5.4 用一次函数解决问题（课件） 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦苏科版八年级上册“用一次函数解决问题”，通过纸杯叠放实例导入，引导学生观察数量关系、抽象函数表达式，构建从具体情境到数学模型的学习支架。 其亮点在于结合工厂利润、运输费用等生活实例，通过建立函数模型与图象分析，发展抽象能力、模型意识和几何直观。采用问题链引导探究，分层作业设计，助力学生提升用数学思维解决实际问题的能力，为教师提供结构化教学资源。

苏科版八年级数学上册 第5章 一次函数 5.4 用一次函数解决问题 导入新课 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装.当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ 3 导入新课 如果一个纸杯的高度是7.5 cm，每叠放1 个纸杯，纸杯的总高度增加0.5 cm，这个问题中哪两个量之间存在关系？ 纸杯的个数与纸杯的总高度之间存在一定的关系. 纸杯的个数与纸杯的总高度之间存在怎样的数量关系？ 当纸杯的个数确定时，纸杯的总高度随之确定，纸杯的总高度是纸杯个数的函数. 4 导入新课 设共有x 个纸杯，纸杯的总高度为y cm，纸杯的个数与纸杯的总高度之间的函数表达式是什么呢？ y＝7.5＋0.5(x－1). 其中自变量x取什么样的数呢？ 自变量x取正整数. 5 导入新课 能不能求出问题中的5 种情况下纸杯的总高度呢？ 只要把函数表达式中x的取值分别用5，10，15，20，25代入，就可以得到各摞纸杯的总高度，分别是9.5 cm，12 cm，14.5 cm，17 cm，19.5 cm. 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装.当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ 6 高效课堂 活动一：建立函数模型解决实际问题 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12 000 元/天，该种产品的原料及加工成本为900 元／件，每天生产的产品以1 200 元/件全部售出.(成本包括固定成本、原料及加工成本) (1)说明利润y(元/天)是生产数量x(件/天)的函数，并写出函数表达式； (2)如果某天生产了50 件产品，那么这天的利润是多少元？ 利润如何表示？ 利润＝总收入－总成本. 7 高效课堂 解 (1)根据题意，利润y(元/天)随生产产品的数量x(件/天)的变化而变化，当产品数量确定时，利润随之确定，y是x的函数，其函数表达式为y＝1 200x－(900x＋12 000). 即y＝300x－12 000. (2)当x＝50时，y＝300×50－12 000＝3 000(元/天). 答：这天的利润是3 000 元. 8 高效课堂 在例1中，要使得该工厂的利润超过9 000 元/天，每天至少需要生产多少件产品？ 要使得该工厂的利润超过9 000 元/天，即利润y＞9 000，需300x－12 000＞9 000，解这个不等式可得x＞70.即每天至少需要生产70 件产品. 9 高效课堂 活动二：借助函数图象解决实际问题 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择.汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y(元)表示运输的费用，x(km)表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示.你认为哪种运输方式花费较少？ 10 高效课堂 里程为80 km时，两种运输方式的费用分别是多少？在图象上表现为什么特征？ 里程为80 km时，两种运输方式的费用都是570 元，在图象上表现为两条射线的交点. 当里程小于80 km时，对应的图象位于什么范围？哪种方式的费用少？ 当0≤x＜80时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的下方，所以当里程小于80 km时，汽车运输花费较少. 11 高效课堂 当里程大于80 km时，对应的图象位于什么范围？哪种方式的费用少？ 当x＞80时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的上方，所以当里程大于80 km时，火车运输方式花费较少. 12 高效课堂 例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度. (1)在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？ (2)列车发车12 min时的速度是多少？ 13 高效课堂 你能用语言描述每个时间段列车的运行状况吗？ 在0～3 min这个时间段，列车在加速；在3～10 min这个时间段，列车匀速行驶；在10～14 min这个时间段，列车在减速至停止运行. 分析 根据列车运行状况的图象，当0≤t≤3及10<t≤14时，速度v是时间t的一次函数；当3<t≤10时，速度v是常数. 14 高效课堂 解 由题图，可知： (1)当3<t≤10时，v＝5 km/min，在3～10 min这个时间段列车运行的路程为5×(10－3)＝35(km). (2)当10<t≤14时，设函数表达式为v＝kt＋b.函数图象经过点(10，5)和(14，0).将这两个点坐标分别代入函数表达式，得 解这个方程组，得 15 高效课堂 所以当10<t≤14时，v关于t的函数表达式为：v＝－1.25t＋17.5. 当t＝12时，v＝－1.25×12＋17.5＝2.5(km/min). 所以列车发车12 min时的速度是2.5 km/min. 16 高效课堂 例3 如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB＝8 m，BC＝6 m.画面设计如图：P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2 m/s的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面.当△APD的面积达到电子屏的 时开始播放广告语，直至点P到达点C.画出△APD的面积S(m²)关于点P的运动时间t(s)的函数图象，并求出广告语的播放时间(结果精确到0.1 s). 17 高效课堂 当点P在边AB上运动时，△APD的面积怎么表示？ 当点P在边AB上运动时，S＝ AD×AP. 当点P在边BC上运动时，△APD的面积怎么表示？ 当点P在边BC上运动时，S＝ AD×AB. 18 高效课堂 解 当点P在边AB上运动时，AP＝2t. S＝ AD×AP＝ ×6×2t＝6t(m²). 此时，t的取值范围是0≤t≤4. 当点P在边BC上运动时，S＝ AD×AB＝ ×6×8＝24(m²). 此时，t的取值范围是4≤t≤7. 函数图象如图所示. 19 高效课堂 当S＝ ×6×8＝16(m²)时，开始播放广告语.过点(0，16)画横轴的平行线，与函数图象交于点A.令6t＝16，解得t＝ .所以点A的坐标为( ，16).观察图象可知，当 ≤t≤7时，S≥16.所以广告语播放时间为：7－ ＝ ≈4.3(s). 20 课堂评价 1.5 21 课堂评价 22 课堂评价 23 课堂总结 1.通过今天的学习，你学会了什么内容？ 2.你还有哪些困惑？ 24 作业设计 基础性作业：教材习题第1～3题. 提高性作业：教材习题第5，6题. 25 感 谢 观 看 $