海南省海口市2025-2026学年上学期九年级数学期末复习试题-

海南省海口市2025-2026学年上学期九年级数学期末复习试题 满分：120分 时间：100分钟 学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（    ） A．1 B． C．0 D．不确定 4．已知，则代数式的值是( ) A． B． C．1 D．2 5．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为（    ） A． B．0 C．4 D．6 6．若方程有实数根，则的值可以是（ ） A． B．1.5 C．2 D． 7．关于x的一元二次方程的一个根是,则m的值和方程的另一个根是（  ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，于点，，， 则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B 点作BE⊥AC于E点，若BE＝4，则AD的长等于（　　） A．8 B．10 C．3 D．4 10．永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（   ） A． B． C． D． 11．如图，中，，，平分，交于点，， 交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．已知满足，则的值为 ． 14．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是 ． 15．一段路基的横断面是直角梯形，如图1所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如图2所示的技术要求．改造后坡面的坡度是 ． 16．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠， 当点落在点处时，恰好，若，则 ． 三、解答题（共72分） 17．计算：（第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分，共16分） (1) (2) (3)； 18．（10分）某科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 素材3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时 问题解决 任务 求智能摆件的销售价． 19．（10分）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． (1)画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与 位似，且位似比为，点的坐标是________： (3) 根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形， (4) 点的坐标为_______，位似比的值为_______； 20．（10分）如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 21．（12分）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，测得点与观测点的距离为海里． (1)如图填空： 度； (2)求观测点与之间的距离； (3)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 22．（14分）如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，________；②当时，________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 海南省海口市2025-2026学年上学期九年级数学期末复习试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C A B B D C 题号 11 12 答案 B C 1．B 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，准确计算是解题的关键． 根据算术平方根的定义，，因此先计算平方，再取非负平方根． 【详解】； 故选． 2．C 【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式减法、乘法及除法法则计算可得． 【详解】解：A．3与2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B．，此选项计算错误； C．，此选项计算正确； D．，此选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 3．B 【分析】根据同类二次根式的定义，得，求得选择即可． 本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 4．D 【分析】根据x的值和完全平方公式可以解答本题． 【详解】∵x＝−1， ∴x2＋2x＋1＝（x＋1）2＝（−1＋1）2＝（）2＝2， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法． 5．C 【分析】对一元二次方程进行配方，即可求解． 【详解】解：对一元二次方程进行配方可得 由题意可得： 解得 故选：C 【点睛】此题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是掌握配方法求一元二次方程． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当时，该方程有实数根．根据一元二次方程有实数根的条件，判别式，列式求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 则的值可以是． 故选：A． 7．B 【分析】由于x=-1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】∵x=-1是方程的根， ∴1+2+m=0， ∴m=-3， 设另一个根为x2，则-1+x2=2， ∴x2=3， 故选B 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值，然后根据根与系数的关系就可以求出方程的另一个根． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 9．D 【分析】根据矩形的性质得出∠BAD=90°，设，在中，利用勾股定理求得，再利用，求得，解方程组求出即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AD=BC，AB=DC， 设， ∵AC=10，BE⊥AC， 在中，， ∴①， 又∵，BE=4， ∴， 即②， ∵BC＞AB， 联立①②得， 解得：，， 即AD=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和三角形的面积，能得出关于的方程组是解此题的关键． 10．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 延长，交于，证明，，得到，，将相关数据代入计算即可． 【详解】解：如图，延长，交于， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 11．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解分式方程，解题关键是利用角度关系证明等腰三角形，结合相似三角形列比例式求解，易错点是角度推导或相似三角形的对应边混淆． 根据等腰三角形的性质与判定推出，设，再通过证明得到，列出关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 所以， 故选：B． 12．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，证得，再证明，证得，代入已知线段求得，从而可求得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13． 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，以及简单的代数化简与求值，解题的关键在于被开方数的非负性来确定变量a的取值范围． 根据被开方数非负求得，进而代入原式求得，最后计算即可． 【详解】解：满足， ， 解得， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， ∴进馆人次的月平均增长率为， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题.根据正弦的定义，得到，利用勾股定理求出，进而求出的长，在不改变土石方量，全部利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形面积梯形面积，可再求出，即可求出改建后的坡度． 【详解】解：作于，得矩形与． 在中，，， ， ， ， ；    作于，在不改变土石方量，全部利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小， 则梯形面积梯形面积， 即， 解得， 所以改造后的坡度. 故答案为： 16． 【分析】由，，是边上的中线，可知，则，由翻折的性质可知，，，则，如图，记与的交点为，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， 如图，记与的交点为，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解：原式 ． 18．智能摆件的销售价为75元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设智能摆件的销售价为元， 根据题意得： 解得：．当优惠力度最大时，． 答：智能摆件的销售价为75元． 19．(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形变换（平移、位似），解题的关键是掌握平移的坐标变化规律和位似图形的性质． （1）根据平移的坐标变化规律，确定点的坐标； （2）以点为位似中心，按位似比缩放得到，确定的坐标； （3）根据位似图形的对应点连线交点确定位似中心，并计算位似比． 【详解】（1）解：如图：即为所求， 图形向下平移4个单位长度，坐标变化规律为“纵坐标减4”， 因为点的坐标为， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）解：如图：即为所画，点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图：连接并延长，其交点即为位似中心， 通过网格可得点的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，结合图形得位似比为． 故答案为：． 20．(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 21．(1)； (2)观测点与点之间的距离为海里； (3)救援船到达点需要的最少时间是小时． 【分析】（）由点位于观测点的北偏西方向上，则有，再通过角度和差即可求解； （）过作于，分别在和中，解直角三角形即可求解； （）过作，交延长线于，求得四边形为矩形，在中，利用勾股定理即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）∵点位于观测点的北偏西方向上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，    根据题意可知：，海里， ∴（海里）， ∵， ∴（海里）， ∴（海里）． 答：观测点与点之间的距离为海里； （3）如图，作于点， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 在中，根据勾股定理，得 （海里）， ∴（小时）， 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 22．(1)①2；②2 (2)不变，证明见解析 (3)1或3 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当时，由三角形的中位线定理得到，从而有； ②当时，同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故，，的大小无变化； （3）点A，C，E三点共线时，或，根据线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 点分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． （2）解：的大小不变，证明如下： 如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即， ∵， ∴， ， ， ∴当时，的大小不变； （3）解：①当在如图位置时，点A，C，E三点共线，此时， ∵，点D是的中点， ∴． ②当旋转到如图位置时，，，E三点共线，此时， ∴点B，C，D三点也共线， ∵，， ∴． 综上所述，的长为1或3． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $