08-专题5 提升点9 专题强化训练-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

提升点9 专题强化训练 1 1.（2024·太原模拟）已知椭圆经过点， 且 离心率,点是上一动点.点是的中点（为坐标原点），过点 的直线交于，两点，且 . （1）求椭圆 的标准方程； 解：由题意得解得 所以椭圆的标准方程为 . 专题强化训练 1 2 3 4 2 （2）当直线的斜率和直线的斜率 都存在且不为0时，证 明： . 证明：设,, , 则,所以 . 由得 , 所以 , 即,即 . 专题强化训练 1 2 3 4 3 2.已知双曲线的离心率为,经过坐标原点的直线 与双曲线交于,两点，点位于第一象限，是双曲线 右支上一点，,设点, . （1）求双曲线 的标准方程； 解：由题意可知，解得 , 所以双曲线的标准方程为 . 专题强化训练 1 2 3 4 4 （2）求证：,, 三点共线. 证明：方法一：由题意可知，直线, 的斜率存在且不为0.因为 , 所以,即 . 又点,在双曲线 的右支上， 所以 两式作差得 , 专题强化训练 1 2 3 4 5 由对称性可知 ， 则 , 又,所以.又，有公共点，所以 , , 三点共线. 专题强化训练 1 2 3 4 方法二：由题意可知，直线, 的斜率存在且不为0，且由对称性可知 . 因为,所以 .① 又 , 点，在双曲线 上， 所以 专题强化训练 1 2 3 4 7 所以 由①②得,所以 , 又，所以 . 又,有公共点，所以,, 三点共线. 专题强化训练 1 2 3 4 3.（2024·阜阳模拟）已知双曲线 的左、右 顶点分别为，，动直线过点，当直线与双曲线 有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为 . （1）求双曲线 的标准方程. 解：由题意知,所以 , 当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，与 的渐近线平行. 则直线的方程为,则点到直线的距离为 ,所 以 , 所以双曲线的标准方程为 . 专题强化训练 1 2 3 4 9 （2）当直线与双曲线交于异于，的两点，时，记直线 的斜率 为,直线的斜率为,是否存在实数 ,使得 成立？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由. 专题强化训练 1 2 3 4 10 解：由题可知，直线 的斜率不为0，设直线 ,, , 由 得 . ，则, , 所以 . 又,,假设存在实数 ， 专题强化训练 1 2 3 4 11 使得 成立，则 . 故存在实数,使得 成立. 专题强化训练 1 2 3 4 4.（2024·邯郸调研）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、 轴， 且过，， 两点. （1）求 的方程. 解：由题设椭圆的方程为 ， 因为椭圆过，， 两点， 所以解得 所以椭圆的方程为 . 专题强化训练 1 2 3 4 13 （2），是上两个动点，为的上顶点，是否存在以为顶点， 为 底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存 在，请说明理由. 专题强化训练 1 2 3 4 14 解：由（1）知，易知要使为以 为 顶点，为底边的等腰直角三角形，则直线 ， 的斜率均存在且不为0，不妨设 ， 则，直线的方程为,直线 的方程为 , 由椭圆的对称性可知，当时，显然有， ，满 足题意； 专题强化训练 1 2 3 4 15 当时，由消去 整理得到 ,所以 , 则 , 即, , 同理可得, ， 所以 专题强化训练 1 2 3 4 , 设中点坐标为 , 则 , . 所以线段 的中垂线方程为 , 专题强化训练 1 2 3 4 要使是为底边的等腰直角三角形，则线段 的中垂线过点 ， 所以 ,整理得到 ,令,则,,所以 有两 根,,且,，即 有两个正根且 这两个正根均不为1，故有2个不同的值，满足 , 所以由椭圆的对称性知，当 时，还存在2个符合题意的三角形. 综上所述，存在以为顶点， 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三 角形的个数为3. 专题强化训练 1 2 3 4 $