09-专题2 提升点4 数列中的综合问题-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦数列综合问题，覆盖数列与函数、不等式结合，最值范围，与集合交汇及创新问题等核心考点。依据高考评价体系，分析各考点权重，归纳求通项、求和、参数范围等常考题型，助力师生精准把握备考方向。 课件亮点在于融合高考真题训练与解题技法指导，通过裂项相消、单调性分析等方法突破数列不等式证明等难点，培养学生推理意识与运算能力。特设“解题技法”专栏归纳恒成立问题处理策略，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此高效组织复习，提升冲刺效果。

提升点4 数列中的综合问题 1 类型一 数列与函数、不等式 ［例1］ 已知数列的前项和为，，, . （1）求 ； 【解】因为 , 所以 . 所以 , 因为,所以 . 二 轮 专 题 复 习 2 又, , 所以 , 所以数列 的奇数项、偶数项分别是以2，4为首项，4，4为公差的等差 数列． 当时， ; 当时，.综上， . 二 轮 专 题 复 习 3 （2）设，数列的前项和为，若 ，都 有成立，求实数 的取值范围． 【解】 因为 , 所以 . 二 轮 专 题 复 习 4 所以, . 若，都有 成立， 则只需满足 ， 且,则 , 所以 的取值范围是 . 二 轮 专 题 复 习 5 求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问 题，若恒成立，则；若 有解，则 .在求与 时可利用函数的单调性求解. 二 轮 专 题 复 习 6 ［对点训练］ 已知正项数列的前项和为,且 . （1）求证：数列 为等差数列； 证明：因为，所以当时， , 所以 ， 所以 . 当时， ， 所以，即，故 是首项为1，公差为1的等差数列． 二 轮 专 题 复 习 7 （2）记，求证： . 证明： 由（1）知正项数列的前项和满足 , 所以， , 所以 , 即 . 二 轮 专 题 复 习 8 类型二 与数列有关的最值、范围 ［例2］ 已知数列的前项和为,, . （1）求数列 的通项公式； 【解】因为 , 由 ， 得 , 所以 , 所以 , 二 轮 专 题 复 习 9 即 . 在中，令，得 ，所 以 . 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，即 . 当时，，当 时， 也适合上式， 所以数列的通项公式为 . 二 轮 专 题 复 习 10 （2）设，数列的前项和为，求证： . 证明：由（1）知 , 所以 , 二 轮 专 题 复 习 11 因为，所以随着 的增大而增大， 所以 . 又 . 所以 . 二 轮 专 题 复 习 12 求数列和式最值、范围的基本方法 （1）利用不等式组<m></m>确定和式的最大值； 利用不等式组<m></m>确定和式的最小值． （2）利用和式的单调性. （3）把数列的和式看作函数求其最值、值域． 二 轮 专 题 复 习 13 ［对点训练］ 在公差不为零的等差数列中，，且,, 成 等比数列，数列的前项和满足 . （1）求数列和 的通项公式； 解：设等差数列的公差为,则 ， 因为,且,, 成等比数列， 所以，即 ， 解得或 （舍去）， 二 轮 专 题 复 习 14 所以 . 因为数列的前项和 ， 当时，,所以 ， 当时， , 所以 ， 即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以 . 二 轮 专 题 复 习 15 （2）设，数列的前项和为 ，若不等式 对任意恒成立，求实数 的取值范围. 解：由（1）可得 ， 所以 , 所以 . 令， , 二 轮 专 题 复 习 16 所以 ， 所以 单调递增， 所以 . 所以，所以 ， 所以 . 即实数的取值范围是 . 二 轮 专 题 复 习 17 类型三 数列与集合 ［例3］ （2024·日照一模）已知各项均为正数的数列的前 项和为 ，且，， 成等差数列． （1）求及 的通项公式； 【解】因为,，成等差数列，则,①且 , 当时，可得,解得或 （舍去）; 当时,可得 ,② 二 轮 专 题 复 习 18 ①②得 ， 整理得,又 ,则 , 可知数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 . 二 轮 专 题 复 习 19 （2）记集合的元素个数为，求数列 的前 50项和． 【解】 由（1）可得 , 即 , 因为 , 当且仅当,即 时，等号成立， 可知, ； 二 轮 专 题 复 习 20 当，时，因为 , , 所以 . 综上所述, 所以数列 的前50项和为 . 二 轮 专 题 复 习 解答这类问题的思路是依据题设条件，综合运用所学的知识和数学思 想方法去分析问题和解决问题.明确集合中元素属性及个数，再结合数列知 识解决此类问题. 二 轮 专 题 复 习 22 ［对点训练］ 已知是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ． （1）证明： ; 证明：设等差数列的公差为 ， 由，得，即 ， 由，得 ，即 ，即 . 二 轮 专 题 复 习 23 （2）求集合,，, 中元素的个数． 解：由（1）知， , , 由 , 得 ， 由得 ， 由题知，所以,又,所以,3,4, ， 10，共9个数，即集合,,, ,3,4, ， 中元素的个数为9. 二 轮 专 题 复 习 24 类型四 数列中的创新问题 ［例4］ （2024·温州二模改编）已知数列，满足： 是等比 数列，， ,且 . （1）求, ； 【解】因为, , 所以 , 又, , 二 轮 专 题 复 习 25 ,,所以 , 所以等比数列的公比，所以 . 又, , 则 , 将 代入， 化简得 , 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以 . 二 轮 专 题 复 习 26 （2）对数列，若存在互不相等的正整数，， , ，使得 也是数列中的项，则称数列 是“和稳定数 列”．试分别判断数列，是否是“和稳定数列”.若是，求出所有 的 值；若不是，请说明理由． 【解】 数列 是“和稳定数列”,理由如下： 当 时， 二 轮 专 题 复 习 27 是3的正整数倍， 故一定不是数列 中的项； 当 时， ,不是数列 中的项； 当 时， ,是数列 中的项. 综上，数列是“和稳定数列”， . 二 轮 专 题 复 习 28 数列 不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设,则 ,且 , 故不是数列中的项,所以数列 不是“和稳定数列”. 二 轮 专 题 复 习 29 新定义题型的破题模型 二 轮 专 题 复 习 30 二 轮 专 题 复 习 ［对点训练］ （多选）（2024·枣庄二模）将数列 中的所有项排成 如下数阵： … 二 轮 专 题 复 习 32 从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比 数列；第1列数，，, 成等差数列.若， ，则 ( ) ACD A. B. C. 位于第45行第88列 D.2 024在数阵中出现两次 二 轮 专 题 复 习 33 解析：选.由第1列数，，，, 成等差数列可设公差为, 又由，，可得,,解得, , 故A正确； 则第1列数组成数列 的通项公式为 ,又从第2行开始每一行比上一行 多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得 ，故B 错误； 二 轮 专 题 复 习 34 又因为每一行的最后一个数为，,,， ，且 ，可得 是第45行的最后一个数，因为这一行共有 个数， 是的前一个数，则 在第45行第88列，故C正确； 由题设可知第行第个数的大小为，, ,令 ，若，则 ,即 ;若,则,无整数解；若，则 ， 即;若，则 ，无整数解，故D正确. 二 轮 专 题 复 习 $