10-专题3 提升点6 专题强化训练-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何核心考点，覆盖空间轨迹、截面问题、体积计算、线面角等高考高频内容，对接高考评价体系，通过2024新乡三模、江南十校联考等真题分析考点权重，归纳正方体动态问题、球的截面等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”训练，如以正方体中动点轨迹题为例，引导学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理几何关系，通过体积转化、空间向量法突破线面垂直证明等难点。特设易错陷阱警示，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

提升点6 专题强化训练 1 ［A 基本技能］ 1.如图，在正方体中，为底面 上的动点，于点，且，则点 的轨迹 是( ) A A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 解析：选A.连接（图略）,由题意知，，则点 在 线段的中垂面上运动，从而与底面 的交线为线段. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.（2024·新乡三模）已知球的半径为5，点到球心 的距离为3，则过 点的平面 被球 所截的截面面积的最小值是( ) C A. B. C. D. 解析：选C.由点A到球心的距离为3，得球心到过点A的平面 距离 的最大值为3，因此过点A的平面 被球 所截的截面圆半径最小值为 ，所以过点A的平面 被球 所截的截面面积的最小值是 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.如图，已知正方体 的棱长为2，长为2 的线段的一个端点在棱上运动，另一端点 在正 方形内运动，则 的中点形成的轨迹的面积为 ( ) D A. B. C. D. 解析：选D.易知 平面， ，取线段 的中 点（图略），则，所以点 的轨迹是以D为球心，1为半 径的球面，故 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 4.如图，圆柱的轴截面是正方形，， 分别 是和的中点，是的中点，则经过点，， 的平面与圆柱 侧面相交所得到的曲线的离心率是 ( ) B A. B. C. D. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 解析：选B.设正方形的边长为2，设是的中点且点 与 点C不在平面同侧，则点 与点C关于圆柱的中心对称，由题意可 知，所求曲线为椭圆. 椭圆的短轴长为2,长轴长，所以长半轴长 ,短半轴长 ,故半焦距 ， 所以椭圆的离心率 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 5.（2024·江南十校联考）如图，在正方体中，， 分别为棱，的中点，过，， 三点作该正方体的截面，则( ) D A.该截面是四边形 B. 平面 C.平面平面 D.该截面与棱的交点是棱 的一个三等分点 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 解析：选D.对于A，如图所示，将线段向两边延长，分别与棱 ， 棱的延长线交于点，，连接，，分别与棱， 交于 点，，连接,,得到截面 是五边形，故A错误； 又，,, 平面 ，故 平面 ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 又 平面，故 . 假设,又,, 平面,故 平 面，又 平面 ，由于过一点作一个平面的垂线只能 有一条，假设不成立，即与 不垂直. 又 平面，所以与平面 不垂直，故B错误； 对于C，连接,因为 平面， 平面 ， 故，又，,, 平面 ，故 平面，又 平面，故 ， 同理可得，又,， 平面 ,故 平面，又与平面 不垂直， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 所以平面与平面 不平行，故C错误； 对于D，易知，所以 , 所以截面与棱的交点是棱 的一个三等分点，故D正确. 对于B，连接,,因为 平面， 平面 ， 故 ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在正方体中，点， 分别 是线段，上的动点，点是 内的动点 （不包括边界），记直线与所成角为 ，若 的最小值为，则点 的轨迹是( ) B A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 解析：选B.如图所示，延长交平面 的内部 于点，连接，则为直线 与其在平面 内的射影所成的角，即直线与所成角 的最小值，故，从而，所以 的轨迹是以为轴，顶点为，母线与轴的夹角为 的圆锥侧面 的一部分，则点的轨迹就是该部分圆锥侧面与 （不包括边界）的 交线，而所在平面与轴斜交，故点 的轨迹是椭圆的一部分. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 7.（多选）如图，一个平面 斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的 图形为椭圆.若圆柱底面圆半径为,平面 与圆柱底面所成的锐二面角大 小为,则下列对椭圆 的描述中，正确的是( ) ACD A.短轴长为 B.离心率为 C.焦距为 D.面积为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 解析：选.由题意知，椭圆短轴长,而长轴长随 变大而变 长且 , 所以 , 故 ,焦距 , 由椭圆在底面射影即为底面圆，则 等于圆的面积与椭圆面积的比值， 所以椭圆面积 . 综上，A,C,D正确，B错误. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 8.（多选）如图，在直三棱柱中， ， ，，点在线段上，且，为线段 上 的动点，则下列结论正确的是( ) BD A.当为的中点时，直线与平面所成角的正切值为 B.当时，平面 C.周长的最小值为 D.存在点,使得三棱锥的体积为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 解析：选.对于A，如图1所示，当为的中点时，取 的中点，连接，，易知， 平面 ，则 平面，故为直线与平面 所成的角， 则 ，故A错误； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 对于B，如图2所示，当时，延长交于点 ， 此时 ， 所以， ， 所以 . 又，所以四边形 是平行四边形， 所以,即 . 因为 平面， 平面 ， 所以平面 ，故B正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于C，当点与重合时，易知，，此时 的周长 为，显然有 ,故C错误； 对于D，取的中点，连接 （图略）. 易知 平面，，若三棱锥的体积为 ，即 ，所以，所以 . 因为，所以存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ，故D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在棱长为1的正方体中，是截面 上的 一个动点（不包含边界），若，则 的最小值为_ __. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 解析：如图所示，连接，若，则 在 平面上的射影在上，所以的轨迹为 （不包含端点），的最小值为到 的距离，连接 ，过点作于点，因为 ，且 ， ，所以 ，故的最小值为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 10.在正方体中，点在棱上，过点作平面 的平行平面 ，记平面 与平面的交线为，则与 所成角的 大小为__. 解析：如图所示，连接,,因为平面平面 ， 平面 平面，平面 平面 ，则 . 在正方体中，易证 平面，而 平 面,故，所以，即与所成角的大小为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 11.如图，为圆柱下底面圆的直径， 是下底面圆周上一点，已知 ，，圆柱的高为5.若点 在圆柱表面上运动，且满足 ，则点 的轨迹所围成图形的面积为____. 10 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 解析：如图所示，连接，，因为是圆柱下底面圆 的直径，所以，又因为， , , 平面，所以 平面，设过 的母线与 上底面的交点为，过的母线与上底面的交点为 ，连接 ，因为 平面， 平面，所以 ， 因为，， 平面，所以 平面 ，所以 点在平面内，又因为点在圆柱的表面，所以点 的轨迹是矩形 （不包含点 ）， 依题意得，，，所以 ， 所以矩形的面积为 . 故点 的轨迹所围成图形的面积为10. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 12.如图，已知球是棱长为1的正方体 的内切球，则平面截球 的截面面积为__. 解析：由题意得平面是边长为的正三角形，且球 与以点为公共点的三个面的切点恰为 三边的中点， 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，截面如图 所示，内切圆的半径是 ,则所求的 截面圆的面积是 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 ［B 综合运用］ 13.（多选）（2024·甘肃高考诊断考试）已知直三棱柱 内 接于球，，，，点，分别为， 的 中点，点为侧面上一动点，且 ，则下列结论正确的是 ( ) ACD A.点到平面的距离为 B.存在点，使得 平面 C.过点作球的截面，截面的面积最小为 D.点的轨迹长为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 解析：选 .对于A，如图1所示， 设点A到平面的距离为,因为 , 所以.过点作的垂线， 垂足为点 ，易得 ，，所以 ，所以 ，又，，所以 ,即点A 到平面的距离为 ，故A正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 对于B,如图2所示， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 以点A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直 角坐标系，则，，， ， ，.设,其中 ,则 .设平面的法向量为,则 即 取,得,与平面的法向量 不平行， 所以侧面上不存在点，使得 平面 ，故B错误； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 对于C，如图3所示， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 将直三棱柱 补形为长方体，则直三棱柱的外接球即该长方 体的外接球，则外接球的半径.设外接球球心为 ，连 接，当与过点D的截面垂直时，截面的面积最小.取的中点 ，连 接，，则，， 平面 ，所以 ，则过点D作球的截面，截面圆的半径的最小值 为，所以截面的面积最小为 ，故 C正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 对于D，如图4所示， 过点作，交于点，连接， 则 .又 ，，， 平面 ，所以 平面，又 平面, 则 ，所以 ，则点的轨迹是以点 为圆心， 为半径的半圆弧，点的轨迹长为 ，故D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 14.（多选）（2024·湖北七市州联考）如图，在棱长为2的正方体 中，为棱的中点，为正方形 内一个动 点（包括边界），且平面 ，则下列说法正确的有( ) ABD A.动点轨迹的长度为 B.三棱锥体积的最小值为 C.与 不可能垂直 D.当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面 积为 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 解析：选.如图所示，对于A，分别取， 的 中点，，连接，， ，则由正方体的性质可 得，.因为， 平面， ， 平面，所以平面， 平面.又， 平面， ，所以平面 平面，所以点的运动轨迹为线段，即动点 轨迹的长度 为 ，故A正确; 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 对于B， ,易知 当点与点重合时， 取得最小值，即 ,所以 ,故B正确； 对于C，当为线段的中点时，因为，所以 . 又,所以 ，故C错误； 对于D， ，易 知当点与点重合时，取得最大值，连接，， ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ，所以.由正方体的性质知 ， 所以为直角三角形，易知点在平面 上的射影为 的斜边的中点，设为，连接，则三棱锥 ， 即三棱锥的外接球的球心在直线上，设球的半径为 ， 易知， ，则由 ,得，所以球 的表面积 ，故D正确. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.（多选）已知在棱长为1的正方体中，点 为底面 上的动点，则( ) AB A.当点在对角线上运动时，三棱锥 的体积为定值 B.当点在对角线上运动时，异面直线与所成角可以取到 C.当点在对角线上运动时，直线与平面所成角可以取到 D.若点到棱的距离是到平面的距离的两倍，则点 的轨迹为 椭圆的一部分 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 解析：选.对于A，当点在对角线上运动时， ， 平面， 平面 ， 故平面，从而点到平面 的距离为定值，从而三棱锥 的体积为定值，即三棱锥 的体积为定值，故A正确； 对于B,如图，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴， 建立空间直角坐标系， 则,，，， ， ， ， ， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点在对角线上运动，所以设 ,则 ，，假设存在点满足异面直线 与所成角为 ， 则有,解得 , 所以异面直线与所成角可以取到 ，故B正确； 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，如图，连接，则 ， ， ， 则，，所以 , ,易得 平面,所以平面 的一 个法向量为 ， 令,无解,即直线 与平面 所成角取不到 ，故C错误； 对于D，易知点到棱的距离为点到点A的距离，所以在平面 内，动点到定点A的距离与到定直线的距离之比为2，则动点 的轨迹 为双曲线的一部分，故D错误. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 16.在正方体中，以点为球心，棱 为半径的球将正 方体截为（含球心的部分）和两部分，则四边形被球 截得的 区域面积与 的表面积的比值为__. 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 解析：设正方体的棱长为1，由题可知为球的 ， 如图，连接，，则在平面，平面 ， 平面上的形状都为圆，故 的表面积为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 接下来确定四边形被球截得的区域的形状，先把四边形 看作平面，则平面被球 截得的形状为圆. 连接，设交于点，则， ， 又 平面， 平面，故 ， 因为， 平面，,所以 平面 ， 又为球心，所以截得的圆周上的点到的距离都相等，从而到 的距离都 相等，所以 为截面圆的圆心， 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 所以球被平面截得的形状为以为圆心， 为半径的圆. 所以球被四边形所截得的交线为四边形内的一段圆弧和线段 ， 又线段过圆弧的圆心，所以球被四边形 所截得的形状为以 为圆心，为半径的半圆，故四边形被球截得的区域面积与 的表面积的比值为 . 专题强化训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $