5.4 用一次函数解决问题（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版同步教学课件

该初中数学课件聚焦用一次函数解决问题，涵盖简单实际问题、方案选择、最值及图象问题。课堂导入通过纸杯叠放高度、运输费用比较等生活实例，引导学生从具体情境抽象出函数关系，搭建从实际问题到函数模型的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，通过问题导入和分题型典例精析，培养学生数学眼光、数学思维与数学语言的核心素养。如利润计算建立函数表达式，方案选择比较函数关系选最优，帮助学生提升建模能力，教师可直接使用丰富例题提高教学效率。

第5章 一次函数 5.4 用一次函数 解决问题 苏科版 八年级上册 教学目标 01 能用一次函数解决简单实际问题 02 能用一次函数解决方案选择问题、最值问题 03 能用一次函数解决简单图象问题 简单实际问题 问 题 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装。当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ 01 课堂导入 一摞纸杯的高度和哪些量有关系？ 每增加一个纸杯， 总高度的增加值相同。 如果一个纸杯的高度是9.5cm，每叠放1个纸杯，纸杯的总高度增加0.5cm，那么当纸杯的个数确定时，纸杯的总高度随之确定，纸杯的总高度y cm是纸杯个数x的函数，函数表达式为： y = 9.5 + 0.5( x - 1 )，其中自变量x取正整数。 只要把函数表达式中x的取值分别用5，10，15，20，25代入，就可以得到各摞纸杯的总高度，分别是11.5cm，14cm，16.5cm，19cm，21.5cm。 01 课堂导入 02 知识精讲 建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题。 02 知识精讲 解：( 1 ) 根据题意，利润y (元/天)随生产产品的数量x (件/天)的变化而变化，当产品数量确定时，利润随之确定，y是x的函数，其函数表达式为y = 1200x - ( 900x + 12000 )。即y = 300x - 12000。 ( 2 ) 当x = 50时，y = 300 × 50 - 12000 = 3000 (元/天)。 答：这天的利润是3000元。 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天， 该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出。(成本包括固定成本、原料及加工成本) ( 1 ) 说明利润y (元/天)是生产数量x (件/天)的函数，并写出函数表达式； ( 2 ) 如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元？ 探 究 02 知识精讲 在例1中，要使得该工厂的利润超过9000元/天，每天至少需要生产多少件产品？ 解：由题意可得：300x - 12000 > 9000，解得：x > 70。 答：每天至少需要生产71件产品。 03 典例精析 题型一 简单实际问题： 例1-1、等腰三角形的周长是20，底边长y与腰长x的函数关系式是______________________。(同时写出x的取值范围) y = -2x + 20 ( 5 < x < 10 ) 解：∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为20， ∴y = 20 - 2x， 由题意可得：，解得：5< x < 10， ∴y = -2x + 20 ( 5 < x < 10 )。 注意自变量的取值范围 03 典例精析 题型一 简单实际问题： 例1-2、某车间共有20名工人，每人每天可加工甲种零件6个或乙种零件4个，现安排x名工人加工甲种零件，其余的人加工乙种零件。已知加工一个甲种零件可获利15元，加工一个乙种零件可获利25元。 ( 1 ) 求该车间每天所获总利润y(元)与x(名)之间的函数表达式； ( 2 ) 如何分工可使车间每天获利1950元？ 解：( 1 ) 由题意可得：y = 6 × 15·x + 4 × 25 × ( 20 - x )， 整理得：y = -10x + 2000； ( 2 ) 令-10x + 2000 = 1950，解得：x = 5，则20 - x = 20 - 5 = 15， 答：安排5名工人加工甲种零件， 15名工人加工乙种零件可使车间每天获利1950元。 03 典例精析 题型二 方案选择问题： 例2、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。 ( 1 ) 分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果质量x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ( 2 ) 依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。 解：( 1 ) 甲方案：由题意可得：y = 9x ( x ≥ 3000 )， 乙方案：由题意可得：y = 8x + 5000 ( x ≥ 3000)； 注意自变量的取值范围 03 典例精析 题型二 方案选择问题： 例2、( 1 ) 甲方案：y = 9x ( x ≥ 3000 )，乙方案：y = 8x + 5000 ( x ≥ 3000 )； ( 2 ) 依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。 ( 2 ) 由题意可得：当9x = 8x + 5000时，x = 5000， 当购买5000千克时，两种购买方案付款相同， 当购买量大于5000千克时，9x>8x+5000，∴甲方案付款多，乙付款少， 当购买量小于5000千克时，9x<8x+5000，∴甲方案付款少，乙付款多。 03 典例精析 题型三 最值问题： 例3、学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动。与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品。经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元。 ( 1 ) 求A，B两种奖品的单价； ( 2 ) 学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍。设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 03 典例精析 题型三 最值问题： 例3、经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元。 ( 1 ) 求A，B两种奖品的单价； ( 2 ) 学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍。设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 解：( 1 ) 设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 则有，解得：， 答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元； 03 典例精析 题型三 最值问题： 例3、( 1 ) A、B两种奖品的单价分别为24元和16元； ( 2 ) 学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍。设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ ( 2 ) 设花费w元，购买B种奖品( 60 - a )个，∵a > 2 ( 60 - a )，∴a > 40， 由题意可得：w = 24a + 16 ( 60 - a ) = 8a + 960， ∵8 > 0，∴w随a的增大而增大， ∵a为正整数，∴a取最小值41时，w有最小值， w的最小值为8 × 41 + 960 = 1288 (元)，60 - a = 19， 答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元。 简单图象问题 问 题 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择。汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y (元)表示运输的费用，x ( km )表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示。你认为哪种运输方式花费较少？ 01 课堂导入 解：观察图象可以发现，当x = 80时，两个函数图象相交于一点，此时两种运输方式费用相等，都是570元； 问 题 当0 ≤ x < 80时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的下方，所以当里程小于80 km时，汽车运输方式花费较少； 当x > 80时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的上方，所以当里程大于80km时，火车运输方式花费较少。 01 课堂导入 02 知识精讲 分析：根据列车运行状况的图象， 当0 ≤ t ≤ 3及10 < t ≤ 14时，速度v是时间t的一次函数； 当3 < t ≤ 10时，速度v是常数。 例2 下图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度。 ( 1 ) 在3～10min 这个时间段列车运行的路程是多少？ ( 2 ) 列车发车12min时的速度是多少？ 解：由图可知：( 1 ) 当3 < t ≤ 10时 ，v = 5 km/min。 在3～10min这个时间段列车运行的路程为5 × ( 10 - 3 ) = 35 ( km )。 02 知识精讲 ( 2 ) 当10 < t ≤ 14时，设函数表达式为v = kt + b。 函数图象经过点( 10，5 )和( 14，0 ) 。 将这两个点坐标分别代入函数表达式，得，解得， ∴当10 < t ≤ 14 时，v关于t的函数表达式为：v = -1.25t + 17.5。 当t = 12时 ，v = -1.25 × 12 + 17.5 = 2.5 ( km/min )。 ∴列车发车12min时的速度是2.5 km/min。 例2 下图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度。 ( 2 ) 列车发车12min时的速度是多少？ 02 知识精讲 例3 如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB = 8m， BC = 6m。动态效果设计如下：动点P从点A出发沿 长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，逐渐 展开主体广告画面。 ( 1 ) 写出屏幕展开面积S m2关于点P的运动时间t s的 函数表达式，并画出函数图象； ( 2 ) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积。 02 知识精讲 解：( 1 ) 当点P在边AB上运动时， S = AD × AP = × 6 × 2t = 6t。 此时，t的取值范围是0 ≤ t ≤ 4。 例3 AB = 8m，BC = 6m。动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动。 ( 1 ) 写出屏幕展开面积S m2关于点P的运动时间t s的函数表达式，并画出函数图象； 02 知识精讲 当点P在边BC上运动时，S = ( BP + AD ) × AB = ( 2t - 8 + 6 ) × 8 = 4 ( 2t - 2 ) = 8t - 8。 此时，t的取值范围是4 ≤ t ≤ 7。 ∴函数表达式为当0 ≤ t ≤ 4时，S = 6t； 当4 ≤ t ≤ 7时，S = 8t - 8。 函数图象如图所示。 例3 AB = 8m，BC = 6m。动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动。 ( 1 ) 写出屏幕展开面积S m2关于点P的运动时间t s的函数表达式，并画出函数图象； 02 知识精讲 ( 2 ) 当S = × 8 × 6 = 16 ( m2 )时，开始播放广告语，此时点P在边AB上运动， 则6t = 16，解得t = 。 当t = + 3 = ( s )时，广告语播放结束，此时点P在边BC上运动， 则S = 8 × - 8 = ( m2 )。 例3 ( 1 ) 函数表达式为当0 ≤ t ≤ 4时，S = 6t； 当4 ≤ t ≤ 7时，S = 8t - 8。 ( 2 ) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积。 02 知识精讲 电子屏幕未展开的面积为6 × 8 - = ( m2 )。 ∴电子屏幕未展开的面积为m2。 例3 ( 1 ) 函数表达式为当0 ≤ t ≤ 4时，S = 6t； 当4 ≤ t ≤ 7时，S = 8t - 8。 ( 2 ) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积。 03 典例精析 题型四 简单图象问题： 例4、小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟， 他离家的路程s (千米)与所经过的时间t (分)关系如图。有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米/分钟； ②a的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍； ④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米。 其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：学校到书店速度为( 3.5 - 2 ) ÷ 10 = 0.15 (千米/分钟)，∴①正确； a = 10 + 5 = 15，∴②正确； t (分钟) O 10 2 3.5 s (千米) 20 a 03 典例精析 题型四 简单图象问题： 例4、①学校到书店速度为0.15千米/分钟；√ ②a的值为15；√ ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍； ④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米。 其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 从书店到家的速度为2 ÷ ( 20 - 15 ) = 0.4 (千米/分钟)， 0.4 ÷ 0.15 = ，∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍，∴③不正确； 当小明离家的路程为0.8千米时，得2 - 0.4 ( t - 15 ) = 0.8，解得：t = 18， ∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米，∴④正确。 C t (分钟) O 10 2 3.5 s (千米) 20 a 5.4 用一次函数 解决问题 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $