精品解析：江西省宜春市丰城市东煌学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期12月月考高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 2. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A 2 B. 5 C. 3 D. 8 3. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A B. C. D. 4. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（   ） A. B. C. D. 5. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6. 已知平面的一个法向量为，是平面外一点，是平面内一点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A B. C. D. 8. 直线与圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最小值为 10. 如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法错误的有（ ） A. 椭圆C：的焦点坐标为 B. 双曲线C：的虚轴长是6 C. 椭圆C:的焦点的周长为16 D. 圆和圆的公共弦所在直线方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，，则________. 13. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 14. 在棱长为1的正方体中，E为BC中点，则点到平面的距离为________________. 四、解答题（本题共5小题，第1题13分，第2题15分，第3题15分，第4题17分，第5题17分，共77分） 15. 已知双曲线：（）过点，且双曲线的右焦点与抛物线：（）的焦点相同. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）求抛物线的标准方程. 16. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 18. 设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. （1）求椭圆长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； （2）求面积； 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期12月月考高二数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【详解】因为向量，，所以， 又因，所以，所以， 解得. 故选：A. 2. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A 2 B. 5 C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由焦半径公式即可求解. 【详解】由焦半径公式可得：，又， 所以， 故选：B 3. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】设，则． 因为E，F分别为的中点，所以， 所以，． 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 又因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：C. 4. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由题设，两直线的距离为. 故选：B 5. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质分析选项即可. 【详解】易知的长轴长、短轴长分别为，离心率， 焦距长， 而的长轴长、短轴长分别为， 离心率，焦距长， 由，显然只有焦距相同 故选：D 6. 已知平面的一个法向量为，是平面外一点，是平面内一点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与平面所成角向量公式即可求解. 【详解】由题可得.因为平面的一个法向量为， 所以所求角的正弦值为. 故选：B 7. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为， 故选：D. 8. 直线与圆的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆的方程可得圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项错误； ∵，∴点在圆外，B选项正确； ∵圆心在直线上，∴圆关于直线对称，C选项正确； ∵，圆半径，∴，D选项正确. 故选：BCD. 10. 如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 11. 下列说法错误的有（ ） A. 椭圆C：的焦点坐标为 B. 双曲线C：的虚轴长是6 C. 椭圆C:的焦点的周长为16 D. 圆和圆的公共弦所在直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用椭圆方程、双曲线方程求解判断ABC；确定两圆位置关系并求出公共弦所在直线方程判断D. 【详解】对于A，椭圆C：的焦点在轴上，A错误； 对于B，双曲线C：的虚半轴长，虚轴长，B错误； 对于C，椭圆C：的实半轴长，半焦距， 因此焦点的周长，C错误； 对于D，的圆心，半径，圆 的圆心，半径，，因此圆与圆相交， 将两圆方程相减得两圆公共弦所在直线方程，D正确. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，，则________. 【答案】46 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】由，， 则，， 所以. 故答案为：46. 13. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 14. 在棱长为1的正方体中，E为BC中点，则点到平面的距离为________________. 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系，利用点面距的向量求解公式可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则,; 设平面的一个法向量为，则，即， 令，可得， 设点到平面的距离为，则， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，第1题13分，第2题15分，第3题15分，第4题17分，第5题17分，共77分） 15. 已知双曲线：（）过点，且双曲线的右焦点与抛物线：（）的焦点相同. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）求抛物线的标准方程. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线上的点确定双曲线方程即可得双曲线方程，从而得渐近线方程； （2）由双曲线的焦点确定抛物线焦点从而得抛物线方程. 【小问1详解】 由题意得，可得， ∴双曲线的方程为：， ∴双曲线的渐近线方程为：，即. 【小问2详解】 由（1）可得双曲线的焦点坐标为：， 由题意可得抛物线的焦点坐标为：， ∴，得， ∴抛物线的标准方程为：. 16. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题： （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法来证明线线垂直，即可证明线面垂直； (2)利用空间向量法来求两平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，即，， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知圆过两点，且圆心直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用中垂线组方程组来求圆心和半径，可得圆的标准方程； (2)利用直线过原点和直线不过原点且截距互为相反数，再用待定系数法来求解即可. 【小问1详解】 由可知中点， 设过的中垂线斜率为， ，则. 所以，即 由，解得，故， 圆的半径为， 故圆的标准方程为 【小问2详解】 ①若直线过原点，满足题意，则可设， 因为直线过，所以，则. ②若直线不过原点，由于直线在轴，轴上的截距是互为相反数， 设，因为直线过， 所以，则，即 综上所述：直线的方程为或. 18. 设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. （1）求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； （2）求的面积； 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【小问1详解】 由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. 【小问2详解】 由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； 【小问2详解】 由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； 【小问3详解】 由（1），，又， 则到直线的距离为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $