12-专题5 提升点11 专题强化训练-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

提升点11 专题强化训练 1 1.（2024·上海春季卷节选）在平面直角坐标系中，已知点 为椭圆 上一点，， 分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点的横坐标为2，求 . 解：由题意可知, , 故,所以, . 设点的坐标为 , 由题意知,则 , 所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 2 （2）设 的上、下顶点分别为，，记的面积为 ， 的面积为，若,求 的取值范围. 解：由已知，得, ,且 , . 由题意可得 , 则,又 , 专题强化训练 1 2 3 4 3 所以 ， 所以,解得 , 因此, . 故的取值范围为, . 专题强化训练 1 2 3 4 4 2.已知直线与抛物线交于，两点，是线段 的中点. （1）若直线的斜率为1，求点 的横坐标； 解：设，， ， 则 . 由直线的斜率为1，得 ， 所以，即点 的横坐标为2. 专题强化训练 1 2 3 4 5 （2）若，求点 纵坐标的最小值. 解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 ， 由得 ， 则 ， 即 ，① 则， ， 由 ， 专题强化训练 1 2 3 4 6 得 ， 所以 .② 由，得 ， 故点的坐标为 ， 由①②得 ， 当且仅当，即时取等号，故点 纵坐标的最小值为3. 专题强化训练 1 2 3 4 3.（2024 ·济洛平许质量检测）已知 是椭圆 上的动点，过原点 向圆 引两条切线，分别与椭 圆交于，两点（如图所示），记直线， 的斜 率分别为,,且 . 专题强化训练 1 2 3 4 8 （1）求圆的半径 ； 解：由题意，切线，的方程分别为, , 则有, , 故,是方程 ， 即方程 的两根. 专题强化训练 1 2 3 4 9 当时,圆与轴相切，直线 的斜率不存在，矛盾，故 ，此时 ， 于是,化简得 ,解得 （负值已舍去）. 专题强化训练 1 2 3 4 10 （2）求证： 为定值； 证明：设,,依题意，,代入 可得 , 解得 , 于是 ， 同理 . 专题强化训练 1 2 3 4 11 所以 , 即 为定值7. 专题强化训练 1 2 3 4 （3）求四边形 面积的最大值. 解： ， 当且仅当 时，等号成立， 所以四边形面积的最大值为 . 专题强化训练 1 2 3 4 13 4.（2024·天津卷）已知椭圆，椭圆的离心率 ， 左顶点为，下顶点为，为坐标原点，是线段 的中点，其中 ． （1）求椭圆的方程. 解：因为,所以,则 , 由题知，，, , 所以 , 得，所以, . 故椭圆的方程为 . 专题强化训练 1 2 3 4 14 （2）过点,的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点 使得？若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说 明理由． 专题强化训练 1 2 3 4 15 解：假设在轴上存在点，使得 . 设，， ． 当直线的斜率不存在时，不妨设， ，则 ，解得 ． 当直线的斜率存在时，则其方程为,由 可得 , 所以 , 专题强化训练 1 2 3 4 16 , . 则 专题强化训练 1 2 3 4 , 所以对 恒成立，则 解得 . 综上，点的纵坐标的取值范围是， . 专题强化训练 1 2 3 4 $