11-专题3 真题解构与重构 立体几何-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何专题，依据高考评价体系梳理线面垂直、平行证明及二面角计算等核心考点，分析“两小一大”题型分布，归纳垂直关系论证、空间度量计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解构+重构训练”，以2024年新课标Ⅰ卷真题为例，通过逻辑推理素养指导“线⊥面⇒线⊥线⇒线∥线”证明思路，直观想象素养辅助空间直角坐标系构建，帮助学生掌握转化思想与运算技巧，教师可借此高效开展专题复习，提升学生得分率。

真题解构与重构 立体几何 1 立体几何可以研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系，在高中 数学教学中是十分重要的教学内容.每年的高考试题中，经常出现两小一大 的类型，即选择题、填空题2道，解答题1道.考试的知识基本涉及立体几何 的全部教学内容，运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认知 和探索空间图形的性质，体现空间想象、逻辑推理与数学运算等核心素养. 通常利用化归与转化思想及数形结合思想解决空间元素之间的关系问题， 很多方面的论证都是以初中平面几何的知识为基础进行的.下面以2024年新 课标Ⅰ卷第17题为例进行解构与重构，对高考立体几何的复习有明显的导 向作用. 二 轮 专 题 复 习 2 ［真题呈现］ （2024· 新课标Ⅰ卷）如图，四棱锥中， 底 面，，, ． 二 轮 专 题 复 习 3 （1）若，证明：平面 ； ［规范解答］证明：由于底面，底面 ，所以 ，又，，平面，所以 平面，又平面,所以 . 注解① ［关键步骤］①线 面 线 线 线 面 线 线是证明线与线垂直 的主要方法 二 轮 专 题 复 习 4 由于，，，所以，所以 ， 所以 ， 因为 平面， 平面 ， 所以平面 ． 注解② ［关键步骤］ ②利用长度证明垂直一般用勾股定理的逆定理 二 轮 专 题 复 习 5 （2）若，且二面角的正弦值为，求 ． 解：由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，, 所在直线 为轴、轴，过点且平行于的直线为 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 注解③ 二 轮 专 题 复 习 6 则，设， ， 则，,, , , . 设平面的法向量为 ， 二 轮 专 题 复 习 7 则即 可取 . 设平面的法向量为 ， 则即 二 轮 专 题 复 习 可取 . 因为二面角的正弦值为 ， 所以余弦值的绝对值为 ， ［关键步骤］ ③两两垂直是建立空间直角坐标系的基石 二 轮 专 题 复 习 故 ， 注解④ ［关键步骤］ ④利用已知角反向列出等式（方程），待定求解是立体几 何中经常使用的方法 又，所以，即 . 二 轮 专 题 复 习 10 ［真题分析］ 试题以“垂面四棱锥”（一条侧棱与底面垂直） 为载体，根据底面四边形的几何特征设置问题，打破了立体 几何“（1）问为（2）问奠基”的套路，试题将平行与垂直两 大主题巧妙融入题中，给出了“数”与“形”及“垂直”与“计算” 的结合.试题考查数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养， 考查数形结合、化归与转化、函数与方程思想，本题第（2）问的图示 （如图）与几何关系，教材多处呈现，而且用综合法也易于求解. 二 轮 专 题 复 习 11 ［源头与活水］ 类别 教材题（必修第二册 , ） 考题 关联特征 条 件 ① 侧棱 底面 侧棱 底面 几何关系相同 ② 底面直角形 底面直角形 直角载体一致 问 题 ① 平行 平行 呈现平行与垂直 两大主题 ② 利用线段度量确定角度 利用二面角确定 线段度量 思想方法一致 二 轮 专 题 复 习 12 ［真题解构］ 解构1 （多选）如图，在三棱锥中， 平面 ， ， ，则( ) 𝐀𝐂𝐃 A.平面 平面 B.三棱锥体积的最大值为 C.三棱锥的外接球的表面积为 D.当三棱锥体积最大时，与成 的角 二 轮 专 题 复 习 13 解析：选.对于A,因为 平面， 平面 ,所以 ， 又，，， 平面 , 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 ，A正确； 对于B，三棱锥 的体积 ，即当时， ,B错误； 二 轮 专 题 复 习 14 对于C，由选项A知，，故与是共用斜边 的直角 三角形，因此的中点到点，A，B，C的距离都等于 ，所以三棱 锥的外接球的半径 ， 故其外接球的表面积 ，C正确； 对于D，由选项B知，当 时，三棱锥的体积最 大，过C作，连接,，则 （或其补角）为 与 所成的角， 二 轮 专 题 复 习 且 ， 所以 ， 又 ， 所以 . 又异面直线所成的角的范围为,所以与所成的角为 ，D正确. 二 轮 专 题 复 习 16 解构2 如图1，在矩形 中， ，，将 沿矩 形的对角线 进行翻折，得到如图2 所示的三棱锥 . （1）若，求 的长； 解：由，，且,, 平面 ，可得 平面 ， 又 平面，所以 . 在 中，根据勾股定理得， . 二 轮 专 题 复 习 17 （2）若平面 平面，求平面和平面 夹角的余弦值. 解：如图，过点作于点 ，易知 ， . 由平面 平面，平面 平面 ， 平面，得 平面 . 以为坐标原点，在平面中，过点作的垂线为轴，， 所在 直线分别为轴,轴，建立空间直角坐标系，则，， ，，， ， ， . 二 轮 专 题 复 习 18 设平面的法向量 , 则 令,得,,则 ; 设平面的法向量 , 则 令,得, , 二 轮 专 题 复 习 则 . 记平面和平面的夹角为 ， 则,，即平面和平面 夹 角的余弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 解构3 如图,在四棱锥中，,,,在以为直径的圆上， 平面， . 二 轮 专 题 复 习 21 （1）若平面，求证： ; 证明：因为平面， 平面，平面 平面 ，所以 . 又因为 平面， 平面 ， 所以 ， 又是底面圆的直径，故 . 又，， 平面 ， 所以 平面 . 又 平面，所以 . 因此 . 二 轮 专 题 复 习 22 （2）当时，①求二面角 的正弦值；②求二面角 的正弦值. 解：方法一:①因为 , 所以 . 二 轮 专 题 复 习 23 如图，设为的中点，连接，且过作 交 于，连接 . 因为，所以，因此 即为二面 角 的平面角. 由题意可得 ， . 二 轮 专 题 复 习 24 易知，则 ， 所以， , 所以 . 又 , 所以 . 二 轮 专 题 复 习 因此 , 所以二面角 的正弦值为 . ②由对称性知二面角的度量是二面角 度量的2倍， 故二面角 的正弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 方法二：①如图，由题意知 ， ，过点作，垂足为,连接 ， 由对称性知 ， 则即为二面角 的平面角. 连接，由题意知 ， 所以， ， . 由（1）知,则 ， 二 轮 专 题 复 习 27 故 , 所以 . 由对称性知二面角的度量是二面角 度量的一半，故 二面角 的正弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 （注：事实上，若设与交于（图略），则 即为二面角 的平面角） ②由①知， ， 故二面角的正弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 方法三：①连接，设 ，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得，， ， 易得，， , 二 轮 专 题 复 习 30 因此，0，，，0，，，，， ， ，， . 设平面的法向量为 , 则即 取.显然平面的一个法向量为 . 二 轮 专 题 复 习 31 设二面角的平面角为 , 所以二面角的余弦值为 ， 所以 . ②同方法一. 二 轮 专 题 复 习 32 ［真题重构］ 重构1 （多选）如图， 平面，， ，垂足为 ，，垂足为，若， ，则( ) 𝐀𝐂𝐃 A.为平面与平面 的夹角 B. C.平面与平面 夹角的正切值为2 D.，，，， 五点在同一个球面上 二 轮 专 题 复 习 33 解析：选.由 平面, 平面知 ，又 ，， 平面，且,所以 平面 ， 又 平面，所以，又，， ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面，所以 . 又，， 平面，且 ， 所以 平面 . 二 轮 专 题 复 习 34 对于A，由于 平面，则，结合图象可知， 为平面 与平面 的夹角，A正确； 对于B，由 平面可知 ，所以 ,B错误； 对于C，由于 平面， 平面，故即为平面 与 平面的夹角， ，C正确； 对于D，连接（图略），由 平面知 . 故，，都是共用斜边 的直角三角形， 因此的中点到A，B，C，，的距离都为，故A，B，C，， 在 半径为 的球面上，D正确. 二 轮 专 题 复 习 重构2 如图，已知 平面，，， ， 为的中点，过的平面为 ， （1）若 与平面垂直， 与交于，求作平面 ; 二 轮 专 题 复 习 36 解：过点作，垂足为，连接， 即为平面 . 因为 平面， 平面 ， 所以 ， 二 轮 专 题 复 习 37 又，， 平面，,所以 平面 . 又 平面，所以 . 又，，， 平面 . 所以 平面 . 又 ，所以 平面 . 故平面 为平面 . 二 轮 专 题 复 习 38 （2）若 将三棱锥的体积二等分，求 与平面 夹角的余弦值. 解：方法一：连接，由于是 的中点. 所以到平面的距离等于到平面 的距离的一半， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积的一半，即平面 将三棱锥 的体积二等分. 二 轮 专 题 复 习 39 因此，平面 即为平面 . 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接 ， 易知 ， 故为 与平面 的夹角. 由（1）知 平面， 平面.所以 . 因为， ， 所以 ， ， 二 轮 专 题 复 习 所以 ， 等腰三角形 底边上的高 . 由得 ， 又 ， 所以， . 即 与平面夹角的余弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 方法二：的位置如方法一.以为坐标原点，，的方向分别为 轴、 轴的正方向，过点平行于的直线为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系, 二 轮 专 题 复 习 42 则,，，，（，1， ）. ，1，，，1,,， . 设平面（即）的法向量为 , 由得 取 , 二 轮 专 题 复 习 43 设平面的法向量为 , 由得 取,, . 即 与平面夹角的余弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 44 重构3 如图，在四棱锥中， 底面 ， ，在四边形中， ， ，， . 二 轮 专 题 复 习 45 （1）若为的中点，求证：平面 平面 ； 证明：因为 平面， 平面，所以 . 又，，， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面，所以 . 因为，为 的中点， 所以 ， 又，， 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . 二 轮 专 题 复 习 46 （2）若平面与平面夹角的余弦值为 . ①求线段 的长； 解：以点为坐标原点，，， 的方向分别为 , , 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设,则,过点作 ， 垂足为，因为 ， ，所以 ，则，则, , ,, . 设平面的法向量为 , 二 轮 专 题 复 习 47 由得 令,得 . 易知平面的一个法向量为 . 设平面与平面的夹角为 , 则, ， 所以,即 , 所以（舍去）或,所以 . 二 轮 专 题 复 习 48 ②设为内（含边界）的一点，且 ，求所有满足条件的 点 组成的轨迹的长度. 解：由①得，，， . 设 ， 因为 ， 所以 , 所以 , 设点到的距离为 , 二 轮 专 题 复 习 49 因为，所以，则 , 得,又, , 所以点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的圆的 ， 所以所有满足条件的点组成的轨迹的长度为 . 二 轮 专 题 复 习 $