09-专题5 提升点10 定值、定点与定线问题-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何中的“定值、定点与定线”核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，通过梳理近三年高考真题及模拟题，分析此类问题在解答题中的高频考查权重，归纳出定值证明、定点探究、定线论证三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+技法提炼+素养提升”，精选2024东北三省四市联考、新课标Ⅱ卷改编题等真题，通过“特殊值探路-参数方程推导-韦达定理应用”三步法突破定值问题，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。设置“易错点警示”和“母题变式训练”，助力学生掌握弦长公式、垂直平分线方程等关键技巧，教师可据此开展针对性教学，提升复习效率。

提升点10 定值、定点与定线问题 1 题型一 定值问题 定值问题，其本质为求值，若求值过程中含有参数，则利用等量代换、 约分等，使得代数式计算结果不含参数，为一个常量.也可以赋予参数特 殊值，先得到定值，再进行计算验证. 解题步骤为： 二 轮 专 题 复 习 2 （1）求双曲线 的标准方程； 【解】双曲线可化为 . 当与 轴垂直时， ,解得 , 所以双曲线的标准方程为 . ［例1］ （2024·东北三省四市联考）在平面直角坐标系中，， 分别 为双曲线的左、右焦点，过的直线 与双曲线 的右支交于，两点.当与轴垂直时， 的面积为12. 二 轮 专 题 复 习 3 （2）若与轴不垂直，作线段的垂直平分线，交轴于点.求证： 为定值. 证明：由（1）知，设直线的方程为, , ， M为线段的中点，联立 消去整理得,， ， 因此, . 二 轮 专 题 复 习 4 则,, . 所以线段的垂直平分线的方程为,则, , , . 所以，即 为定值1. 二 轮 专 题 复 习 求解定值问题的途径 （1）途径一：首先由特例得出一个值（此值一般就是定值）,然后证明定 值，即将问题转化为证明待证式与参数（某些变量）无关. （2）途径二：先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足 的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值. 二 轮 专 题 复 习 6 ［对点训练］ 已知椭圆的离心率为， ， 分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点， 的周长为 . （1）求椭圆 的方程； 解：由已知可得 解得所以椭圆的方程为 . 二 轮 专 题 复 习 7 （2）若为圆上任意一点，过点作椭圆 的两条切线，切点 分别为，，证明： 为定值. 证明：设，则 . 当时，，显然 ， 则 . 当时，过点的切线可设为 ， 联立 二 轮 专 题 复 习 8 消去整理得 ， 所以 ， 整理成关于 的方程， 得， ， 此方程的两个根，即为切线， 的斜率， 所以 . 所以，所以 . 综上所述， ，为定值. 二 轮 专 题 复 习 题型二 定点、定线问题 解决解析几何解答题，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础 上，应突出点与线“设”的重要性，以达到简化运算的目的. 二 轮 专 题 复 习 10 角度1 定点问题 ［例2］ （2024·江西红色十校联考）设抛物线 ,过 焦点的直线与抛物线 交于点，.当直线垂直于 轴 时， . （1）求抛物线 的标准方程； 【解】由题意及抛物线性质知，当直线垂直于轴时， , 即，所以抛物线 的标准方程为 . 二 轮 专 题 复 习 11 （2）已知点，直线，分别与抛物线 交于， 两点.求证： 直线 过定点. 证明：易知直线不与轴重合，点 ， 设，,直线的方程为 . 联立得 , , 因此, . 设直线的方程为 , 二 轮 专 题 复 习 12 联立得 , 则 , 因此, , 则,同理可得 . 当直线 斜率存在时可得 . 因此可设直线的方程为,由对称性知，定点在 轴上， 二 轮 专 题 复 习 令 得， , 所以直线过定点 . 二 轮 专 题 复 习 曲线过定点问题的求解思路 一是“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为 有方向、有目标的一般性证明； 二是“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根 据参数的任意性得到定点坐标. 二 轮 专 题 复 习 15 角度2 定线问题 ［例3］ （2023·新课标Ⅱ卷改编）已知双曲线.记 的左、 右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点， 在第二象限，直线与交于点.证明:点 在定直线上. 二 轮 专 题 复 习 16 【证明】 由双曲线的方程可得， ，设 , , 显然直线 的斜率不为0， 所以设直线的方程为 , 且,与 ， 联立可得 , 且 , 二 轮 专 题 复 习 17 则, , 直线的方程为,直线的方程为 , 联立直线与直线 的方程可得 二 轮 专 题 复 习 18 . 则 ， 解得,即 , 则点在定直线 上. 二 轮 专 题 复 习 19 证明动点在定线上的方法 （1）参数法：由已知条件中影响动点的含参方程，确定动点坐标<m></m> 与参数间的数量关系，再根据等量关系或几何关系消去参数，求得关于<m></m>, <m></m>且不含参数的固定方程，故该动点就在此定线上. （2）特殊探求法：从动点形成的动源入手，取动点运动中几个特殊位置， 初步探索动点所在的直（曲）线，然后再证明无论动源怎样变化，动点 <m></m>始终在此直（曲）线上. 二 轮 专 题 复 习 20 ［对点训练］ 已知抛物线经过点 . （1）求抛物线 的方程及其准线方程； 解：将点代入抛物线，可得,即 ,可得抛 物线的方程为,准线方程为 . 二 轮 专 题 复 习 21 （2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线 于两 点，，直线分别交直线，于点和点.求证：以 为直 径的圆经过 轴上的两个定点. 二 轮 专 题 复 习 22 证明：抛物线的焦点为 ， 由题意知，直线 的斜率存在且不为0， 则设直线的方程为 , 联立抛物线方程，可得 , 设, , 可得, , 直线的方程为,即 , 直线的方程为 , 二 轮 专 题 复 习 23 即,可得,,, , 则的中点的横坐标为 , 即以为直径的圆的圆心为 , 半径为 , 可得圆的方程为 , 化为 , 令，可得或 . 则以为直径的圆经过轴上的两个定点， . 二 轮 专 题 复 习 $