精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（5）

2024级高二第一学期数学周测（5） 时间：50分钟 满分：87分 一．单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的两个顶点，坐标是，，且，所在直线的斜率之积为，则“”是“点的轨迹为椭圆(去掉点，)的”（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ） A. B. C. 8 D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 在平面直角坐标系中，圆经过点，，则（ ） A. 圆的半径大于2 B. 圆心不可能在第一象限 C. 当圆心在轴上时，圆的周长为 D. 当圆心在第四象限时，圆截轴所得的弦长大于8 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. 的面积的最大值为 D. 椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为________. 10. 已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为__________． 11. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中，，且甲在A，B两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为. （1）求p，q的值； （2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率. 13. 已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． （i）求的取值范围； （ii）若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期数学周测（5） 时间：50分钟 满分：87分 一．单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等式整理可得，即可计算出. 【详解】将整理可得， 所以； 可得. 故选：D 2. 已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可设双曲线方程为，将点代入方程，进而即得. 【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：， 又由双曲线过点， 则有，即， 则其方程为：，即. 故选：C． 3. 开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列出方程组，求出的值，即可得出答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，. 由题意知，解得， 则该行星运行轨迹的离心率. 故选：B. 4. 已知的两个顶点，坐标是，，且，所在直线的斜率之积为，则“”是“点的轨迹为椭圆(去掉点，)的”（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由题求出点的轨迹方程，然后讨论范围确定所对应的轨迹. 【详解】设点，则斜率，斜率. 依题有，则得点的轨迹方程为. 当且时，点的轨迹为去掉点，两点的椭圆； 当时，点的轨迹为去掉点，两点的圆. 所以“”是“点的轨迹为椭圆(去掉点，)的必要不充分条件. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差正弦公式得到，进而利用齐次式得到结果. 【详解】因为，所以. 故选：B. 6. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与直线的两个交点为，设，则，代入直线，即可得点，进而可得到直线的方程，再求交点到的距离，利用面积公式计算即可. 【详解】设直线与直线的两个交点为，且设， 则由题意可知，点关于点的对称点在上， 所以，解得， 所以，， 所以, 因为直线过点，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即， 联立：，解得的交点坐标为， 所以到直线的距离为， 所以这三条直线围成的三角形面积为. 故选：A. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 在平面直角坐标系中，圆经过点，，则（ ） A. 圆的半径大于2 B. 圆心不可能在第一象限 C. 当圆心在轴上时，圆的周长为 D. 当圆心在第四象限时，圆截轴所得的弦长大于8 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，结合两点间的距离公式求出的长度，进而结合圆内最长的弦为直径即可判断；对于选项B，结合圆的对称性可知圆心在的中垂线上，进而求出根据的中垂线所经过象限即可判断；对于选项C，结合圆的几何性质求出圆心进而求得半径即可判断；对于选项D，分析可得圆心的纵坐标小于，进而可判断截轴所得的弦长. 【详解】由题意可设，， 对于选项A，，则圆的半径，故选项A错误； 对于选项B，的中垂线方程为，可知该直线不过第一象限，且圆心在该直线上，所以圆心不可能在第一象限，故选项B正确； 对于选项C，当圆心在轴上时，可令直线中的，解得，即，则其半径为，所以周长为，故选项C错误； 对于选项D，因为直线过定点，且圆心在第四象限，所以圆心的纵坐标小于，则圆截轴所得的弦长大于8，故选项D正确； 故选：BD． 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. 的面积的最大值为 D. 椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理和椭圆定义可求得，进而得到的面积，即可判断A；设点，利用平面向量的数量积求得，结合的范围，即可判断B；当点为椭圆的短轴顶点时，面积的最大，求出最大面积即可判断C；验证讨论的三个内角是否为直角的情况，即可判断D． 【详解】在椭圆中，，且， 对于A，在中，由余弦定理可得， 即①， 又，即② 由②－①解得8， ∴的面积为，故A错误； 对于B，设点，则， ， ， ∵，，∴， ∴的取值范围为，故B正确； 对于C，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，当点位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角； 当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形； 当时，，此时点位于第一或第四象限，有2个直角三角形． 所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，，两两垂直，可将三棱锥补成长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，体对角线即为外接球的直径，求解即可. 【详解】由，，两两垂直，可将三棱锥补成如图所示的长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球直径为：， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查空间几何体的外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题. 10. 已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为__________． 【答案】33 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线的定义运算求解，并结合三角形的性质检验. 【详解】由双曲线方程可知， 设双曲线的左、右焦点分别为，则， 根据对称性不妨设， 由双曲线定义可得，解得或， 若，可知，符合题意； 若，可知，不符合题意； 综上所述：到另一个焦点的距离为33. 故答案为：33. 11. 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出到渐近线的距离，求出，根据求出的取值范围. 【详解】 设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点， 则到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分.设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中，，且甲在A，B两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为. （1）求p，q的值； （2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据甲在一轮投篮后得0分的概率为，得2分的概率为，列出方程，即可求出. （2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况共3种，第一轮3分，第二轮5分；第一轮5分，第二轮3分；第一轮5分，第二轮5分；求出三种情况概率之和即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 每轮投篮结束后，甲得分可能为0，2，3，5. 记甲第一轮投篮得分为i分的事件为，第二轮投篮得分为i分的事件为 ，则，相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥. 易得，， 所以. 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 13. 已知双曲线为等轴双曲线，虚轴长为4． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线过点，且直线与的两支分别交于点，． （i）求的取值范围； （ii）若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点． 【答案】（1）． （2） （ii）证明：设， 当时，令， ， 即直线过定点； 当时，直线也过定点． 综上所述，直线过定点． 【解析】 【分析】根据题意可得且，解出，即可得到的标准方程； 设直线，，，联立直线方程与双曲线方程，由且，即可求出的取值范围； （ii）设，令，将的值代入即可求出，从而可知直线过定点，从而得证． 【小问1详解】 根据题意可得且，解出， 故标准方程为：； 【小问2详解】 设直线，，， 由，消去可得，， 则，，， （i）因为直线与双曲线交于两支，所以且，即， 解得：； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $