05-专题3 第3讲 空间角、距离的计算-【备考最优解】2025版高考数学二轮专题复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦空间角与距离计算核心考点，覆盖异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离四大高考高频考查内容。依据高考评价体系，通过2024年新课标Ⅰ卷、天津卷等真题分析，明确线面角、二面角等考点的权重分布，归纳向量法、几何法等常考题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题解析+技法提炼+素养培养”的三维复习模式，如以2024天津卷二面角题为例，详解法向量求解及夹角公式应用，培养学生数学思维与数学语言表达能力。提炼建系技巧、公式记忆口诀等应试策略，帮助学生高效突破空间几何解答题，教师可依托课件实现考点精准突破与学情针对性指导。

第3讲 空间角、距离的计算 1 考情分析 备考关键 考点 利用空间向量求距离，用空间向量 求空间角（异面直线所成角、直线与平 面所成角、二面角） 考法 以空间几何体为载体考查空间角及 空间距离是高考命题的重点.空间向量是 将空间几何问题坐标化的工具，利用空 间向量求平面与平面的夹角或线面角是 高考热点，通常以解答题的形式出现， 难度中等. 一是要熟练掌握根据几何体的 结构特征准确建立空间直角坐 标系的方法，抓住空间中的垂 直关系是核心；二是准确进行 空间向量的基本运算；三是会 利用公式计算空间角及空间距 离，并注意所求空间角与空间 向量夹角之间的关系. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 2 1 2 做真题 明方向 研考点 破重难 3 PART 01 第一部分 做真题 明方向 4 1.（2024·新课标Ⅱ卷）已知正三棱台的体积为 ， ，，则与平面 所成角的正切值为( ) B A. B.1 C.2 D.3 解析：选B.设正三棱台的高为 ，三条 侧棱延长后交于一点，作 平面于点， 交 平面于点，连接， ，如图所示. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 5 由，可得， ，又 ， ，所以正三棱 台 的体积 ，解得 ，故.由正三棱台的性质可知，为 的中心， 则，因为 平面，所以是 与 平面所成的角，在中， . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 6 2.（2024·天津卷）如图，已知直四棱柱 中， ，,，，，是 的中 点，是 的中点． （1）求证平面 ； 二 轮 专 题 复 习 返回目录 7 证明：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、 轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，，，，， ， ， 则， ， 所以，， . 设平面的法向量为 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 8 则即 取，得，，则 ． ，所以，显然 平面，所以平面.（另解：也可以取的中点 ，连接 ，（图略），通过证明得到平面 ） 二 轮 专 题 复 习 返回目录 （2）求平面与平面 夹角的余弦值； 解：由（1）知，，设平面 的法向 量为 , 则即 取，得,，则 . 设平面与平面的夹角为 ， 则，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 10 （3）求点到平面 的距离． 解：易知 设点到平面的距离为 ， 则 ， 所以点到平面的距离为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 11 PART 02 第二部分 研考点 破重难 12 考点一 利用空间向量求空间角 空间向量与空间角的关系 （1）异面直线所成角 设异面直线<m></m>，<m></m>所成的角为<m></m> ，其方向向量分别为<m></m>，<m></m>，则 <m></m>. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 13 （2）直线与平面所成角 如图所示，设为平面 的斜线，，为的方向向量，为平面 的法向量， 为与平面 所成的角，则 . （3）平面与平面的夹角 设平面 ， 的法向量分别是，，平面 与平面 的夹角为 ，则 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 14 角度1 异面直线所成的角 ［例1］ （2024·东北三校模拟）如图，四边形是正方形， 平面，且，是线段的中点，则异面直线与 所成角的正切值为____. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 15 【解析】 方法一（向量法）因为 平面 ， ， 平面，所以， ， 因为四边形是正方形，所以.以 为坐 标原点，以，，所在直线分别为轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 16 所以 . 设异面直线与所成的角为 ， 则 . 所以 ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 17 方法二（向量法）因为 平面，， 平面 ，所 以，，在正方形中， ， 如图，连接 ，则 ，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 18 由，，，， 平面，得 平面，又 平面，所以，在 中， ，，所以 ，所以 ，设异面直线与 所成的角为 ，则， ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 19 方法三（几何法）如图，取的中点，连接 ， ，则.又为线段 的中点，所以 且 , 则异面直线与所成的角即直线与 所成的角， 所以异面直线与所成的角为 或其补角. 因为 平面，所以 平面，又 平面 ，所 以，在中，，在 中， ，故异面直线与 所成 角的正切值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 20 求解异面直线所成角的方法 （1）平移法——步骤：①平移；②认定；③计算；④取舍. （2）向量法——步骤：①建系；②求两异面直线方向向量的坐标；③求 两向量夹角的余弦值；④下结论. 注意（1）由于两异面直线所成角的范围为<m></m>，<m></m>，所以两异面直线所成 角的余弦值即为两方向向量夹角余弦值的绝对值； （2）当几何体不适合建系时，可考虑运用基底向量法求解. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 21 角度2 直线与平面所成的角 ［例2］ （2024·潍坊模拟）如图，在四棱台 中，下底面 是平行四边形， ，， ， ，，为 的中点. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 22 （1）求证：平面 平面 ； 证明：在中，，， ， 由余弦定理可得 ， 所以，所以 . 又，且，， 平面，所以 平面，因为 平面 ， 所以平面 平面 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 23 （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值. 【解】因为，所以 ， 得 . 在梯形中，， ， 如图，过点作，交于点，则， ，又 ， 所以，得，即，又 ， ，， 平面 ， 所以 平面 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 24 以为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ， ， . 设平面的法向量为 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 25 则即 令，可得 . 设直线与平面所成的角为 ， 则，即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 26 利用空间向量求线面角的解题步骤 二 轮 专 题 复 习 返回目录 27 注意 线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 28 角度3 二面角 ［例3］ （2024·北京卷）如图，在四棱锥中， ， ，，点在上，且， . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 29 （1）若为线段的中点，求证：平面 ； 证明：取的中点，连接，（图略），因为为线段 的中点， 所以, , 又，，所以， ， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 ． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 30 （2）若 平面，求平面与平面 夹角的余弦值． 【解】因为 平面， 平面，所以 ，又 ，，， 平面 ， 所以 平面 ． 二 轮 专 题 复 习 返回目录 31 连接，易知四边形为矩形，故直线 ， ，两两垂直，故以为坐标原点，，， 所在直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间 直角坐标系， 则，，， ， ， 则，，， ． 设平面的法向量为 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 32 则 可取 ． 设平面的法向量为 ， 则 二 轮 专 题 复 习 返回目录 可取 ． 设平面与平面的夹角为 , 则 . 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 34 二面角的求解方法 （1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然 后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但是注意结合实际图 形判断所求角的大小. （2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱 垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角 的大小. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 35 ［对点训练］ （2024·德州二模）如图，在三棱锥 中，，，为 的中点， 为内部一点且 平面 . （1）证明：平面 ； 证明：连接，取中点，连接， . 因为为的中点，所以 ， 因为 平面， 平面， 所以平面 . 又因为 平面， 平面，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 所以，在中， , 同理 ， 因为，所以 . 因为为中点，所以 ， 因为，且，在同一平面内，所以，又因为 平面， 平面 ， 所以平面 . 又因为,, 平面，所以平面平面 . 因为 平面 ， 所以平面 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 （2）若，，求二面角 的余弦值. 解：以为坐标原点，分别以，的方向为,轴的正方向，过点 作 的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 在中，因为， ， 所以 , 在中， , 所以， 又,,, , 所以, , 二 轮 专 题 复 习 返回目录 38 . 设平面的一个法向量 , 则即 取,则, , 所以 . 设平面的一个法向量 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 则即 取,则，所以 . 设二面角为 ，由图可知 为锐角， 则 , 所以二面角的余弦值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 考点二 利用空间向量求空间距离 （1）点到直线的距离 直线的单位方向向量为，是直线上的任一点，为直线 外一点，设 ，则点到直线的距离 . （2）点到平面的距离 平面 的法向量为，是平面 内任一点，为平面 外一点，则点 到 平面 的距离为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 41 ［例4］ 如图所示的多面体是由底面为 的长方体被 截面所截得到的，其中， ， ，，则点到平面 的距离为( ) C A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 42 【解析】 以D为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，， ，所以 ， . 设为平面 的法向量， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 43 由得 令，则， ， 所以 . 又，所以点C到平面的距离 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 44 （1）空间中点、线、面距离的相互转化关系 二 轮 专 题 复 习 返回目录 45 （2）空间距离的求解方法有：①作垂线段；②等体积法；③等价转化； ④空间向量法. （3）点面距的求解步骤 ①求出该平面的一个法向量. ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量. ③求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模， 即可求出点到平面的距离. 二 轮 专 题 复 习 返回目录 46 ［对点训练］ 如图，将圆沿直径 折成直二面角，已 知三棱锥的顶点在半圆周上，, 在另外的半 圆周上， . （1）若，求证： ； 证明：由题意知平面 平面，平面 平面 ， ，且 平面，故 平面 ， 又 平面，故 . 又，且,, 平面，故 平面 ， 而 平面，故 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 47 （2）若， ，直线与平面所成的角为 ， 求点到直线 的距离. 解：以为坐标原点，,所在直线分别为, 轴， 过点作平面的垂线作为 轴，建立空间直角坐标 系，如图， 由于， ， 则，，，设 , , 则 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 48 则,， , 设平面的法向量为 ， 则即 令，则可得 ， 由于直线与平面所成的角为 ， 故 ， 解得，结合 ， 二 轮 专 题 复 习 返回目录 则 ，故 ， 所以 , 由 ， 得 ， 故点到直线 的距离为 . 二 轮 专 题 复 习 返回目录 $