11-专题4 提升点7 概率统计中的综合问题-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计综合问题，覆盖条件概率证明、与数列函数交汇等高考核心考点，依据高考评价体系梳理考点分布，归纳证明问题、递推数列模型、函数最值求解等高频题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，以数学思维（逻辑推理、递推分析）和数学语言（概率模型构建、数据表达）为导向，通过张同学就餐概率递推数列、取胜概率函数最值等实例，解析定义法证明、全概率公式应用、数列构造法等突破方法。帮助学生熟练答题技巧，教师可精准把握学情，提升高考冲刺效率。

提升点7 概率统计中的综合问题 1 类型一 概率统计中的证明问题 ［例1］ 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 （卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随 机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人（称为对照组），得到如下数据： 类别 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 二 轮 专 题 复 习 2 从该地的人群中任选一人，事件 表示“选到的人卫生习惯不够良好”，事 件表示“选到的人患有该疾病”，与 的比值是卫生习惯不够良 好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 . 二 轮 专 题 复 习 3 （1）证明： ； 证明：因为 ， 由题意知，只需证明 即可， 左边 ， 二 轮 专 题 复 习 4 右边 ， 即左边 右边， 所以 得证. 二 轮 专 题 复 习 5 （2）利用该调查数据，给出, 的估计值，并利用（1）的结 果给出 的估计值. 【解】由调查数据可知， ， 且， ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 6 解答概率统计中的证明问题，关键是要“死抠”定义，与其他类型证明 题不同，高中阶段所学的概率问题都是初等概率问题，解答此类题目只需 直接把定义按部就班推导上去即可以证明. 二 轮 专 题 复 习 ［对点训练］ 一只不透明的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字 ，先后从袋中随机取两个小球.用事件 表示“第二次取出小球的标号 是2”，事件表示“两次取出小球的标号之和是 ”. （1）若用不放回的方式取球，求 ； 解：由题意得， . 二 轮 专 题 复 习 8 （2）若用有放回的方式取球，求证：事件与事件 相互独立的充要条件 是 . 证明：记第一次取出的球的标号为，第二次取出的球的标号为 ，用数组 表示两次取球的情况，记样本空间为 ，则 . 下面证明充分性： 二 轮 专 题 复 习 9 当时，事件发生的情况为，，，， ， ，，，，，共10种，事件 发生的情况为 ，共1种， 因此， ， 又，所以 ， 所以事件与事件 相互独立，充分性成立. 二 轮 专 题 复 习 10 下面证明必要性： 因为事件与事件 相互独立， 所以 ， 即 ， 而， ， 于是 ， 二 轮 专 题 复 习 11 易知事件 发生的情况只有一种， 即，所以 ， 则，令，由，，可得关于 的不 等式组 要使上述不等式有10个整数解，只能 ，所以必要性成立. 综上，事件与事件相互独立的充要条件是 . 二 轮 专 题 复 习 12 类型二 概率统计中的交汇问题 角度1 概率统计与数列交汇 ［例2］ （2024·安徽六校素养测试）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分 布在生活区的南、北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区， 各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. （1）现在对学生性别与在南、北两个区域就餐的相关性进行分析，得到 如表所示的抽样数据，根据小概率值 的独立性检验，能否认为在 不同区域就餐与学生性别有关联？ 二 轮 专 题 复 习 13 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 【解】零假设为 在不同区域就餐与学生性别无关.依据题表中数据 得， ，根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为 成 立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联. 单位：人 二 轮 专 题 复 习 14 （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲、 乙餐厅的概率均为 ；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲、丙餐厅的 概率分别为， ；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲、乙餐厅的概率 均为.张同学第1天就餐时选择甲、乙、丙餐厅的概率分别为，， . 二 轮 专 题 复 习 15 【解】 设“第天去甲餐厅用餐”，“第天去乙餐厅用餐”， “第天去丙餐厅用餐”,则，，互斥，，2， ， . 根据题意得，， ， ，，， ， . 二 轮 专 题 复 习 （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； 【解】 由 ，结合全概率公式， 得，因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 . 二 轮 专 题 复 习 17 （ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率 . 附：， . 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 二 轮 专 题 复 习 18 【解】 记第天他去乙、丙餐厅用餐的概率分别为， ， 则，，当 时，由全概率公式，得 故 ,① 同理 ,② 二 轮 专 题 复 习 19 ,③ 由①②，得 ， 由③，得 ，④ 将④代入②，得 ， 即 ， 又，故是首项为，公比为 的等比数列， 二 轮 专 题 复 习 即 ， 所以 . 于是，当 时， ， 当 时不适合上式. 综上所述， 二 轮 专 题 复 习 概率统计与数列交汇的常见题型 （1）求通项公式：关键是找出概率<m></m>或均值<m></m>的递推关系式，然后 根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式. （2）求和：主要是数列中的倒序相加求和、错位相减求和、裂项相消求和. （3）利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限. 二 轮 专 题 复 习 22 角度2 概率统计与函数的交汇 ［例3］ （2024· 江南十校联考）为选拔培养对象，某高校在暑假期间 从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自 中学，从这7名学员中选取3人， 表示选取的人中来自中学的人数，求 的分布列和均值； 二 轮 专 题 复 习 23 【解】由题意知， 的可能取值有0，1，2，3， ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 P . 二 轮 专 题 复 习 24 （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动， 规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数 不小于3，则取得本轮胜利，已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对 每道题的概率分别为， .假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不 影响.当 时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最 大值. 二 轮 专 题 复 习 25 【解】 因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为 ，则 ， 设乙答对题数为 ，则 ， 设 “甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 ， 二 轮 专 题 复 习 26 由，，又 ， 所以 ， 则 ， 又，所以， ， 设,, ， 所以，，，由二次函数性质可知当 时， 取得最大值，最大值为 ，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的 概率的最大值为 . 二 轮 专 题 复 习 通过设置变量，利用均值、方差或概率的计算公式构造函数，是概率 与函数问题结合最常用的方式.解决此类问题，应注意两个问题： （1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、 方差、随机事件的概率计算中涉及的变量较多，式子较为复杂，所以准确 运算化简是关键. （2）注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量 自身取值的限制. 二 轮 专 题 复 习 28 ［对点训练］（2024·蚌埠质量检测）已知寒假期间小明每天坚持在“跑 步3 000米”和“跳绳 2 000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他 跑步的概率为，跳绳的概率为 ，在下雪天，他跑步的概率为 ，跳绳的概率为.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 ， 若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 .已知寒假第一天不下雪， 跑步3 000米大约消耗热量330卡路里，跳绳2 000个大约消耗热量220卡路 里，记寒假第天不下雪的概率为 . 二 轮 专 题 复 习 29 （1）求，，的值，并证明 是等比数列； 解：依题意，， ， . 依题意 ， 整理得，又 ， 所以是首项为，公比为 的等比数列. 二 轮 专 题 复 习 30 （2）求小明寒假第 天通过运动锻炼消耗热量的均值. 解：由（1）知，寒假第 天不下雪的概率 ， 设小明寒假第天跑步的概率为 ， 则 ， 则小明寒假第 天通过运动锻炼消耗热量的均值为 . 二 轮 专 题 复 习 31 $