13-专题4 真题解构与重构 概率与统计-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

真题解构与重构 概率与统计 1 概率与统计在我们的生产、生活中处处可见，概率统计知识为我们的 生活提供了方便与决策依据，在高中数学教学中占有极大的比例，涉及的 知识面十分广泛，事件与概率形式多样，统计方法十分丰富.因此，概率与 统计在每年的新课标高考试题的选择题、填空题中必有，而在解答题中更 是独树一帜.真题是从实际生产和生活情境中经过数学化而命制的，对概率 统计试题解构与重构，使得问题更加贴近实际，对相关的统计与决策和高 考复习具有较好的指导意义.下面对2024年新课标Ⅱ卷第18题进行解构与重 构，体验不同背景下的相关问题. 二 轮 专 题 复 习 2 ［真题呈现］ （2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参 赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投 篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次， 则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投 中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛 队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率 为 ，各次投中与否相互独立． 二 轮 专 题 复 习 3 （1）若， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比 赛成绩不少于5分的概率； ［规范解答］ 解：设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”， 则P（A1）＝1－（1－0.4）3＝0.784. 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”， 则P（A2）＝1－（1－0.5）3＝0.875. 注解① ［关键步骤］①将进入第二阶段与至少得5分转化为对应的事件 二 轮 专 题 复 习 4 设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”, 则P（A3）=P（A1）·P（A2）=0.686. 注解② ［关键步骤］ ②独立事件的概率问题 二 轮 专 题 复 习 5 （2）假设 . （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第 一阶段比赛？ ［规范解答］ 设甲参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队得15分,的概率为P甲， 则P甲＝[1－（1－p）3]·q3＝pq3（3－3p＋p2）. 设乙参加第一阶段比赛时， 甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－（1－q）3]·p3＝qp3（3－3q＋q2）． 注解③ 二 轮 专 题 复 习 6 ［关键步骤］ ③以第（1）问作为基础 则 ， 注解④ ［关键步骤］ ④比较大小，一般用作差法 由，得， ， 所以，即 ． 故应该由甲参加第一阶段比赛. 二 轮 专 题 复 习 7 （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第 一阶段比赛？ ［规范解答］ 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩 的所有可能 取值为0，5，10，15. 注解⑤ ［关键步骤］ ⑤分析事件关系，确定 的取值 二 轮 专 题 复 习 8 ， ， ， ， 注解⑥ 所以 ． 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩 的所有可能取值为0， 5，10，15. ［关键步骤］ ⑥根据事件关系，求出相应概率 二 轮 专 题 复 习 9 同理，可得 . 注解⑦ 由，得， ， 所以，即 . 故应该由甲参加第一阶段比赛. ［关键步骤］ ⑦用作差法比较大小 二 轮 专 题 复 习 10 ［真题分析］ 试题取材于学生非常熟悉的背景，以事件的独立关系层层 复制事件，对培养学生策略分析与制定和积极向上的拼搏精神具有正向的 引导意义，试题考查了独立事件与对立事件的概率和数学期望，考查了代 数式比较大小的基本作差方法，考查数学抽象、数学运算、数据分析、逻 辑推理和数学建模等核心素养，考查化归与转化思想、函数与方程思想与 分类讨论思想，试题彰显了育人功能，具有新时代的教育意义. 二 轮 专 题 复 习 11 ［源头与活水］ 类别 教材题（选择性必修第三册 例1、与 例3） 考题 关联特征 条 件 ① 独立事件关系 独立事件关系 一样的关系 ② 过完上一关才能进入下一关 第一阶段进入第二阶 段 问题设置一 致 ③ 概率用具体数表示 概率用代数式表示， 或用具体数表示 已知概率 二 轮 专 题 复 习 12 类别 教材题（选择性必修第三册 例1、与 例3） 考题 关联特征 问 题 ① 求自上而下的概率 求两阶段都完成的概 率 解答方法一 致 ② 求出具体期望值，根据期望值 作决策 用字母表示期望值， 并比较大小，再作决 策 都是根据概 率求期望进 行决策 续表 二 轮 专 题 复 习 13 ［真题解构］ 解构1 A同学参加学校举行的投篮比赛，规则为 ①比赛分两个阶段，每个阶段均投2次; ②只有在第一阶段至少投中一次，才有资格进入第二阶段，且第二阶段每 投进一次记2分； ③未进入第二阶段和第二阶段未投进得0分. 设同学投进的概率为，.各次投中与否相互独立，若 同学得2 分的概率等于得4分的概率，则同学得0分的概率为___,得分 的期望为___. 二 轮 专 题 复 习 14 解析：由题意，得同学得2分的概率为 ,得4分 的概率为 , 则 ， 且，解得 . 所以 同学得0分的概率为 . A同学得分 的分布列为 二 轮 专 题 复 习 15 X 0 2 4 P . 二 轮 专 题 复 习 解构2 原考题有下列结论，当 时， 结论① 甲参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队得15分的概率 , 乙参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队得15分的概率 , 则有的充要条件是 . 二 轮 专 题 复 习 17 结论② 甲参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望为 , 乙参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队比赛成绩的数学期望为 , 则有的充要条件是 . 结论①有两个基本事实: ①,互换与 互换; ②得满分（15分）的决策是甲参加第一阶段比赛，即水平弱的参加第一阶 段比赛. 二 轮 专 题 复 习 18 结论②也有两个基本事实： ①,互换与 互换； ②成绩的数学期望（均值）最大的决策是甲参加第一阶段比赛，即水平弱 的参加第一阶段比赛. 可以论证无论,大小关系如何，当 时，无论谁参加第一阶段比 赛，概率相等，即 . 因为 , 二 轮 专 题 复 习 19 . 显然，无论, 大小关系如何，无论谁参加第一阶段比赛，成绩为0分的概 率总是相等的. 二 轮 专 题 复 习 解构3 小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格， 则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2个科目合格， 则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不 过关.已知小李每个科目每次考试合格的概率均为 ，且每个科 目每次考试的结果互不影响． 二 轮 专 题 复 习 21 （1）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为，求的最大值点 ； 解：由题意知, ,则 , 当时，,当时， , 所以函数在, 上单调递增， 在,上单调递减，所以当时，取最大值，即 的最大值点 . 二 轮 专 题 复 习 22 （2）以（1）中确定的作为 的值． ①求小李这项专业资格考试过关的概率； 解： 小李第一次考试3个科目都合格的概率 ，小李第一次 考试有2个科目合格，补考1个科目且合格的概率, 小李第一次考试有1个科目合格，补考2个科目且均合格的概率 , 所以小李这项专业资格考试过关的概率 . 二 轮 专 题 复 习 23 ②若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为 元，求 ． 解： 由题得， 的所有可能取值为60,80,100, 则 , , , 故 . 二 轮 专 题 复 习 24 ［真题重构］ 重构1 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只能用一个会 员号登录，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中 奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中 的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第 次 摸球抽中奖品的概率为 . 二 轮 专 题 复 习 25 （1）求的值，并探究数列 的通项公式； 解：记“该顾客第次摸球抽中奖品”为事件 ，依题意， ， . 因为当时，, , 又, , 所以 , 二 轮 专 题 复 习 26 所以 , 又因为,则 , 所以数列是首项为,公比为 的等比数列，故 . 二 轮 专 题 复 习 （2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 解：第2次摸球抽中奖品的概率最大.证明如下： 当为奇数时， ， 当为偶数时，,则随着 的增大而减小，所以 . 综上，该顾客第2次摸球抽中奖品的概率最大. 二 轮 专 题 复 习 28 重构2 为喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共 进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从， 两个题库中任选1题作答，在 前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题 目必须来自同一题库，题库每题20分， 题库每题30分，一班能正确回 答，题库每题的概率分别为，，二班能正确回答， 题库每题的概 率均为 ，且每轮答题结果互不影响． 二 轮 专 题 复 习 29 （1）若一班前两轮选题库，后三轮选 题库，求其总分不少于100分的概率； 解：由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分， 其概率为 ,若一班在前两轮得40分，后三轮得60 分或90分，总分为100分或130分,其概率为 ,所以一班总分不少于100分的 概率为 . 二 轮 专 题 复 习 30 （2）若一班和二班在前两轮比赛中均选了 题库，而且一班两轮得分60分， 二班两轮得分30分，一班后三轮换成 题库，二班后三轮不更换题库，设 一班最后的总分为，求 的分布列，并判断哪个班总分的均值比较大. 二 轮 专 题 复 习 31 解：由条件知，随机变量 的所有可能取值为60,80,100,120, ， , , . 所以 的分布列为 X 60 80 100 120 P 二 轮 专 题 复 习 32 . 设二班最后的总分为， 的所有可能取值为30,60,90,120, , , , , 二 轮 专 题 复 习 33 所以 的分布列为 Y 30 60 90 120 P .因为 ,所以一 班总分的均值比较大. 二 轮 专 题 复 习 34 $