08-专题3 提升点5 专题强化训练-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件
2025-12-16
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | - |
| 年级 | 高三 |
| 章节 | - |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | 空间向量与立体几何 |
| 使用场景 | 高考复习-二轮专题 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 2.69 MB |
| 发布时间 | 2025-12-16 |
| 更新时间 | 2025-12-16 |
| 作者 | 拾光树文化 |
| 品牌系列 | 备考最优解·高考二轮 |
| 审核时间 | 2025-12-16 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55408072.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学高考复习课件聚焦立体几何专题，依据高考评价体系梳理了外接球表面积与体积计算、组合体体积求解、翻折问题等核心考点，通过2024年聊城二模、南宁适应性测试等真题分析，明确外接球问题占比达60%的高频考点分布，归纳出选择填空为主的常考题型，构建系统备考框架。
课件亮点在于“真题解析+空间转化+素养提升”策略，如以外接球半径计算为典型题型，通过轴截面法、补形法培养学生几何直观与推理能力，详解圆柱与球组合体体积推导过程，帮助学生掌握空间关系转化技巧。特设易错点警示与答题模板，助力学生高效得分，为教师提供精准复习指导。
内容正文：
提升点5
专题强化训练
1
［A 基本技能］
1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一
个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
B
A. B. C. D.
解析：选B.如图画出圆柱的轴截面， 为球心.球的半径
，球心到圆柱底面圆的距离为 .
所以底面圆半径 ,
又圆柱的高,故圆柱的体积 .
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2.某正三棱柱的侧棱长是4，底面边长是，且每个顶点都在球 的球面
上，则球 的表面积为( )
D
A. B. C. D.
解析：选D.因为正三棱柱底面边长为 ，所以底面三角形外接圆半
径,又正三棱柱的侧棱长为4，即正三棱柱的高 ,
所以球的半径 ,
所以球的表面积 .
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3.如图，几何体 为圆柱和圆锥的一个组合体，圆锥的底
面和圆柱的上底面重合，圆锥的顶点为 ，圆柱的上、下底
面的圆心分别为，，若该几何体 存在外接球
（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周
也在球面上），已知 ，则该组合体的体积为
( )
A
A. B. C. D.
解析：选A.设该组合体外接球的球心为，半径为 ，则
.
所以圆柱的底面半径 ,则该组合体的体积
.
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4.已知某正三棱台的所有顶点都在半径为5的球面上，若该正三棱台的上、
下底面边长分别是和 ，则该正三棱台的高为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：选D.
如图所示，设该正三棱台为，
其上底面外接圆为 ,下底面外接圆为,
连接，， ，
则
,
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,
又球的半径为5，所以球心即下底面外接圆的圆心，连接 ，则
，所以 ，则该正三棱台的高
为4.
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5.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥 的三条侧棱的中点，下底
面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥 的高为该圆柱外接球半径
的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为( )
A
A. B. C. D.
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解析：选A.如图所示，连接， ，设正三棱锥
的底面边长为,高为,圆柱的外接球半径为 ，
则圆柱的高为 ,
所以的外接圆的半径为 ,所以圆柱的底面圆半径
为 ,
则 ,
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又 ,
所以,所以 .
设正三棱锥的外接球的半径为,则球心到底面距离为 ,
由勾股定理得,得,故 .
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6.（2024·聊城二模）已知圆柱的下底面在半球 的底面上，上底面
圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱 的侧面积分别
为,,半球与圆柱的体积分别为，，则当的值最小时， 的值
为( )
A
A. B. C. D.
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解析：选A.
如图所示，设圆柱底面半径为,高为,半球的半径为 ,
则,，,
, ,
所以
,
当且仅当时等号成立，此时 ,
所以 .
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7.在正四棱锥中，， ，则该四棱锥内切球的表面
积是( )
C
A. B. C. D.
解析：选C.如图所示，
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过点作 平面，则为正方形的中心，连接 ，因为
，所以，所以 ，则
四棱锥的体积,四棱锥 的表面
积.设四棱锥 内切球的半
径为,内切球的球心为 ，由
，可得 ，
即,解得,故四棱锥 内切球的表面积是
.
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8.已知一个正六棱锥的所有顶点都在同一个球的球面上，六棱锥的底面边
长为1，侧棱长为2，则该球的表面积为( )
C
A. B. C. D.
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解析：选C.如图，在正六棱锥 中，连接
，，，并交于点，则点为正六边形
的中心，连接，则 平面 ,该六棱锥的
外接球球心在上，连接 .
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因为 平面，所以，由题意可知， ，
所以 .
设该正六棱锥外接球的半径为，则，所以 ，
在中，，所以 ，解得
,
所以所求球的表面积为 .
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9.（2024·南宁适应性测试）如图，若圆柱的底面直径和高
都等于球 的直径，则球与圆柱的表面积的比值为__，体积
的比值为__.
解析：设球的半径为，则球的表面积 ，圆柱
的表面积 ，所以
， .
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10.（2024·安庆二模）已知圆锥的顶点为，底面圆心为 ，底面直径
.圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点 ，则该圆锥的表面积为
____.
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解析：画出圆锥的轴截面如图所示，由 为圆锥的内切
球球心，
则有为的角平分线，为 的角平分线，
由为圆锥的外接球球心，则 ，故
，
故，又，故为等边三角形，故 ，则
圆锥的表面积 .
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11.（2024·湖北十一名校联考）如
图1，在矩形中， ，
，，分别是， 的中
点，将四边形沿 折起，使得
二面角的大小为 ，如图2，若连接,,， ,则
三棱锥 的外接球的表面积为_____.
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解析：如图，易知， ，所以二面角
的平面角为 ，所以 ，
，两两垂直，三棱锥 可补形为长方体，
故三棱锥 的外接球即长方体的外接球，其直
径
，则外接球的
表面积 .
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12.（2024·武汉五调）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为 ，
其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为___.
解析：如图，为内切球球心，， 分别为正四棱台
上、下底面的中心， 为内切球与正四棱台侧面的切
点，过点，，作出正四棱台的截面 ，设上
底面边长为,,则下底面边长为 ,则
， ，
， ，
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故 ，在 中，
，则由射影定理，
，得,解得 （负值已舍
去）,
于是正四棱台的上底面面积为,下底面面积为 ,高为2,故
该正四棱台的体积 .
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［B 综合运用］
13.（2024· 金丽衢十二校联考）在三棱锥 中，底面是边长为2的
正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与 所成角的余
弦值为 ，则该外接球的表面积为( )
A
A. B. C. D.
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解析：选A.如图所示，记球心为，则为中点，取中点为 ，
中点为，连接，，， ,
则,,记外接球半径为 ,
在中，，， ，
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在中，， ，
在中， ，
在中，，，所以与 所成角为
，即 ，
所以，解得 ,所以该外接球的表面积
为 .
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14.（2024·菏泽三模）在三棱锥中，， ，
，，为的中点，且直线与平面 所成角
的余弦值为，则三棱锥 外接球的表面积为( )
B
A. B. C. D.
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解析：选B.如图，设三棱锥外接球的球心为， 的外接
圆圆心为，连接，，，，，， ，
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因为 ，为的中点， ，
所以，为 的外心，
由，为的外心，得D，，三点共线，且 .
由题意得 平面， 平面，则，故直线 与平
面所成角为的余角，所以 ，
所以 .
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在中，由题设可得， ，由正弦定理得
， ，
所以，所以在中， ，
所以三棱锥外接球的表面积 .
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15.（多选）（2024·滨州二模）如图1，在边长为4的正方形中，
为的中点，为的中点.若分别沿， 把这个正方形折成一个如
图2所示的四面体，使，两点重合，重合后的点记为 ，则在四面体
中，下列结论正确的是( )
AC
A.
B.到直线的距离为
C.三棱锥外接球的半径为
D.直线与所成角的余弦值为
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解析：选.对于A，翻折前， ，
则有翻折后， ，
因为,， 平面 ，
所以 平面，又因为 平面，所以 ，故A正确；
对于B，又，即为等边三角形，所以 ，
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在平面中过点作，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，
， ，
所以， ，
所以，，所以到直线 的距离为
，故B错误；
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对于C,由正弦定理得，外接圆的半径 ，
设三棱锥外接球的半径为 ，
因为 平面，所以,所以 ，
即三棱锥外接球的半径为 ，故C正确；
对于D，由，设直线与所成的角为 ,
则 ，
所以直线与所成角的余弦值为 ，故D错误.
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16.（2024·长沙适应性考试）已知正四棱锥的顶点均在球 的
表面上.若正四棱锥的体积为1，则球 体积的最小值为_____.
解析： 设正四棱锥底面的边长为,
高为 ,所以正四棱锥的体积
,则 .
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如图，连接，记的中点为 ，
连接，则 底面，正四棱锥外接球的球心 在
直线 上.
连接.设外接球的半径为 ，
则，又, ,
所以 ，
即 ,
得 ,
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因为,所以 .
令,，则 ,
令,得,当时，,当 时，
,
所以函数在上单调递减，在， 上单调递增，
所以当时，半径取得最小值，且最小值为，所以球 体积的
最小值为 .
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