15-专题6 真题解构与重构 导函数-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦导数及其应用核心考点，依据高考评价体系梳理切线方程求解、函数单调性与极值分析、参数范围探究等考查要求。通过对接2024年新课标Ⅱ卷真题，明确小题基础应用、解答题综合压轴的考点权重，归纳分类讨论、数形结合等常考题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题解构+变式重构”的实战训练，以2024年新课标Ⅱ卷第16题为例，深入解析极值条件转化、参数不等式证明等关键步骤，培养学生逻辑推理与数学运算素养。提供导数几何意义、恒成立问题等典型题型突破方法，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准规划复习，提升备考效率。

真题解构与重构 导函数 1 众所周知，利用导数的几何意义求曲线的切线方程是导数概念的具体 体现，利用导数研究函数的单调性彰显了导数的本质特征，而利用函数的 单调性研究函数的其他性质是导数应用价值的体现，无论是函数的单调性、 最值，还是与其有关的不等式问题，都是导数的用武之地.新课标高考试题 中关于导数及其应用的问题基本上一大一小，小题主要体现在导数的基本 应用，而解答题则涉及函数性质或不等式等多方面问题，一般情况下都会 作为试卷的压轴题出现，根据试题的难易程度，关于导数问题的试题偶尔 会放在第18题或第19题位置.下面以2024年新课标Ⅱ卷第16题进行解构与重 构，展示导数在函数应用中的风采，对指导高考复习具有十分重要的作用 和意义. 二 轮 专 题 复 习 2 ［真题呈现］ （2024·新课标Ⅱ卷）已知函数 ． （1）当时，求曲线在点 处的切线方程； ［规范解答］解：当时，，则 ，则 . ，所以切点坐标为 ，所以切线方程为 ，即 . 注解① ［关键步骤］①求曲线切线方程的基本步骤必须掌握 二 轮 专 题 复 习 3 （2）若有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围． ［规范解答］ 解： 易知函数的定义域为， . 当时，，函数在 上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，由，得，由，得 所以函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增， 所以的极小值为 . 注解② ［关键步骤］ ②含参时，必须对参数进行分类讨论 二 轮 专 题 复 习 4 由题意知，等价于 . 注解③ ［关键步骤］ ③建立关于参数 的关系是求参数范围的基石 方法一：令 ， 则 , 所以函数在上单调递减，又 ， 故当时，；当时， . 故实数的取值范围为 ． 注解④ ［关键步骤］ ④单调性零点猜算 问题求解 二 轮 专 题 复 习 5 方法二：由，得 . 注解⑤ 如图为函数与在区间 上的 大致图象，由图易知当时， ，即 .所以实数的取值范围为 . ［关键步骤］ ⑤分解成两个初等函数进行数形结合，是求解问题的关键.（注：本题也可分解为 ,从而可得 ） 二 轮 专 题 复 习 6 ［真题分析］ 试题以关于“”与“ ”两个重点元素构建问题.第一问是 导数的几何意义的基本应用，是十分基础的知识，第二问利用极小值与0 的关系巧妙建构不等关系——求 的取值范围，看似解不等式，实则是函 数的零点问题，利用函数零点解此类不等式是数形结合的典型，是高考的 热点问题.试题考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查化归与转化思想、 分类讨论思想与数形结合思想，试题将导数在研究函数的应用中的功能巧 妙落到实处，堪称小综合，精而新，试题对导数知识的教育教学与高考复 习具有明确的指导意义. 二 轮 专 题 复 习 7 ［源头与活水］ 类别 教材题（选择性必修第二册 、例7与 ） 考题 关联特征 条 件 ① 直接给出关于 的函数 当 时， 具体关于“ ” 的函数 相一致 ② 求与 轴的交点 给点 都是要求出点的坐 标 ③ 研究极值 求极小值 相一致 二 轮 专 题 复 习 8 类别 教材题（选择性必修第 二册、 例7与 ） 考题 关联特征 问 题 ① 求曲线在曲线与 轴交 点处的切线方程 求在点 处的切线方程 相一致 ② 直接证明不等式 利用极小值建 立不等关系， 求参数范围 ①都可用导数研究函数 ②都可用数形结合，一 个是先有不等式给证 明，一个是先有不等式 求参数. 续表 二 轮 专 题 复 习 9 ［真题解构］ 解构1 考题中，当时， ,有下列信息. （1）① ,正是教材人教A版选择性必修第二册 的问题. ②在处的切线方程即为 , ①②都可在图1中呈现出来. ③若用替换中的，则有 ，正是教 材 要证明的不等式. 若再用替换上式中的得， ,这就是高 二 轮 专 题 复 习 10 考中常遇的问题.特别地,当时，即得教材例4图示关系与 的不 等式，这个式子也即为,这就反映在教材 求 函数的图象在点处的切线方程： ,由图2即可知 .这些充分说明了考题是教材问题的集中体现. 二 轮 专 题 复 习 （2）的充要条件是 . “”这个零点是教材问题与高考的“热点”设置，若用 替换，则有，由图3得出 的结论，从 而 . 解构2 已知曲线，直线 . 二 轮 专 题 复 习 （1）若是的一条切线，求 的值； 解：设与相切于点 , 由得 . 由题意得 消去,得 . 令 , 二 轮 专 题 复 习 13 , 所以在 上单调递增. 又 , 即有且只有一个零点 . 故方程的解为,此时, . （注：这里正是揭示第（2）问的设置的内涵,也正好展示了曲线 在处（即点处）的切线方程为 ） 二 轮 专 题 复 习 （2）若曲线恒在直线的上方，求 的取值范围. 解：令,曲线恒在直线的上方，即为在 上 恒成立. , ①当时，,在 上单调递增. 由于, ， 故存在,使得 ，不符合题意. 二 轮 专 题 复 习 15 ②当时，令,得 ， 所以当时, , 当时, , 所以在 上单调递减， 在 上单调递增. 故 , 即 . 下同真题呈现解法可得,所以的取值范围为 . 二 轮 专 题 复 习 16 ［真题重构］ 重构1 已知函数 . （1）若在处有极值，求 的值； 解： . 依题意知,解得 . 当时，,易判断 在 处有极大值，符合题意，所以 . 二 轮 专 题 复 习 17 （2）若当时，，求实数 的取值范围. 解：当时， , 即,即 . 令,则 . ①当时， , 所以在 上单调递增， 所以,所以 满足条件. 二 轮 专 题 复 习 18 ②当时，若 , 则,若,则 . 所以在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以 . 令 , 所以 , 所以在 上单调递减. 所以与矛盾，故 不满足条件. 综上，实数的取值范围是 . 二 轮 专 题 复 习 19 重构2 已知函数 . （1）若,求曲线在点 处的切线方程； 解：当时， , , , 又,所以切点为 , 所以切线方程为,即 . 二 轮 专 题 复 习 20 （2）证明：当时， . 证明：因为，所以 , 所以 . 二 轮 专 题 复 习 21 方法一：令 , 所以,令 , 所以 , 所以在 上单调递增， 又,所以当时， , 当时， , 所以在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以,所以 , 所以,即证得 . 二 轮 专 题 复 习 22 方法二：令 , 所以 . 当时， , 当时， , 所以在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以,所以 , 故,当且仅当 时取等号. 二 轮 专 题 复 习 23 同理可证当时，,当且仅当 时取等号. 由,当且仅当 时取等号，由 ,当且仅当 时取等号，所以 , 即,即,当且仅当 时取等号，即证得 . 二 轮 专 题 复 习 方法三：令, , 令, , 则 . 令, , 令,得 . 当时，,当时， , 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以 ,所以,即.因为 在 上为增函数，则当时， ,所以 ,所以,即证得 . 二 轮 专 题 复 习 25 重构3 若对任意实数,都有函数 的图象与直线 相切，则称函数 为“恒切函数”.设函数 ,, . （1）讨论函数 的单调性. 解： , 当时，恒成立，函数在 上单调递减； 当时，由得,由得 ,所以函数 在上单调递减，在 上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在 上单调递减，在 上单调递增. 二 轮 专 题 复 习 26 （2）已知函数 为“恒切函数”. ①求实数 的取值范围； 解： 若函数为“恒切函数”，则函数 的图象与直线 相切， 设切点为 , 则且,即， . 二 轮 专 题 复 习 27 因为函数为“恒切函数”，所以存在,使得, , 即 得, 设,则,由,得,由 , 得,故在上单调递增，在 上单调递减， 从而 , 故实数的取值范围为 . 二 轮 专 题 复 习 28 ②当取最大值时，若函数 为“恒切函数”，求证： .（参考数据： ） 证明：由①知当取最大值时，, , 故 , . 因为函数为“恒切函数”，故存在，使得, , 由得 , 二 轮 专 题 复 习 29 即 . 设,则,由得 ,由 得 , 故在 上单调递减， 在 上单调递增. 在单调递增区间 上， ,故,则由,得 . 二 轮 专 题 复 习 30 在单调递减区间上，, , 故在区间，上存在唯一的 , 使得,即 , 此时由,得 , 二 轮 专 题 复 习 31 令,则在,上单调递增，且 , , 故 . 综上， . 二 轮 专 题 复 习 32 $