根据材料提供的思路即可解决； （2）①由题意可表示出矩形的宽，从而可得到S关于x的关系式，然后整理即可； ②根据材料提供的思路即可求得S的最大值及此时x的值． 【详解】（1）由题意得：，     整理得：， ∵， ∴t−2=0， 即t=2． （2）①由题意得：矩形的宽为， 则矩形的面积为：， 整理成关于x的一元二次方程的一般形式为：； ②由于关于x的一元二次方程有正实数解， ∴， ∴， 即S的最大值为16，此时，解得： ， 即当x=4时，S取得最大值16． 【点睛】本题是材料阅读与问题解决的问题，读懂题中提供的材料并能灵活运用是解题的关键． 题型9一元二次方程与几何图形综合 方法技巧： 1.常见模型：矩形场地修路、四周镶边框、裁剪正方形折盒子等。 2.关键：通过“平移法”转化图形(如修路问题→将剩余部分拼成新矩形)，用未知数表示边长。 3.列方程：根据面积公式(矩形面积=长×宽)建立方程，注意边长为正(舍去负根)。 4.示例：长90cm、宽40cm的油画镶边框，边框宽，则挂图面积为。 【典例1】．（25-26九年级上·广东·阶段练习）项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解即的做法为例，分别展示． 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个长都是，宽都是的相同矩形，构造成图1形状的大正方形．    材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和2个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形．    问题解决 任务一 材料一中，大正方形面积可以表示为（_____）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于_____，故可得到方程（_____）______， 任务二 材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为（______）_____； 任务三 请通过上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程方程．   你选择的是______构图法（填写①或②，①为赵爽构图法，②为阿尔•花拉子米构图法），在图中标注出相关线段的长；请在已经画好的图形上进行补充，并根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔•花拉子米构图法中已经画好了一个正方形，需要写出必要的推算过程） 【答案】任务一：，， 任务二： 任务三：正数解是5，详见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于任务一，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积列出方程； 对于任务二，大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个正方形的面积列出方程； 对于任务三，根据以上两个任务解答，再求出解. 【详解】解：任务一：材料一中，大正方形可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得到方程； 故答案为：，，； 任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为； 故答案为：； 任务三：选择①， 赵爽构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是55的矩形，用4个相同的矩形构造如下图的大正方形， 解得（舍）. 则正数解是5； 选择②， 阿尔花粒子构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是55的矩形，剪去两个相邻的长，宽都分别3和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，如下图： ， 解得（舍）， 则正数解是5． 【变式1】．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）综合与实践 【问题呈现】 为了改善学生的学习环境，某新建学校要把一块矩形空地进行绿化，规划把空地面积的一半建造一个美丽花坛，剩余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理有创意，学校决定在全校同学中征集设计方案．该校数学兴趣小组的同学决定对此项目进行探究． 【问题解决】 工具：卷尺、标杆、笔、记录本等 任务：测量矩形空地的长和宽． 测量结果：矩形空地的长为米，宽为米． 【问题拓展】 拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为厘米，在边上确定中点，则的长应为_______； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形进行绿化，其余部分作为花坛，如图．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【问题应用】学校后期从同学们的投稿中，选取合适的方案，按照图纸进行绿化． 【答案】（1）厘米；（2）小路的宽为厘米时符合设计要求；（3）见解析 【分析】本题主要运用矩形面积公式、比例尺以及轴对称图形的相关知识． （1）根据矩形长和比例尺计算对应线段长度，进而即可算出花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）通过设未知数，利用矩形面积关系建立方程求解； （3）根据轴对称图形性质进行设计方案绘制． 【详解】（1）为中点， 厘米， 故答案为：厘米； ， ； （2）设小路的宽为厘米时符合设计要求，则：， ， ，（不符合题意，舍去）， 小路的宽为厘米时符合设计要求； （3）（答案不唯一，符合题意即可） 如图：连接，交于点， 四边形是矩形，，， ，， ， ≌， 同理：≌， ， ，且阴影部分是轴对称图形， 第三小组计划设计的花坛部分符合要求． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）综合与实践 【项目主题】 某数学实践小组准备用一元二次方程的相关知识为某小型夜市的升级改造提供方案． 【项目准备】 （1）布局知识学习：在一块矩形夜市场地中，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道． （2）布局方式构建：如图，已知矩形夜市场地的长为60米，宽为30米，摊位总面积为1000平方米．设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为 ① 米，根据摊位总面积可列方程 ② ，从而求得人行过道的宽为 ③ 米． 【项目分析】 （3）租金调整商讨：夜市通过改善环境，融入地方特色，对摊位每月的租金进行适当的调整，最终决定上涨租金． ①项目条件：该夜市共有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为5000元时，摊位刚好全部租完． ②基本约定： （ⅰ）所有横向或纵向人行过道平行，三排摊位之间也平行； （ⅱ）租金单价统一． （4）方案论证：通过调查后发现每个摊位的月租金每上涨100元，就会少租出1个摊位，设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为 ④ 个，已知升级改造后夜市的月租金收入的总金额为302500元，可列方程 ⑤ 求出a的值，最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为 ⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用升级改造方案，并确认摊位的租金（略）． 请将上述材料横线上所缺内容补充完整： ①________________；②________________；③________________；④________________； ⑤________________；⑥________________． 【答案】①；②；③5；④；⑤；⑥5500 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，设出未知数，列出方程是解题关键． 项目准备：设人行过道宽为x米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； 项目分析：设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为个，根据题意列出一元二次方程方程，解方程，即可求解． 【详解】解：项目准备：设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为米， 根据摊位总面积可列方程：， 解得：， 当时，，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 则人行过道的宽为5米； 项目分析：设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为个，由题意得： ， 解得：， 元， 答：最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为5500元． 【变式3】．（25-26九年级上·福建漳州·期中）在“制作长方体包装盒”的综合实践课上，老师提供了以下素材和制作方案． 【素材】长为、宽为的长方形纸板，热熔胶． 【制作方案】 方案一：如图所示，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．（图中阴影部分为裁去的余料，下同）      方案二：如图所示，在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来，折成一个无盖的长方体包装盒．    方案三：如图所示，在卡纸的四个角分别减去两个小正方形和两个长方形，再沿虚线折合起来，折成一个有盖的长方体包装盒．    【问题解决】 (1)求方案一制作的无盖长方体包装盒的容积．（忽略纸板的厚度） (2)按方案二制作无盖长方体包装盒，设剪去的小正方形的边长为． （ⅰ）若该包装盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （ⅱ）随着的值按整数值变化，折成的包装盒的容积也随之变化． 小正方形的边长 … … 包装盒的容积 … … 根据表格，若要制作一个容积最大的包装盒，则整数应取何值． (3)按方案三制作有盖长方体包装盒，能否使得长方形底面的长宽比为，若可以，请求出剪去的小正方形的边长的值，若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）当小正方形的边长为时，所得到的包装盒容积最大 (3)按方案三制作有盖长方体包装盒，可以使得长方形底面的长宽比为，减去的小正方形的边长的值为或 【分析】本题考查了展开图折成几何体，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． （1）根据长方体的展开图以及正方形的性质，先计算每个小长方形的宽，再利用体积公式计算即可； （2）（ⅰ）根据面积公式列方程求解即可，注意验证实际意义；（ⅱ）先计算出的值，再通过表格上的数据判断即可； （3）先表示出长方体包装盒的底面长，，然后分和两种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：包装盒底面 为正方形， 每个小长方形的宽为， 方案一制作的无盖长方体包装盒的容积． （2） 解：（ⅰ）根据题意得， 整理得，即， 解得或（不符合实际意义，故舍去）， 剪去的小正方形的边长为． （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，该包装盒的底面积为， ， 观察表格可知，当小正方形的边长为时，所得到的包装盒容积最大． （3）解：方案三中，该长方体包装盒的底面长，， 若，即，可得： ， 解得； 若，即，可得： ， 解得； 按方案三制作有盖长方体包装盒，可以使得长方形底面的长宽比为，剪去的小正方形的边长的值为或． 题型10新定义运算与一元二次方程综合 方法技巧： 1.步骤：先理解新定义规则(如)→将新运算转化为一元二次方程→按常规方法求解。 2.关键：紧扣新定义的运算逻辑，注意运算顺序和符号。 【典例1】．（25-26九年级上·广东茂名·期中）探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： (1)请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． (2)已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； 【答案】(1)①不是“密码方程”， 理由见解析；②是“密码方程”，密码数是71，理由见解析； (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解二元一次方程组，理解“密码方程”的定义是解题关键． （1）根据“密码方程”的定义求解即可； （2）根据“密码方程”的密码数得到方程的两个根为，代入方程的到关于、二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①解得， 0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； （2）解：∵方程是“密码方程”，“密码数”是31， ∴方程的两个根为， 把分别代入得， ， 解得． ，满足“密码方程”的定义 【变式1】．（25-26九年级上·广东深圳·月考）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________． 【答案】(1) (2) (3)、 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用； （1）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （2）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； （3）由（2）可知，对方程两边同时除以，得，则方程的两根是两根的倒数，进而求解． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入，得， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根是，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以， 得， 则方程的两根是两根的倒数， 所以方程的两根分别是、， 故答案为：、． 【变式2】．（25-26九年级上·福建莆田·期中）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程” ． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、 ．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为 ；并证明你的猜想． (3)已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2) ， (3)两根分别为和 【分析】（1）根据“友好方程”的定义，，直接写出式子即可； （2）①根据（1）得出的“友好方程”，解出两根即可；②分析刚才得出的原方程和“友好方程”的两根，猜想关系，利用韦达定理证明猜想：设原方程两根为，其“友好方程”两根为，​，通过比较韦达定理的表达式推导关系； （3）应用第（2）问的结论可得，“友好方程”的两根，令，则方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程中， ， 则“友好方程”为． 故答案为． （2）①的“友好方程”是， ， 十字相乘法得， 解得：或， 故答案为． ②猜测：，， 原方程， ， ， “友好方程”， ，； ，， ，是的两根， 即，． 故答案为，． （3）关于x的方程的两根， “友好方程”的两根， 令，则方程变形为， ， 或 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根与系数的关系（韦达定理）、新定义应用及代数证明，关键在于理解“友好方程”的定义，发现根之间的倒数关系，灵活应用韦达定理，易错点在于代换过程中符号错误． 【变式3】．（25-26九年级上·福建厦门·月考）我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)，“幸运数”为 (3)或 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为p，q，根据根与系数的关系得出，进而根据p，q为整数，得出m的值为5或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； （3）解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $