专题2 提升点4 数列中的综合问题-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

提升点4 数列中的综合问题 类型一 数列与函数、不等式 ［例1］ 已知数列的前项和为，，,. （1） 求； （2） 设，数列的前项和为，若，都有成立，求实数 的取值范围． 【答案】 （1） 【解】因为, 所以. 所以, 因为,所以. 又,, 所以, 所以数列 的奇数项、偶数项分别是以2，4为首项，4，4为公差的等差数列． 当 时，; 当 时，.综上，. （2） 因为, 所以 . 所以,. 若，都有 成立， 则只需满足， 且,则, 所以 的取值范围是. 求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问题，若恒成立，则；若有解，则.在求与时可利用函数的单调性求解. ［对点训练］．已知正项数列的前项和为,且. （1） 求证：数列为等差数列； （2） 记，求证：. 【答案】 （1） 证明：因为，所以当 时，,所以， 所以. 当 时，， 所以，即，故 是首项为1，公差为1的等差数列． （2） 由（1）知正项数列 的前 项和 满足, 所以，, 所以, 即. 类型二 与数列有关的最值、范围 ［例2］ 已知数列的前项和为,,. （1） 求数列的通项公式； （2） 设，数列的前项和为，求证：. 【答案】 （1） 【解】因为, 由， 得, 所以, 所以, 即. 在 中，令，得，所以. 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即. 当 时，，当 时，也适合上式， 所以数列 的通项公式为. （2） 证明：由（1）知 , 所以 , 因为，所以 随着 的增大而增大， 所以. 又. 所以. 求数列和式最值、范围的基本方法 （1）利用不等式组确定和式的最大值； 利用不等式组确定和式的最小值． （2）利用和式的单调性. （3）把数列的和式看作函数求其最值、值域． ［对点训练］．在公差不为零的等差数列中，，且,,成等比数列，数列的前项和满足. （1） 求数列和的通项公式； （2） 设，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1） 解：设等差数列 的公差为,则， 因为,且,,成等比数列， 所以，即， 解得 或（舍去）， 所以. 因为数列 的前 项和， 当 时，,所以， 当 时，, 所以， 即数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以. （2） 由（1）可得， 所以, 所以. 令，, 所以， 所以 单调递增， 所以. 所以，所以， 所以. 即实数 的取值范围是. 类型三 数列与集合 ［例3］ [2024·日照一模]已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列． （1） 求及的通项公式； （2） 记集合的元素个数为，求数列的前50项和． 【答案】 （1） 【解】因为,，成等差数列，则,①且, 当 时，可得,解得 或（舍去）; 当 时,可得,② ①②得， 整理得,又,则, 可知数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以. （2） 由（1）可得, 即, 因为, 当且仅当,即 时，等号成立， 可知,； 当，时，因为, , 所以. 综上所述, 所以数列 的前50项和为. 解答这类问题的思路是依据题设条件，综合运用所学的知识和数学思想方法去分析问题和解决问题.明确集合中元素属性及个数，再结合数列知识解决此类问题. ［对点训练］．已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1） 证明：; （2） 求集合,，,中元素的个数． 【答案】 （1） 证明：设等差数列 的公差为， 由，得，即， 由，得，即，即. （2） 解：由（1）知， , , 由, 得， 由 得， 由题知，所以,又,所以,3,4, ，10，共9个数，即集合,,,,3,4, ，中元素的个数为9. 类型四 数列中的创新问题 ［例4］ [2024·温州二模改编]已知数列，满足：是等比数列，，,且. （1） 求,； （2） 对数列，若存在互不相等的正整数，， ,，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列，是否是“和稳定数列”.若是，求出所有的值；若不是，请说明理由． 【答案】 （1） 【解】因为,, 所以, 又,, ,,所以, 所以等比数列 的公比，所以. 又,, 则, 将 代入， 化简得, 所以数列 是首项为2，公差为3的等差数列，所以. （2） 数列 是“和稳定数列”,理由如下： 当 时， 是3的正整数倍， 故一定不是数列 中的项； 当 时， ,不是数列 中的项； 当 时， ,是数列 中的项. 综上，数列 是“和稳定数列”，. 数列 不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设,则,且, 故 不是数列 中的项,所以数列 不是“和稳定数列”. 新定义题型的破题模型 ［对点训练］．[2024·枣庄二模]（多选）将数列中的所有项排成如下数阵： … 从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数，，, 成等差数列.若，，则（ ） A. B. C. 位于第45行第88列 D. 2 024在数阵中出现两次 【答案】ACD 【解析】选.由第1列数，，，, 成等差数列可设公差为, 又由，，可得,,解得,,故A正确； 则第1列数组成数列 的通项公式为,又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得，故B错误； 又因为每一行的最后一个数为，,,， ，且，可得 是第45行的最后一个数，因为这一行共有 个数，是 的前一个数，则 在第45行第88列，故C正确； 由题设可知第 行第 个数的大小为，,,令，若，则,即;若,则,无整数解；若，则，即;若，则，无整数解，故D正确. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $