上海市2024-2025学年高三下学期四区统考数学调研试卷

上海市2024学年高三年级第二学期“阳光指标”调研 数学试卷 (横分：150分，完卷时间：120分钟) (等题调写在答题纸上) 一，冀空题（本大题典有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考丝 应在答题纸的相应位置直接填写结果， 1.已知集合A={x2x≤1}，B={-1,0,1,2},则A∩B= 2.函数y=2sinx-3cosx的值域是 3.(1-ax)‘的二项展开式中x项的系数是20，则实数a的值 是 4.已知释函数y=f倒)的图像过点B,5 ),则该幂函数的值域是 总计 35 45 5.右图是一个2×2列联表，则S= 2 > b 6已知cos0=-,8∈(0，四，则tamn(8-的值为 总计 m 73 7.已知△ABC,“A、B、C成等差数列且simA、simB、simC成等比数列'是 “△ABC是正三角形”的 条件. 8.抛物线x2=4y的准线与圆x2+y2=r2相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体， 则该几何体的表面积为」 9.通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如 下表所示 价格（百元） 士 X, X3 七 Xs Xs X7 Xs Xg 0 × × 4.6 J 5.2 5.6 6 6.6 10 需求量（千克） y2 y ya y5 Yo y7 s y o 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数r= (精确到0.001) 线性相关系数公式， (区-0-列 2(-可-列引 高三数学第1页共5页 10.已知某次数学的测试成绩X服从=75、σ2=64的正态分布，若小明的成绩不低于91分， 那么他的成绩大约超过了%的学生（精确到0.1%）. (参考数据：P(X-uKσ)≈68.3%，P(IX-uk2o)≈95.4%，P(X-uk3o)≈99.7%) 11.某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36兀立方米的球形景观灯所 在球面上.考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度1需满足2√3≤1≤35.当纪念碑 体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米） 12.在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点P,第二次从点P移 动到点P,,第k次从点P1(规定P。=O)移动到点P.记向量y=P,其模长为k, 方向与x轴正方向绕原点逆时针旋转(90k)°同向.设S为经过次移动的位移向量，即 Sn=OP.,则当|S卡V85时，n的值为. 二、逃驿题（本题共有4题。满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有 一个正确逸项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方骼涂黑。 13.“函数y=sin(x+a)为偶函数”是“= 的(）· 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.在研究线性回归模型时，若样本数据(x,y)(i=1,2,3,,所对应的点都在直线 3x+2上，则两组数据x和y=1,2,3,,)的线性相关系数为（) A.-1 B.1 C._1 D.2 3 15.函数y=f(x)的导函数为y=g(x),若存在实数x,使得g(x)f(-x)=1成立，则称 函数y=f(x)具有x性质，下列函数y=f(x)具有X性质的函数是( A.y=e B.y=sinx C.y=e+ex D.y=-In(x2+1) 1杌 16.设数列{an}满足an=sin +(-1)cos 记其前n项和为S,,前n项积为Tn.则下 3 4 列结论正确的是（ ) A.数列{S}和数列{T}均不是周期数列 B.数列{S}是周期数列，数列{T}不是周期数列 C.数列{S}不是周期数列，数列{T}是周期数列 高三数学第2页共5页 D.数列{S}和数列{T}均为周期数列 三、解等题（本大题满分76分》本大题典有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤。 17。(本题满分14分)本题兴有2个小题，第1小题横分6分，第2小题满分8分。 如图，已知四校锥S-ABCD的底面为芝形，∠BAD=行，AS=CS. (1)求证：AC⊥平面BDS; S (2)若AB=2,BS=V3,DS=1,求四棱锥 S-ABCD的体积. 18。(本题满分14分》本题典有2个小题，第1小题满分6分。第2小题满分8分 已知函数y=f(x),其中f(x)=log2x. (1)解关于x的不等式f(3x-2)<f(2x+1); (2)若存在唯一的实数x。,使得f(x,),f(x。-c四，f(2)依次成等差数列，求实数a的取值范围 19。(本题满分14分)本题兴有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题 满分6分。 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级 学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况， 现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的2×2列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀 高三数学第3页共5页 的经验概率； (2)是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关？ n(ad-be) 附：X=(a+b)c+d)(a+c)b+d 0.10 0.01 0.001 P(x'za) 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到 数学成绩总评优秀的人数为X,求X的分布和期望. 20。(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 如图，曲线r是号若(20与若千1020组合的。 0 图20-1 图20-2 第20题图 求兰=10y≥0)的渐近线方程； b24 ③6=5，设70，e盟w 曲线T上找一个点2，使得可达到最小； (3)若b=1,如图20-2，存在过点P(0,1)的两条直线1,1，与曲线T的交点分别是点A、点M、 点B、点N,点A在第二象限，点M在第一象限.是否存在非零实数1使得 MN=AB成立，请说明理由. 高三数学第4页共5页 21。(本题满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分6分。第3小题满分8分 已知函数y=f(x),其中f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R)，定义集合 S(f)={(x,y)ly=f(x),x∈R}·对于点P(p,q，定义集合 D(P)={(化，)川x-pK1,(x,)∈S()}.若对任意（化，）∈D(P),均有ly-qK1,则称点P 为平衡点 (1)当a=b=0时，判断点P(0,0)是否为平衡点； (2)当a=0时，求实数b的取值范围，使得点P(0,0)是平衡点； (3)求所有实数α和b,使得点P(0,0)是平衡点. 高三数学第5页共5页 高三数学答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.{-1,0}: 2.「-1313： 3.-1:4.88%:5.拒绝： 1 6.16 7.充要条件 8.4π 9.-0.8627 10.97.7；11.4.90:12.13. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分） 13-16:BCBB 三、解答题（本大题满分76分） 17.解：(1)记AC∩BD=O,连结OS,因为AS=CS,所以AC⊥OS 由于底面ABCD为棱形，则AC⊥BD 因为BD∩OS=O 所以AC⊥平面BDS (2)由(1)知，AO⊥平面BDS 所以，'-ABcD=2V,-AD=2VA-BDs 根据题意，得，BD=2 又，BS=V5,DS=1 所以BS⊥DS 故，VA-BDs 35s40=1 所以Vs-ABcp=1 所以，四棱锥S-ABCD的体积为1. 18.解：(1)f(x)=-cos2x+√3sin2x 因为y=f,)单调递减，所以+2km≤2x-亚≤3π 2c, 62 即：T+msr 5+m 6 所以y=f(x)的单调递减得单调递减区间是 +k5π+krt (keZ): 3 6 (2)函数y=以a在区同0 上有2个零点即2m2x君)a0上恰有两个 解， 元5 所21=a在（ 上恰有两个解， 6’6 当引 时，函数y=2sint单调递增，且simt∈（←l,2], 当te π5π 26 时，函数y=2sint单调递减，且sinte1,2], 所以当l<a<2时，函数y=fx)-a在区间 0, 上恰有2个零点. 19.（1)填表如下 数学成绩总评 数学成绩总评 合计 优秀人数 非优秀人数 每天都整理 14 6 20 数学错题人数 不是每天都整理 15 20 数学错题人数 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率户-14 =0.35 0 (2)提出原假设H,:数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关 确定显著性水平=0.01，即P(x2≥6.635)≈0.01 计算7=40x14×15-6×5 ≈8.120>6.635， 20×20×19×21 所以原假设H。不成立，即有99%的把握认为数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有 关 (3)不是每天都整理数学错题的学生中数学成绩总评优秀的有5个，不优秀的有15个， 恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X, P(X=0)= 91 CC_35 3 22 ,P(X=1)= C0 76 P(X=2)= CC%1 C20 ,P(X=3)= 38 114 0123 故X的分布为： 913551 ..13分 2287638114, 所以X的期望为E(x)=0x 13 228 +313 +2x5」 76 1144 20.(1)解：由题意：a2=4,,b2=3,c2=a2-b2=4-3=1, 得：a=2,c=1, 因此△AFF,的周长为2a+2c=6, (2)设Q(x,)(x>0y>0) A(0,V3),B0,-V3),F(-1,0),F(1,0), SAABO==:SFEO==y [3x>y>0 父+上1 解得xe(25 2 43 即点2的横坐标取值范围为(2V ,2) (3)过点A、H、O(O为坐标原点)三点的圆是定圆， 法一： x=my+n 设lpe: 3x2+4y2=12 得(3m2+4)y2+6wy+3n2-12=0, △=36m2n2-4(3m2+4)(3n2-12) =48(3m2-n2+4)>0, 设P(,y),x2, -6m 3n2-12 y+y=32+4'y3m+4 由题意k=3水2，即片，=3乃 +2x2-2 y(y2+n-2)=3y2(%+n+2). 即2yy2+3(n+2)2-(n-2)y=0. 2nm6-12）+40m+0y,-0m-20y+）=0, 3m2+4 6m0-4-0m-2）,671+40+1y,=0, 3m2+4 32+4 12m0-20+D+40n+1)y.=0, 3m2+4 「3(n-2),. 4(n+1) 3m2+4 +0， n=-1, 即1e过定点(1,0) 设H(x,y), (x+1)x+y(y-V3)=0过原点， 即过点小、7、0(0为坐标原个=点的圆是定时6：+心-5：=1。 法二：设1cp:y=3(x+2)，10:y=k(x-2)(k≠0)， x2,y2 联立 43 y=k(x-2) 消元得：(42+3)x2-16k2x+16k2-12=0, 则2xg= 6-卫得Q或3 8k2-6-12k、 4k2+3 父+y=-1 同理联立{43 y=3k(x+2) 12k2+1)x2+48k2x+48k2-4=0, 2y用进B 12k2+112k2+1 ①当x2≠x2即2≠二时，