专题01 一元二次方程（期末复习讲义）九年级数学上学期人教版

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点细化定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，用清晰脉络呈现知识内在联系，突出重难点分布，培养学生抽象能力与符号意识等数学眼光。 讲义亮点在于分层练习设计，基础通关练夯实基础，重难突破练提升能力，综合拓展练融合实际应用，如增长率问题培养模型意识。典例结合解题技巧与易错点指导，助力学生提升运算能力与推理意识，支持教师实施精准分层教学，满足不同学生需求。

专题01 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程及有关概念 能准确判断正负数在实际情境中的意义。 基础必考点，常出现在选择或填空题 解一元二次方程的方法 掌握配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的解法。 优先看能否因式分解（十字相乘常见），不行则用公式法，如果题目明确“用配方法解方程”，则必须按配方法的步骤写过程。 根的判别式 熟记根的判别式和求根公式，准确找到对应系数，同时能够利用判别式的值判断方程解的情况。 已知方程根的情况，求参数范围（Δ≥0）。 根与系数的关系（韦达定理） 适用于已知根的关系求系数，或不解方程求根的表达式值。 韦达定理应用常在综合题出现，注意“不解方程”条件下求对称式。 一元二次方程的实际应用 掌握根据实际问题建立数学模型的方法。 增长率问题和利润与销售问题考查较高频。 知识点01 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式： ． （3）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点02 一元二次方程的解及解法 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 换元法 1．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点03 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点04 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点05 一元二次方程的实际应用 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 一元二次方程的应用 1．列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2．列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 题型一 一元二次方程的定义 解｜题｜技｜巧 一元二次方程成立必须同时满足三个条件： 1．是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）； 2．只含有一个未知数； 3．未知数项的最高次数是2； 4．在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式． 易｜错｜点｜拨 当二次项系数含待定字母时，易忽略字母值不可使二次项系数为0。 【典例1】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，掌握只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式是一元二次方程是解题关键．根据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、中含两个未知数，不符合一元二次方程的定义，选项错误； B、中含两个未知数，且未知数的最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，选项错误； C、中，当时，不是一元二次方程，选项错误； D、中，只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，符合一元二次方程的定义，选项正确； 故选：D． 【典例2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，4，1 B．5，，1 C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般形式为，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为5，一次项系数为，常数项为1； 故选B 【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需注意整式方程和未知数个数的限制 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项 【详解】∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程， 选项A：，只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，∴ 是一元二次方程； 选项B：，若则不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C：，含有两个未知数x和y，∴ 不是一元方程； 选项D：，含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程； 故选A 【变式2】关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 题型二 一元二次方程的解 解｜题｜技｜巧 根据题中所给方程的解（根），将其代入方程，然后再求解方程中参数的值或者含参数的代数式的值。 【典例1】（21-22九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 【典例2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若是方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．根据方程的解满足方程，将已知根代入方程，直接计算求出的值． 【详解】解： 是方程 的根， ， 即， ． 故选：C． 【典例3】（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 即， ∴， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：1． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知为一元二次方程的根，那么的值是 ． 【答案】17 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再将所求表达式变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， 即， ∴． 故答案为：17． 题型三 一元二次方程的解法 解｜题｜技｜巧 1、直接开平方法解一元二次方程需注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、用配方法解一元二次方程的步骤为： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、因式分解法解一元二次方程的一般步骤为： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 建议： 首选因式分解法（如果容易分解） 次选配方法（适用于二次项系数为1或完全平方） 万能公式法（适用所有情况，但计算要细心） 直接开平方法（适用于缺少一次项或完全平方形式） 养成检验习惯，避免丢根、增根 注意判别式，先判断实数根的存在性 保持步骤完整，减少计算错误 易｜错｜点｜拨 1、系数辨识错误 2、系数代入公式时符号错误 3、判别式计算错误 4、解答格式不规范 【典例1】解方程：（2x﹣1）2＝81． 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：∵（2x﹣1）2＝81， ∴2x﹣1＝±9， ∴2x﹣1＝9或2x﹣1＝﹣9， ∴x1＝5，x2＝﹣4． 【典例2】用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0； 【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可； 【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x， 配方得：x2﹣3x，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2； 【典例3】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0． 【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式写出方程的解． 【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0， a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴x， 所以x1，x2． 【典例4】3x（x﹣1）＝2﹣2x（因式分解法）． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：3x（x﹣1）＝2﹣2x， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+2＝0， ∴x1＝1，x2． 【变式1】解方程：2（x﹣2）2﹣4＝0． 【分析】方程整理后，利用直接开平方法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：（x﹣2）2＝2， 开方得：x﹣2＝±， 解得：x1＝2，x2＝2． 【变式2】用配方法解方程：3x2﹣x﹣1＝0． 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答． 【解答】解：3x2﹣x﹣1＝0， x2x0， x2x， x2x+（）2（）2， （x）2， x±， x或x， x1，x2． 【变式3】用公式法解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣8， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣8）＝36＞0， x1±3， 所以x1＝4，x2＝﹣2． 【变式4】解方程：（x﹣2）2＝（2x﹣1）2． 【分析】方程移项后，利用平方差公式分解，求出解即可． 【解答】解：移项得：（x﹣2）2﹣（2x﹣1）2＝0， 分解因式得：（x﹣2+2x﹣1）（x﹣2﹣2x+1）＝0， 即﹣3（x﹣1）（x+1）＝0， 所以x﹣1＝0或x+1＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 题型四 根的判别式 解｜题｜技｜巧 已知根的情况，求参数取值范围： 步骤： 写出一元二次方程一般形式。 列出判别式 Δ 关于参数的表达式。 根据条件列不等式： 两个不等实根 ⇨ Δ > 0 两个相等实根 ⇨ Δ = 0 无实根 ⇨ Δ < 0 有实根 ⇨ Δ ≥ 0 解不等式，注意二次项系数不为 0。 易｜错｜点｜拨 当二次项系数含参数时，要保证二次项系数不为0且满足Δ的条件。 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0． （1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根． 【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，从而可以求得m的取值范围； （2）把x＝1代入已知方程，得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值，则可得出答案． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0， 即m＜2． （2）当x＝1时，1﹣2+m﹣1＝0， ∴m＝2， ∴x2−2x+1＝0， 解得x1＝x2＝1． 即另一根是1． 【变式1】已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根． （1）求实数a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可； （2）求出根的判别式Δ＝（a+1）2+4＞0，据此可得答案； 【解答】（1）解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根． ∴1+a+3+a+1＝0， 解得a＝﹣2.5； （2）证明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1） ＝a2+6a+9﹣4a﹣4 ＝a2+2a+5 ＝（a+1）2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 题型五 一元二次方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 列一元二次方程解应用题的“六字诀”： 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 易｜错｜点｜拨（选取其一或者其他版块均可） 列方程解实际问题的三个重要环节： 1．整体地、系统地审题； 2．把握问题中的等量关系； 3．正确求解方程并检验解的合理性. 【典例1】陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，试求月平均降价率． 【分析】设月平均降价的百分率为x，根据汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆列出方程，解方程即可． 【解答】解：设月平均降价的百分率为x， 根据题意得：39（1﹣x）2＝31.59， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 答：月平均降价率为10%． 【典例2】（25-26九年级上·河北衡水·期中）淘宝网站上一家化妆品网店一款面膜每盒进价为80元，销售价为120元时，每周可售出200盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒面膜降价5元，那么平均每周可多售出30盒，设每盒面膜降价x元． (1)每周销售量增加______盒，每盒面膜盈利______元；（用含x的代数式表示） (2)商家能达到平均每周盈利8200元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）设每盒面膜降价x元，根据题意即可得到每周销售量增加盒，每盒面膜盈利元； （2）根据题意可列方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：设每盒面膜降价x元， 则每周销售量增加（盒），每盒面膜盈利元， 故答案为：，； （2）解：商家不能达到平均每周盈利8200元，理由如下： 依题意得： ， ∴， ∵ ， ∴此方程无解，即商家不能达到平均每周盈利8200元． 【典例3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在直角中，，cm，cm．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动，设运动时间为t（秒）． (1)用t的代数式表示：_______，_______． (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用， （1）根据速度乘以时间求出点运动的距离即可； （2）经过t秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据的面积是的面积的一半，列出一元二次方程，化为一般式，再利用根的判别式可得结论． 【详解】（1）解：由题意知：，，则， 故答案为：，； （2）解：不能，理由如下： 设经过t秒，线段能将分成面积相等的两部分，即是 面积的一半， 由题意知：， ， ∵， ∴此方程无解， ∴线段不能将 分成面积相等的两部分． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、含乘方的有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设进馆人次的月平均增长率为，根据到10月份累计进馆570人次建立方程，解方程即可得； （2）结合（1）的结论，先求出10月份的进馆人次，再求出11月份的进馆人次，与400人次进行大小比较，由此即可得． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）解：学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次．理由如下： 由（1）已得：进馆人次的月平均增长率为， ∴10月份的进馆人次为（人次）， ∴11月份的进馆人次为（人次）， ∵因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，且， ∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次． 【变式2】新晋网红打卡地一一重庆规划展览馆吸引众多游客，某商家借此购进一批文创产品钥匙扣和手账本．商家用1600元购买钥匙扣，800元购买手账本，每个钥匙扣和手账本的进价之和为10元，且购进手账本的数量是钥匙扣的2倍． （1）求商家购买每个钥匙扣的进价和每个手账本的进价； （2）商家在销售过程中发现，当手账本的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每天可售出40个手账本，20个钥匙扣．据统计，钥匙扣的售价每降低0.5元平均每天可多售出5个，且降价幅度不超过20%．商家在保证手账本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钥匙扣和手账本平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？ 【分析】（1）设商家购买每个钥匙扣的进价是x元，可得：2，解方程并检验，即可得商家购买每个钥匙扣的进价是8元，每个手账本的进价是2元； （2）设每个钥匙扣的售价为m元，有（m﹣8）×（205）+40×（5﹣2）＝300，得m1＝11，m2＝14，根据降价幅度不超过20%，即知每个钥匙扣的售价为14元． 【解答】解：（1）设商家购买每个钥匙扣的进价是x元，则每个手账本的进价是（10﹣x）元， 根据题意得：2， 解得x＝8， 经检验，x＝8是原方程的解，也符合题意， ∴10﹣x＝10﹣8＝2， 答：商家购买每个钥匙扣的进价是8元，每个手账本的进价是2元； （2）设每个钥匙扣的售价为m元， 根据题意得：（m﹣8）×（205）+40×（5﹣2）＝300， 整理得：m2﹣25m+154＝0， 解得m1＝11，m2＝14， ∵降价幅度不超过20%， ∴20%， ∴m≥12， ∴m＝14， 答：每个钥匙扣的售价为14元． 【变式3】（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒． (1)用含t的式子表示：______，______，______； (2)当t为何值时，的面积等于． 【答案】(1)t；；． (2)2或4 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可。 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）根据三角形的面积公式，得， 即，整理，得． 解得，． 由题意可知，， 故当t的值为2或4时，的面积等于． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②含有未知数的项的最高次数为2；③整式方程． 选项A：含两个未知数x和y，不符合①，此选项不合题意； 选项B：方程可化为 ，含分式 ，不是整式方程，不符合③，此选项不符合题意； 选项C：方程 只含未知数y，且最高次数为2，是整式方程，此选项符合题意； 选项D：当 时，不是一元二次方程，此选项不符合题意． 故选：C． 2．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（   ） A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式求解即可． 【详解】∵方程， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 3．若是方程的一个根，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．直接利用方程根的定义代入计算即可． 【详解】 是方程 的根， 代入得：，即， ． 故选：B． 4．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将常数项移项，再两边同加上一次项系数一半的平方，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 中，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．方程有两个实数根，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 将方程化为一元二次方程的一般形式，利用判别式是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵方程 即有两个实数根， ∴． ∴， ∴， ∴． 故选 B． 7．关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次数为且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解，得， 所以． 又由，得， 因此． 故答案为． 8．已知是方程的一个根，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解． 将代入方程，即可求得的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：． 9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系是解题的关键． 根据流感传染模型，初始患病人数为1人，每轮传染中平均一人传染x人．第一轮传染后患病人数为人，第二轮传染新增患病人数为人，两轮后总患病人数为人．再根据题意两轮后共225人即可列出方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人． 第一轮传染后，患流感的人数为：． 第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：． 第二轮传染后，总患病人数为：． 因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感， 所以列方程：，整理得：． 故答案为：． 10．用适当的方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程； （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解： ∴ ∴或 解得： （2） ∴ ∴或 解得： 13．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解； （2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值． 【详解】（1）解： （2）解： ∵ ∴ ∴ 代数式的最小值为 15．如图，在中，，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动，点从点出发沿边以的速度向点移动，点、同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动． (1)几秒后，的面积为？ (2)几秒后，的长为？ 【答案】(1)1秒后，的面积为 (2)2秒后，的长为 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设秒后，的面积为，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的长为，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积为， 由题意，，， ∴， ∴，解得或（不合题意，舍去）； 故1秒后，的面积为； （2）由（1）和勾股定理可得：， 解得（舍去）或； 故2秒后，的长为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．设，是关于的方程的两个根，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：对于方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：3． 2．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系等． （1）根据方程可知，，，再利用即可证明本题答案； （2）利用方程可知，，再将题干式子通分代入两根之和与两根之积，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ， ， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 检验，是分式方程的解， ∴m的值为1． 3．顺应年教育硬件爆发趋势，某品牌学习机经销商统计了产品销量，该品牌学习机月份销售台，月份销售台，月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌学习机销售量的月增长率； (2)若此种学习机的进价为元/台，商家调查显示，当售价为元/台时，月销售量为台，在此基础上售价每上涨元/台，月销售量将减少台，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌学习机每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该品牌学习机销售量的月增长率为，月份到月份销售量的月增长率相同，则到月为，列出等式计算； （2）设该品牌学习机每个售价应定为元，先求出每台的销售利润和月销售量，整理计算售价即可． 【详解】（1）解：设该品牌学习机销售量的月增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌学习机销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌学习机每个售价应定为元， 则每台的销售利润为元，月销售量为台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又因为要尽可能让顾客得到实惠，所以取． 答：该品牌学习机每个售价应定为元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用． （1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解； （2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值． 【详解】（1）解： （2）解： ∵ ∴ ∴ 代数式的最小值为 2．如图，在中，，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动，点从点出发沿边以的速度向点移动，点、同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动． (1)几秒后，的面积为？ (2)几秒后，的长为？ 【答案】(1)1秒后，的面积为 (2)2秒后，的长为 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设秒后，的面积为，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的长为，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积为， 由题意，，， ∴， ∴，解得或（不合题意，舍去）； 故1秒后，的面积为； （2）由（1）和勾股定理可得：， 解得（舍去）或； 故2秒后，的长为． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程及有关概念 能准确判断正负数在实际情境中的意义。 基础必考点，常出现在选择或填空题 解一元二次方程的方法 掌握配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的解法。 优先看能否因式分解（十字相乘常见），不行则用公式法，如果题目明确“用配方法解方程”，则必须按配方法的步骤写过程。 根的判别式 熟记根的判别式和求根公式，准确找到对应系数，同时能够利用判别式的值判断方程解的情况。 已知方程根的情况，求参数范围（Δ≥0）。 根与系数的关系（韦达定理） 适用于已知根的关系求系数，或不解方程求根的表达式值。 韦达定理应用常在综合题出现，注意“不解方程”条件下求对称式。 一元二次方程的实际应用 掌握根据实际问题建立数学模型的方法。 增长率问题和利润与销售问题考查较高频。 知识点01 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式：． （3）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点02 一元二次方程的解及解法 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 换元法 1．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点03 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点04 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点05 一元二次方程的实际应用 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 一元二次方程的应用 1．列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2．列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 题型一 一元二次方程的定义 解｜题｜技｜巧 一元二次方程成立必须同时满足三个条件： 1．是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）； 2．只含有一个未知数； 3．未知数项的最高次数是2； 4．在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式． 易｜错｜点｜拨 当二次项系数含待定字母时，易忽略字母值不可使二次项系数为0。 【典例1】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．5，4，1 B．5，，1 C．，，1 D．，， 【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 题型二 一元二次方程的解 解｜题｜技｜巧 根据题中所给方程的解（根），将其代入方程，然后再求解方程中参数的值或者含参数的代数式的值。 【典例1】（21-22九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若是方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知为一元二次方程的根，那么的值是 ． 题型三 一元二次方程的解法 解｜题｜技｜巧 1、直接开平方法解一元二次方程需注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、用配方法解一元二次方程的步骤为： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、因式分解法解一元二次方程的一般步骤为： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 建议： 首选因式分解法（如果容易分解） 次选配方法（适用于二次项系数为1或完全平方） 万能公式法（适用所有情况，但计算要细心） 直接开平方法（适用于缺少一次项或完全平方形式） 养成检验习惯，避免丢根、增根 注意判别式，先判断实数根的存在性 保持步骤完整，减少计算错误 易｜错｜点｜拨 1、系数辨识错误 2、系数代入公式时符号错误 3、判别式计算错误 4、解答格式不规范 【典例1】解方程：（2x﹣1）2＝81． 【典例2】用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0； 【典例3】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0． 【典例4】3x（x﹣1）＝2﹣2x（因式分解法）． 【变式1】解方程：2（x﹣2）2﹣4＝0． 【变式2】用配方法解方程：3x2﹣x﹣1＝0． 【变式3】用公式法解方程：x2﹣2x﹣8＝0． 【变式4】解方程：（x﹣2）2＝（2x﹣1）2． 题型四 根的判别式 解｜题｜技｜巧 已知根的情况，求参数取值范围： 步骤： 写出一元二次方程一般形式。 列出判别式 Δ 关于参数的表达式。 根据条件列不等式： 两个不等实根 ⇨ Δ > 0 两个相等实根 ⇨ Δ = 0 无实根 ⇨ Δ < 0 有实根 ⇨ Δ ≥ 0 解不等式，注意二次项系数不为 0。 易｜错｜点｜拨 当二次项系数含参数时，要保证二次项系数不为0且满足Δ的条件。 【典例1】已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0． （1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根． 【变式1】已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根． （1）求实数a的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 题型五 一元二次方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 列一元二次方程解应用题的“六字诀”： 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 易｜错｜点｜拨（选取其一或者其他版块均可） 列方程解实际问题的三个重要环节： 1．整体地、系统地审题； 2．把握问题中的等量关系； 3．正确求解方程并检验解的合理性. 【典例1】陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，试求月平均降价率． 【典例2】（25-26九年级上·河北衡水·期中）淘宝网站上一家化妆品网店一款面膜每盒进价为80元，销售价为120元时，每周可售出200盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒面膜降价5元，那么平均每周可多售出30盒，设每盒面膜降价x元． (1)每周销售量增加______盒，每盒面膜盈利______元；（用含x的代数式表示） (2)商家能达到平均每周盈利8200元吗？请说明你的理由． 【典例3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在直角中，，cm，cm．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动，设运动时间为t（秒）． (1)用t的代数式表示：_______，_______． (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由． 【变式2】新晋网红打卡地一一重庆规划展览馆吸引众多游客，某商家借此购进一批文创产品钥匙扣和手账本．商家用1600元购买钥匙扣，800元购买手账本，每个钥匙扣和手账本的进价之和为10元，且购进手账本的数量是钥匙扣的2倍． （1）求商家购买每个钥匙扣的进价和每个手账本的进价； （2）商家在销售过程中发现，当手账本的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每天可售出40个手账本，20个钥匙扣．据统计，钥匙扣的售价每降低0.5元平均每天可多售出5个，且降价幅度不超过20%．商家在保证手账本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钥匙扣和手账本平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？ 【变式3】（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒． (1)用含t的式子表示：______，______，______； (2)当t为何值时，的面积等于． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（   ） A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6， 3．若是方程的一个根，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 6．方程有两个实数根，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 8．已知是方程的一个根，则值为 ． 9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是 ． 10．用适当的方法解下列方程 (1)； (2) 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．设，是关于的方程的两个根，则 ． 2．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 3．顺应年教育硬件爆发趋势，某品牌学习机经销商统计了产品销量，该品牌学习机月份销售台，月份销售台，月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌学习机销售量的月增长率； (2)若此种学习机的进价为元/台，商家调查显示，当售价为元/台时，月销售量为台，在此基础上售价每上涨元/台，月销售量将减少台，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌学习机每个售价应定为多少元？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 2．如图，在中，，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动，点从点出发沿边以的速度向点移动，点、同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动． (1)几秒后，的面积为？ (2)几秒后，的长为？ 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $