04-专题4 第2讲 专题强化训练-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计专题，依据高考评价体系梳理了古典概型、条件概率、全概率公式等核心考点。通过近三年高考真题分析，明确古典概型占30%、条件概率占25%的高频考点分布，归纳出“样本空间构建”“事件分解”等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧拆解+素养提升”，如以2024年广东调研题为例，详解古典概型中“组合数计算”与“事件筛选”的解题步骤，培养学生的数学思维与数据观念。特设“易错点警示”专栏，指导学生规避“互斥与独立混淆”等常见错误，助力学生高效突破考点，也为教师提供精准复习教学的抓手。

第2讲 专题强化训练 1 ［A 基本技能］ 1.（2024·广东调研）从2，3，5，7这四个数中随机地取两个不同的数相 乘，其结果能被10整除的概率是( ) A A. B. C. D. 解析：选A.从2，3，5，7这四个数中随机地取两个不同的数相乘的样 本点总数为 ，其中结果能被10整除的只有取2，5这一种情况，故所 求概率为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.已知， 两名学生均打算去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去 哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为 ， 则， 不去同一个城市上大学的概率为( ) C A.0.3 B.0.46 C.0.54 D.0.7 解析：选C.设事件“A去甲城市上大学”，事件 “B去甲城市上大 学”， 则,,, , 则A，B不去同一个城市上大学的概率为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.（2024·西安月考）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳 泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山．某旅游博主为领略五 岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大 名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山 的概率为( ) C A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 解析：选C.该旅游博主游览五岳可分两类方法： 第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有 种方 法； 第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有 种方 法； 由分类加法计数原理可得，共有 种方法． 设 “该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件 事： 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有 种方法； 第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类： 若该月只游览两大名山，则只有1种方法； 若该月浏览三大名山，则再从其余三大名山中任取一大名山游览，有 种 方法，则第二步共有 种方法，由分步乘法计数原理可得，完成 事件A共有 种方法． 由古典概型概率公式得 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.（2024·黄冈质检）现有甲、乙两位游客慕名来到某地旅游，都准备从 ，，，个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件 为“甲和乙 至少一人选择景点”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则 ( ) A A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 解析：选A.由题意可知甲、乙两位游客从4个著名旅游景点中各随机选 择一个游玩，共有种不同的选择方法，其中有 种不 同的选择方法，所以事件A有 种不同的选择方法，所以 .事件A和事件B同时发生，即甲、乙中只有一人选择了景点 ， 事件A和事件B同时发生有 种不同的选择方法，所以 ，所以 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.随着城市经济的发展，早高峰拥堵问题越发严重，上班时需要选择合理 的出行方式.某公司员工小明每天上班出行的方式有自驾、坐公交车和骑共 享单车，每种方式被选择的概率分别为,,，迟到的概率分别为,, ，若 某天他迟到了，则在此条件下，他自驾去上班的概率是( ) C A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 解析：选C.由题意，设事件A表示“小明选择的出行方式为自驾”，事件 B表示“小明选择的出行方式为坐公交车”，事件C表示“小明选择的出行方 式为骑共享单车”，事件D表示“小明上班迟到”，由题知 ,,, ，则 ， 若小明迟到了，他自驾去上班的概率是 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 6.我国古代的《易经》中有两类最基本的符号：“”和“——”，将“ ” 记作二进制中的“0”，“——”记作二进制中的“1”．如符号“ ”对应二进 制数“ ”，化为十进制数计算如下： .若从两类最基本的符 号中各取两个按照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进 制数小于6的概率为( ) B A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 解析：选B.根据题意，所有情况如下： ， ， ， ， ， ， 得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 7.（多选）已知随机事件,的对立事件分别为，,若 , ，则( ) ACD A. B. C.若,独立，则 D.若,互斥，则 解析：选 .对于A， ，所以A正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 对于B， ，所以 B错误； 对于C，若A,B独立，则 ，所以 ，所以C正确； 对于D，若A,B互斥，则，所以 ， ，所以 ，所以D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.（多选）（2024·日照一模）从标有1，2，3， ，8的8张卡片中有放 回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字，，记点，又 ， ，则( ) ACD A.是锐角的概率为 B.是直角的概率为 C.是锐角三角形的概率为 D.的面积不大于5的概率为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 解析：选选项，从标有1，2，3， ，8的8张卡片 中有放回地抽取两次，每次抽取一张， 共有 种情况，如图1，过点作直线， 因为，则直线 ， 其中64个点中，有8个点落在直线 上，剩余56个点中， 一半在直线的上方，一半在直线 的下方， 要想为锐角，则点A应在直线 的下方， 其中满足要求的点有28个，故是锐角的概率为 ， A正确； B选项，过点B作直线 ，如图2. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 则当A点落在直线上时，满足 为直角， 其中，故直线的斜率为1， 直线的方程为 ，即 ，落在直线上的点的坐标有， ， ，，，，共6个， 故是直角的概率为 ，B错误； C选项，要想为锐角三角形，则点A落在直线 与直线 之间，根据点的坐标特征，点A应落在直线 上，如 图3.满足要求的点有，，，，，， ， 共7个，故是锐角三角形的概率为 ，C正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D选项，直线的方程为， ，设直线 ， ,如图4. 设直线与直线的距离为 ， 则 ， 令，解得， 且 ,故要想 的面积不大于5，则点A在上，或 的 下方，即点A的坐标满足 ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则满足要求的点有， ，，，， ， ， ，， ，，,,,,,, , ,,,,,,,,,,, , , 共 （个）， 故的面积不大于5的概率为 ，D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.（多选）（2024·苏州苏大附中月考）某区四所高中各自组建了排球队 （分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都 要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规 则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中每支球 队胜、平、负的概率都为 ，则在比赛结束时( ) ABD A.甲队积分为9分的概率为 B.四支球队的积分总和可能为15分 C.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 解析：选 .对于A，若甲队积分为9分，则甲队胜乙队、丙队、丁队， 所以甲队积分为9分的概率为 ，A正确； 对于B，四支球队共进行6场比赛，如甲队胜乙队、丙队、丁队，而乙队、 丙队、丁队两两之间为平场，则甲队得9分，乙队、丙队、丁队各得2分， 所以四支球队的积分总和可能为15分，B正确； 对于C，每场比赛中每支球队胜、平、负的概率都为 ，则甲队胜3场且乙 队胜1场的概率为 ，C错误； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 对于D，甲队输了一场且其积分仍超过其余每支球队的积分，三队中选一 队与甲队比赛，甲队输的概率为 ，如甲丙比赛时甲队输，若甲队与乙 队、丁队的两场比赛一赢一平，则甲队只得4分，这时，丙乙、丙丁两场 比赛中丙队只能输，否则丙队的分数不小于4分，在丙输的情况下，乙队、 丁队1个3分，1个4分，那么它们之间的比赛无论结果如何，乙队、丁队中 有一队得分不小于4分，不合题意；若甲队与乙队、丁队的两场比赛全赢， 则其概率为 ，则甲队得6分，其他三队分数最高为5分，这时丙乙、丙 丁两场比赛中丙队不能赢，否则丙队的分数不小于6分，丙队只能平或 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 输．①若丙队一平一输，其概率为 ，如平乙队，输丁队，则乙丁 比赛时，丁队不能赢，其概率为；②若丙队两场均平，其概率为 ，乙 丁这场比赛无论结果如何均符合题意；③若丙队两场均输，其概率为 ， 乙丁这场比赛只能平，其概率为 .综上所述，所求概率为 ，D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知袋子中有除颜色外完全一样的5个小球，其中有3个红球和2个白 球．现无放回地依次从中摸出1个球，则第一次摸出红球且第二次摸出白 球的概率为___． 解析：记“第一次摸出红球”为事件，“第二次摸出白球”为事件 ，则 ， ，由概率的乘法公式得 ，即第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率 为 ． 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 11.如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从0出发，每次等可能地 向左或向右移动一个单位长度，共移动6次，则事件“质点位于 的位置” 的概率为___. 解析：由题图可知，若想通过6次移动最终停在 的位置上，则必然需要 向右移动2次且向左移动4次，记向右移动一次为，向左移动一次为 ，则 该题可转化为排序的问题，故落在上的排法种数为 ， 所有移动结果的总数为，所以落在上的概率为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 12.有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工 厂分别生产产品3 000件、3 000件、4 000件，而且甲、乙、丙工厂生产 出次品的概率依次为，， ． （1）现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为_____； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 解析：设“任取一件产品，该产品来自甲工厂”为事件 ，“来自乙工厂”为 事件，“来自丙工厂”为事件，则，， 两两互斥，且 ， ， ， . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 设“任取一件产品，取到的是次品”为事件 ， 则 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 （2）现从这批产品中任取一件，若取到的是次品，则它是甲工厂生产的 概率为___. 解析：若取到的产品是次品，则它是甲工厂生产的概率为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 ［B 综合运用］ 13.（2024·菏泽一模）若数列的通项公式为 ,记在数列 的前项中任取两数都是正数的概率为 ，则( ) C A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 解析：选C.当为奇数时，前项中有个奇数项，即有 个正 数，, ，故A错误； 当为偶数时，前项中有个奇数项，即有 个正数， , ,， ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 14.（多选）（2024·江苏一模）有 个编号分别为1，2， 3， ， 的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个 白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球 放入3号盒子…以此类推，记“从 号盒子取出的球是白球”为事件 ，则( ) BC A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 解析：选.对于A， ，所以A错误； 对于B，，故 ，所以B正确； 对于C， ，所以C 正确； 对于D，由题意，当时， ，所以 ，又， ， 所以，所以 ， 则 ，所以D错误. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 15.猜灯谜，是我国的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活 动.每逢农历正月十五，民间传统会把谜语写在纸条上并将其贴在彩灯上供 人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲、乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对 每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为 .假设甲、乙猜对每个 灯谜都是等可能的，试求： 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 （1）若甲、乙任选1个灯谜独立竞猜，求甲、乙恰有1人猜对的概率； 解：设事件“甲猜对1个灯谜”， “乙猜对1个灯谜”， 则， . “甲、乙恰有1人猜对”为 ， 得 ， 所以甲、乙恰有1人猜对的概率为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 （2）活动规定：若某人任选2个灯谜进行有奖竞猜，都猜对则可以参加在 箱中抽取新春大礼包的活动，抽中的概率是；没有都猜对则参加在 箱 中抽取新春大礼包的活动，抽中的概率是 .求甲同学抽中新春大礼包的概率. 解：设事件“甲同学猜对2个灯谜”， “甲同学抽中新春大礼包”则 ，所 以甲同学抽中新春大礼包的概率为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 16.（2024·沈阳质量监测）某城市有甲、乙两家网约车公司，相关部门为 了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户 （后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对 甲、乙两家公司的等待时间、乘车舒适度、乘车费用等因素的评价，得到 如下统计结果： ①用户选择甲公司的频率为 ，选择乙公司的频率为0.68； ②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为 ，选择乙公司的用户对 等待时间满意的频率为0.78； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 ③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为 ，选择乙公司的用户 对乘车舒适度满意的频率为0.61； ④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为 ，选择乙公司的用户对 乘车费用满意的频率为0.32. 将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率. （1）分别求出用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概 率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 解：设事件为“用户选择甲公司的网约车出行”， 为“用户对等待时间满 意”，为“用户对乘车舒适度满意”，为“用户对乘车费用满意”，则 为 “用户选择乙公司的网约车出行”. 则 ， ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 . 因为 ，所以用户对等待时间满意的概率最大，对乘车 费用满意的概率最小. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 （2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪家公司 的网约车出行？并说明理由. 解： , ， 因为 ，所以该用户更可能选择乙公司的网约车出行. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 $