精品解析：黑龙江省大庆市景园中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

大庆市景园中学2025—2026学年度第一学期 初四年级数学练习题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号在试卷、答题卡相应位置填涂清楚．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4、考试时间120分钟 5、全卷共27道题，总分120分 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 2025的相反数的倒数是（　　） A. 2025 B. C. -2025 D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2025年10月，光缆线路总长度达千米，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是（ ） A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 5. 已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图像如图所示，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 10. 如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__． 12. 分解因式：_________． 13. 圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为________． 14. 已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为________． 15. 如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于________． 16. 已知在一次函数中，y的值随着x的增大而增大，且关于二次函数与x轴有两个交点，则所有满足条件的整数m的值之和为________． 17. 已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________． 18. 如图，已知等边的重心O与扇形的圆心重合，，，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留） 19. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 20. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形 ACDE，则CE的最小值为________． 三、解答题（共60分） 21. 计算：． 22. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 23. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点B作的切线交的延长线于点E，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 24. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为． （1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； （2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：，，） 25. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，与相交于点E，连接．经过三点的交于点F，且是的切线． （1）连接，求证； （2）求证； （3）若，则的半径为 ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市景园中学2025—2026学年度第一学期 初四年级数学练习题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号在试卷、答题卡相应位置填涂清楚．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4、考试时间120分钟 5、全卷共27道题，总分120分 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 2025的相反数的倒数是（　　） A. 2025 B. C. -2025 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2025年10月，光缆线路总长度达千米，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是（ ） A. 七边形 B. 六边形 C. 五边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的每个内角均为， ∴多边形每个外角的度数为：180°-120°=60°， ∵多边形外角和为360°， ∴多边形的外角个数为： 360°÷60°=6， ∴ 这个多边形是六边形，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的一个内角与它相邻的一个外角互补是解题的关键． 5. 已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：．故选D． 考点：二次函数的性质． 6. 如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在⊙O中，， ，故①正确； 为公共弧， ，故④正确； ，故②正确； ，故③正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 7. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧的关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 由，，得出，进而得出的度数，由得出，即可得出的度数． 【详解】解：如图，在中， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴ 故选A． 8. 二次函数的图像如图所示，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口向上知，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以得到，由对称轴为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴， ∴ ∵对称轴为， ∴a、b异号， 即， 根据第三象限特点： 可知点P在第三象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，难度适中． 9. 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ） A. 20° B. 35° C. 40° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案. 【详解】连接FB， 则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°， ∴∠FEB＝∠FOB=70°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°， ∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°， 故选B. 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10. 如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__． 【答案】x≥﹣9 【解析】 【分析】由二次根式的非负性可得x+9≥0，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴x+9≥0， ∴x≥﹣9， 故答案为x≥﹣9． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查分解因式．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键． 13. 圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为， 由题意，得：， ∴（负值舍去）， ∴母线长为． 故答案为：． 14. 已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆，绝对值的非负性，乘方的非负性，求算术平方根． 由绝对值和平方的非负性可得a和b的值，再根据勾股定理确定斜边长，分斜边为c和b两种情况讨论，利用内切圆半径结合等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 设第三边为c，的内切圆半径长为， 当c是斜边时，，则， 解得：； 当b是斜边时，同理可得； 故答案为：1或． 15. 如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识点，根据半径弦，由垂径定理可得，结合圆周角定理可推出得是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：∵半径弦， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 16. 已知在一次函数中，y的值随着x的增大而增大，且关于二次函数与x轴有两个交点，则所有满足条件的整数m的值之和为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，根据一次函数的性质，y随x增大而增大，可得；根据二次函数与x轴有两个交点，可得对应一元二次方程的判别式大于0，即。因此m的取值范围为，整数m为1、2、3，求和即可． 【详解】解：∵一次函数中，y的值随x的增大而增大， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，解得， ∴， ∵m为整数， ∴m可取1、2、3， ∴满足条件的整数m的值之和为， 故答案为：6． 17. 已知关于x的不等式有且只有1个负整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 根据关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是，得出，求出a的取值范围即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的不等式只有1个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式的1个负整数解只能是：， ∴， ∴解得：． 故答案为：． 18. 如图，已知等边的重心O与扇形的圆心重合，，，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，扇形面积，三角形重心的性质，全等三角形的判定与性质，如图，连接，设交于点交于点G．根据点O是等边的重点，得到，证明，由，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设交于点交于点G． ∵点O是等边的重点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 19. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．求出二次函数对称轴为直线，再分三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 二次函数对称轴为直线， ①时，取得最大值，， 解得，不合题意，舍去； ②时，取得最大值，， 解得， ∵不满足的范围， ∴； ③时，取得最大值，， 解得． 综上所述，或时，二次函数有最大值4． 故答案为：2或． 20. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形 ACDE，则CE的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长AE，交BD于点F，连接BE，由题意易得∠AFB=∠CDB=∠DFE=90°，AC=DE=AB，进而可证△AFB≌△DFE，则有BF=EF，∠BEF=45°，然后得到∠AEB=135°，因为AB=2，则有点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，最后根据圆的最值问题进行求解即可． 【详解】解：延长AE，交BD于点F，连接BE，如图所示： ∵四边形AEDC是平行四边形， ∴AE∥CD，AC=ED，∠EAC=∠CDE， ∵AB=AC=2，∠BAC=90°，∠BDC=90°， ∴ED=AB=AC=2，∠BAF+∠CAE=90°,∠CDE+∠EDF=90°，∠AFB=∠CDB=∠DFE=90°， ， ∴∠BAF=∠EDF， ∴△AFB≌△DFE（AAS）， ∴BF=EF， ∴∠BEF=45°， ∴∠BEA=135°， ∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB、MA、MC，MC与⊙M交于点，则根据圆外的点到圆上的点距离最值问题可得：即为CE的最小值，如图所示： ∴∠AMB=90°， ∵AM=BM，AB=2， ∴∠MBA=45°，， ∴∠MBC=90°， ∴在Rt△MBC中，， ∴，即CE的最小为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的基本性质、动点的运动轨迹及圆的最值问题是解题的关键． 三、解答题（共60分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，零指数幂，负整数指数幂． 先计算三角函数，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： 22. 先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 23. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点B作的切线交的延长线于点E，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1），见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的全等判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质是解题的关键． （1）连接，设与的交点为F，利用切线的性质，三角形的全等判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理解答即可． （2）设的半径为，则，，结合，，利用勾股定理，平行线分线段成比例定理求的长即可． 【小问1详解】 解：与的位置关系为． 证明：连接，设与的交点为F， ∵切线交的延长线于点C，过点B作的切线交的延长线于点E， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 且是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵切线交的延长线于点C， ∴， 设的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得； ∵，，， ∴， ∴， 解得． 24. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为． （1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； （2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】（1）小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米 （2）大树的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）作于H，根据，得出，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）延长交于点G，设，则，根据，得出，根据，得出，再根据，得出．最后根据，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：作于H，如图1所示： AI 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米； 【小问2详解】 解：如图2所示：延长交于点G， 设， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， 解得：． 答：大树的高度约为米． 25. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应为18元 （3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把和代入得，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得：， ， ， 答：销售单价为18元； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元． 26. 如图，与相交于点E，连接．经过三点的交于点F，且是的切线． （1）连接，求证； （2）求证； （3）若，则的半径为 ． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点G， 是的切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， 由垂径定理可得，垂直平分， ； （2）证明：如图，连接， 由（1）知，，则， 又， ， 又， ， ∴， 即：； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点G，证明，利用垂径定理即可得到结论； （2）连接，证明，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论； （3）连接，并延长交于点H，连接，由，对应边成比例求出，在中，由勾股定理求出，进一步求出OH，在中，利用勾股定理即可求出半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，并延长交于点H，连接， ， 则， 由（2）可知，， ， 由（2）知， 则，即， ， 又， 垂直平分， ， 在中， ， 设半径为r，则, 在中， 即：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查圆的知识，解答中涉及圆的基本知识，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能综合运用相关知识解决问题是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为：．，则， 则， 利用配方法得到，结合根据抛物线性质解答即可． （3）根据题意，确定这是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时； 过点作，交抛物线于点，此时． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时， 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得， 故平移后抛物线的解析式为即， 取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $