03-专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线的定义、方程与性质，依据高考评价体系明确三大核心考点，通过2024年天津卷、新课标Ⅱ卷等真题分析，梳理出定义与标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线相交的高频考查维度，归纳选择填空及解答题第一问的常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+技法提炼+素养提升”，通过2024年新课标Ⅰ卷离心率问题，示范“公式法+转化法”突破策略，培养学生数学思维与运算能力。针对中点弦问题总结“点差法”步骤，结合抛物线焦点弦结论提升解题效率，助力学生冲刺高分，为教师提供系统复习框架与精准教学指导。

第2讲 圆锥曲线的定义、 方程与性质 1 考情分析 备考关键 考点 圆锥曲线的定义与标准方程、 圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲 线相交. 考法 主要以选择题、填空题的形式 考查圆锥曲线的定义、标准方程及其 性质，求圆锥曲线的标准方程或轨迹 方程仍是解答题的第一问. 1.“待定系数法”求圆锥曲线的标准 方程，“公式法、转化法”求椭圆、 双曲线的离心率. 2.灵活利用抛物线的定义转化抛物 线上的点到焦点的距离与其到准线 的距离，尤其是处理相关最值问 题. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2024·天津卷）已知双曲线 的左、右焦点分 别为，，是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2， 是 面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 做真题 明方向 返回目录 5 解析： 选C.由题意可知， ，又直线 的斜率为2，可 得，根据双曲线定义知 ,得 ,, ,又 ，所以 ,所以 .又 ,所以,又,所以 ,所以双曲线的方程 为 . 做真题 明方向 返回目录 6 2.（多选）（2024· 新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，为 上 动点.过作的一条切线，为切点.过作 的垂线， 垂足为 .则( ) A.与 相切 B.当，，三点共线时， C.当时， D.满足的点 有且仅有2个 做真题 明方向 返回目录 7 解析： 选.对于A，易知，故与 相切，故A正确； 对于B，，的半径，当，A，B三点共线时， ，所 以， ，故B正确； 对于C，当时，，或， ，易知 与 不垂直，故C错误； 对于D，记抛物线C的焦点为，连接，（图略），易知 ，由 抛物线定义可知，因为，所以 ，所以 点在线段的中垂线上，易求得线段中垂线的方程为 ， 即，代入可得，解得 ， 易知满足条件的点 有且仅有两个，故D正确． 做真题 明方向 返回目录 8 3.（2024·北京卷）若直线与双曲线 只有一个公 共点，则 的一个取值为_________． 或 解析： 由题意，知该双曲线的渐近线方程为,直线 过 定点 . 因为点 在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共 点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以 . 做真题 明方向 返回目录 9 4.（2024· 新课标Ⅰ卷）设双曲线 的左、右焦 点分别为，.过作平行于轴的直线交于，两点.若 , ，则 的离心率为__． 做真题 明方向 返回目录 10 解析：方法一（直接法）：由 及双曲线的对称性得 ，因为 ，所以 ， ，所以， ， 则的离心率 . 做真题 明方向 返回目录 11 方法二（二级结论）：因为，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，得 ， 所以，得（负值已舍去），所以 的离心率 . 做真题 明方向 返回目录 PART 02 第二部分 研考点 破重难 13 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 （1）椭圆： . （2）双曲线： . （3）抛物线：，为抛物线的准线，点不在定直线 上， 于点 . 研考点 破重难 返回目录 14 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是 指利用待定系数法求出方程中的,, 的值. 研考点 破重难 返回目录 15 ［例1］ （1）（2024·山东多校联考）已知抛物线 的焦点为，是上一点，且到的距离比到 的对称轴的距离 多2，则 ( ) D A. B.1 C.2或4 D.4或36 【解析】 因为是C上一点，所以,所以 ,由抛物 线的定义可得点到点的距离为,点到C的对称轴的距离为 ，则 ,解得或 . 研考点 破重难 返回目录 16 （2）（2024·甘肃高考诊断考试）如图，点， 是 双曲线 的左、右焦点，同 时也是双曲线的左、右顶点，过点 的直线交双曲线的左、右两支分别于， 两点，交 双曲线的右支于点（与点不重合），且与 的周长 之差为6，则双曲线 的方程为_ ____________. 研考点 破重难 返回目录 17 解析：设双曲线的半焦距为.因为与 的周长之差为6， 所以 . 又点，分别为双曲线的左、右顶点，所以 , 所以,,,所以双曲线的方程为 . 研考点 破重难 返回目录 18 求圆锥曲线标准方程的步骤： （1）设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程. （2）求方程：利用待定系数法求出方程中的系数.特别地，当焦点位置无 法确定时，抛物线方程常设为或 ，椭圆 方程常设为,,且 ，双曲线方程常设为 . 研考点 破重难 返回目录 19 提醒（1）双曲线的定义中注意“绝对值”. （2）椭圆与双曲线方程中，， 之间的关系不要弄混，椭圆方程中 ，双曲线方程中 . 研考点 破重难 返回目录 20 ［对点训练］ 1.（2024·蚌埠质量检测）已知曲线 ，则“”是“曲线的焦点在 轴上”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析： 选A.若,则曲线表示焦点在 轴上的椭圆， 故充分性成立；若曲线C的焦点在轴上，也有可能是 ,此时曲线C表 示焦点在 轴上的双曲线，故必要性不成立. 研考点 破重难 返回目录 21 2.（2024·河南九师联盟）已知抛物线的焦点为， 为上一点，为坐标原点，当时，，则 ( ) B A.4 B.3 C.2 D.1 解析： 选B.如图，过作C的准线的垂线，垂足为 ，作 ，垂足为，由，得 ，所以 ，所以，即 . 研考点 破重难 返回目录 22 3.（2024·临沂二模）已知椭圆 的左、右焦点分别 为，，为椭圆上第一象限内的一点，且，与 轴相交 于点，离心率,若，则 ( ) A. B. C. D. B 研考点 破重难 返回目录 23 解析： 选B.设，, 则有 , , 则, 即 , 则 , 即,即, ,则 ,由， 则有 ,整理得,即 . 研考点 破重难 返回目录 24 考点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 . 2.与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 . 研考点 破重难 返回目录 25 3.抛物线的焦点弦的几个常见结论： 设是过抛物线的焦点的弦，若 ， ， 是直线 的倾斜角，则： （1）, . （2） . （3） . （4）以线段为直径的圆与准线 相切. 研考点 破重难 返回目录 26 角度1 椭圆、双曲线的性质 ［例2］ （1）（2024·东北三校联合模拟考试）已知在平面直角坐标系 中，椭圆的左顶点和上顶点分别为， ， 过椭圆的左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若 ，则 椭圆 的离心率为( ) D A. B. C. D. 研考点 破重难 返回目录 27 【解析】 记椭圆C的半焦距为 ,由椭圆C的标准方程 可知，,, , 因为，所以, ,如图. 方法一：所以，,,由题意知 ,所以 ,可得,所以椭圆C的离心率 . 方法二：由题意知,所以,可得 ,化简得 ,所以椭圆C的离心率 . 研考点 破重难 返回目录 28 （2）（2024·聊城二模）已知双曲线 的右焦 点为，一条渐近线的方程为,若直线与 在第一象限内的交 点为，且轴，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为双曲线的渐近线方程为 ,依题意有,即 , 又右焦点为，且轴，所以, ,所以 . 研考点 破重难 返回目录 29 （1）确定椭圆和双曲线的离心率的值或取值范围，其关键就是确立一个 关于,,之间的等量关系式或不等关系式，然后用,代换，进而求 的 值或取值范围. （2）求双曲线渐近线方程的关键在于求或 的值，也可将双曲线方程中 等号右边的“1”变为“0”，然后通过因式分解得到. 研考点 破重难 返回目录 30 角度2 抛物线的性质 ［例3］ （多选）（2023·新课标Ⅱ卷）设 为坐标原点，直线 过抛物线的焦点，且与交于， 两 点，为 的准线，则( ) AC A. B. C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 研考点 破重难 返回目录 31 【解析】 由题意，易知直线过点 . 对于A，因为直线 经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐 标为,所以，即 ，故A正确； 对于B，方法一：不妨设,,且 , 联立消去并整理得,解得 , .所以,, ,所以由两点间的距离公式可得 ,故B错误. 研考点 破重难 返回目录 32 方法二：不妨设,,且，联立 消 去并整理得,解得, .所以由抛物线的定义 得, ,故B错误. 方法三：设,,联立消去 并整理得 ,,则, ,所以由弦长公式得 , 故B错误. 研考点 破重难 返回目录 33 方法四：易知直线的倾斜角为 ,所以 ,故B错误; 对于C，方法一：由以上分析易知，直线的方程为，以 为直径 的圆的圆心坐标为,，圆心到直线的距离为 ,半径 ,所以以为直径的圆与 相切，故C正确. 方法二：由二级结论——以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相 切，易知C正确；对于D，由B选项方法一解析及两点间的距离公式可得 ,，，显然 不是等腰三角形，故D 错误. 研考点 破重难 返回目录 34 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的 几何图形（如三角形、直角梯形等）来确定已知量与 的关系,灵活运用抛 物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 研考点 破重难 返回目录 35 ［对点训练］ 1.（2024·兰州诊断考试）已知双曲线 与双曲线 的离心率相同，且 双曲线的顶点是双曲线的焦点，则双曲线 的虚轴长为( ) A. B. C. D.10 B 解析： 选B.由题知,所以,易知双曲线 的右 焦点为，所以,,则双曲线的虚轴长 . 研考点 破重难 返回目录 36 2.已知抛物线的焦点为，准线为,是上一点，直线 与抛物线 交于，两点，若，则 ( ) A. B. C.2 D. B 解析： 选B.分析知不可能在 轴上.根据对称性， 不妨设在 轴下方，如图， 研考点 破重难 返回目录 37 抛物线的焦点为，，准线为,设 , ，，到准线的距离分别为, , 由抛物线的定义可知, ,于是 .过点作，垂足为 . 因为，所以.所以 ，所以 . 研考点 破重难 返回目录 38 方法一：直线的斜率为，因为,,所以直线 的方程为 ,将代入方程中，得 ,化 简得,所以 ,于是 . 方法二：直线的倾斜角为 ，由抛物线焦点弦的性质可知， . 研考点 破重难 返回目录 39 考点三 直线与圆锥曲线相交 1.已知,，直线的斜率为 ， 则 或 研考点 破重难 返回目录 40 2.已知,为圆锥曲线上两点，的中点 ，直线 的斜率为 . （1）若椭圆的方程为,则 ; （2）若双曲线的方程为,则 ; （3）若抛物线的方程为,则 . 研考点 破重难 返回目录 41 角度1 弦长问题 ［例4］ 已知双曲线，经过点的直线分别与 的左、 右支交于，两点，为坐标原点，的面积为，则直线 的方 程为______________. 研考点 破重难 返回目录 42 【解析】 由题意知，直线的斜率存在，设为，则的方程为 ,联 立 消去得 , 设,,因为直线分别与的左、右支交于， 两点， 则,,则 , , 研考点 破重难 返回目录 43 由于直线经过点，则的面积 ,则 , 解得或（舍去），则,所以直线 的方程为 . 研考点 破重难 返回目录 （1）设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过 ，可设直线 方程为 ; （2）联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等于零，二 需要 ； （3）利用弦长公式计算弦长. 研考点 破重难 返回目录 45 角度2 中点弦问题 ［例5］ 已知双曲线上存在两点，关于直线 对称， 且的中点在抛物线上，则实数 的值为_______. 0或 【解析】 设,,的中点,则 研考点 破重难 返回目录 46 由得,显然 . 所以,即 , 因为，关于直线 对称， 所以,所以 , 又因为,所以, ， 代入抛物线方程得 , 解得或 ,经检验都符合题意. 研考点 破重难 返回目录 47 用“点差法”求解中点弦问题的步骤 注意 “点差法”中必须保证判别式 大于零. 研考点 破重难 返回目录 48 ［对点训练］ 1.已知椭圆的左焦点为，过点 的直线与椭圆交于不同的两点，，若为线段 的中 点，为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆 的方程为( ) B A. B. C. D. 研考点 破重难 返回目录 49 解析： 选B.因为直线过点，所以 ,设 ,,则两式相减并化简得 ， 即，所以,所以,所以 , ,所以椭圆C的方程为 . 研考点 破重难 返回目录 2.已知定点，直线与抛物线 交于两点 ，，若 ，则 ( ) C A.4 B.6 C.8 D.10 解析： 选C.设,, 消去 得 , 由题知，,故, , 则,由 ，得 研考点 破重难 返回目录 51 , 即,即 ,解得 ,则 , 则 . 研考点 破重难 返回目录 数学美 笛卡尔叶形线 ［问题背景］ 在我们的数学中，圆锥曲线是当之无愧的美的代表，它们 不但有形的美，而且有数（方程）的美，除了我们在教材中所学的圆锥曲 线之外，很多轨迹曲线也是美不胜收，例如2024年新课标Ⅰ卷选择压轴题 <m></m>就是典型的代表，试题背景是笛卡尔叶形线，其方程为 <m></m>.数学家们还为其取了一个诗情画意的名字——茉莉花 瓣曲线.几何性质有： ①渐近线方程：<m></m>； ②顶点坐标<m></m>； ③图象关于直线<m></m>对称； ④“圈套”围成的面积为<m></m>. 研考点 破重难 返回目录 53 ［真题展示］ （多选）（2024·新课标Ⅰ卷）设计一条美丽的丝带，其 造型 可以看作图中的曲线的一部分.已知过坐标原点，且 上的点满 足：横坐标大于;到点的距离与到定直线 的距离之 积为4.则( ) ABD A. B.点在 上 C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点在上时， 研考点 破重难 返回目录 54 解析： 选.因为坐标原点在曲线C上，所以，又 ， 所以 ，所以A正确； 因为点到点的距离与到定直线 的距离之积为 ，所以点 在曲线C上，所以B正确； 设 是曲线C在第一象限的点，则有 ，所以 ，令 ，则，因为 , 且，所以函数在 附近单调递减，即必定存在一小区间 研考点 破重难 返回目录 55 使得单调递减，所以在区间上均有 ， 所以 的纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误； 因为点在C上，所以且 ，得 ，所以 ，所 以D正确. 研考点 破重难 返回目录 ［跟踪训练］ （多选）卡西尼卵形线就是：曲线上点 到两个定点 ,的距离之积为常数的点的轨迹，如图是 取不 同值的卵形线,则( ) BC A.当卵形线过点时， B.当时，卵形线是形如 的双纽线，此时曲 线上仅有一个整点（横纵坐标均为整数的点） C.卵形线上两点的距离的最大值为 D.的面积 研考点 破重难 返回目录 57 解析： 选.由题意知卡西尼卵形线 的方程为 . 对于A，当 过点时，则 , 解得 ，A错误； 对于B，由题知 .当时， 或 ,此时有一个整点.当时， 无实根. 当时， .故此时曲线上仅有一 个整点 ，B正确; 研考点 破重难 返回目录 58 对于C，由 的方程易得 与轴的交点坐标为 , ,与轴的交点, , ,, ,显然知 ，C正确； 对于D，由于 . . 当且仅当 时，取等号，D错误. 研考点 破重难 返回目录 ［试题演变］ （多选）曲线上的点满足直线 的斜率大于直线 的斜率.到与轴的距离之积为 ,则( ) ABD A. B.曲线 关于原点对称 C.存在,曲线与直线 相交 D.曲线上任一点的切线与和轴围成的三角形面积为 研考点 破重难 返回目录 60 解析： 选.由题意得 , 研考点 破重难 返回目录 由于的斜率大于直线的斜率，故与 同号，所以 ,即 . 对于A,当时,,当且仅当 时取等号； 当时，,当且仅当 时取等号.故 ,A正确； 对于B,函数 是奇函数，故曲线C关于原点对称，B正确； 研考点 破重难 返回目录 62 对于C，由得，由于 ,故方程无解， C错误； 对于D，设点是C上任意一点，由得 ， 所以曲线在点处的切线方程为，易得切线与 和轴的交点分别为, . 所以所求面积 ,D正确. 研考点 破重难 返回目录 $